不等式への招待　第７章

>>948
1 - x^n < 1/(1+x^n) < 1 (0<x<1)
0 < 1/(1+x^n) < 1/x^n (1<x)
より、
1 - 1/(n+1) < ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx < 1,
0 < ∫[1,∞) 1/(1+x^n) dx < 1/(n-1),

>>948 (続き)
辺々たすと
n/(n+1) < ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx < n/(n-1),

一方、 >>937 より
1 < R_n < 1/{cos(π/n)}^(1/3),

>>954
f(x,y) = 1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) +2 -4/√(x+2) -4/√(y+2) とおく。
x=y のときは凸性から、
f((x+y)/2, (x+y)/2) = 4/√(2x) + 4/√(2+2) - 8/√(x+2) ≧0,
となる。
f(x､y) - f((x+y)/2, (x+y)/2) ≧ 0 を示さねば...

(1) anc → and

(7)
Find the greatest real number M such that the inequality
a^2 + b^2 + c^2 + 3abc ≧ M(ab + bc + ca)
holds for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 4.

(8)
Find the greatest real number M such that
(x＾2 + y^2)^3 ≧ M(x^3 + y^3)(xy - x - y)
for all real numbers x, y satisfying x + y ≧ 0.

(9)
Let a, b, c be nonnegative real numbers satisfying a^2 + b^2 + c^2 = 1. Prove that
sqrt(a + b) + sqrt(b + c) + sqrt(c + a) ≧ sqrt{ 7(a + b + c) - 3}

(10)
Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a^2 + b^2 + c^2 + 2abc ≧1,
the following inequality holds:
1/a + 1/b + 1/c ≧ a/b + b/c + c/a + 2(a + b + c).

(11)
Find the greatest real number T satisfying
(x^2 + y)(x + y^2)/(x+y-1)^2 + (y^2 + z)(y + z^2)/(y+z-1)^2 + (z^2 + x)(z + x^2)/(z+x-1)^2 -2(x+y+z) ≧ T
for all real numbers x, y and z such that x+y≠1, y+z≠1, z+x≠1.

(12)
Show that for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3 the following inequality holds:
(a + b + c)(a + b + c - abc) ≧ 2(a^2・b + b^2・c + c^2・a)

（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ

(e^(1/π) + e^e)/2 ≧ e^(1/3)

（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ

>>959
(左辺)>e^e/2>(e+1)/2>e^(1/2)>(右辺)

>>958
(10)反例 a=b=c=1

萎える

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もげる

Bihari?LaSalle inequality

ついでに
π + π + e ＞ 9,
(π +e+e) π ＜ 27,
ππe ＜ 27,

>>956 (1)　コーシーで
　(1+1+1)^5 (a^6 + b^6 + c^6) ≧ (a+b+c)^6,
一方、
　a = r {cot(B/2) + cot(C/2)},
　b = r {cot(C/2) + cot(A/2)},
　c = r {cot(A/2) + cot(B/2)},
∴　a+b+c = 2r {cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)} ≧ 6r cot((A+B+C)/6) = 6r cot(π/6) =（6√3）r

>>958 (7)
(a+b+c) {aa+bb+cc - M(ab+bc+ca)} + 12abc
= s(ss-2t) - Mst + 12u
= F_1(a,b,c) + (2-M)st + 3u　(← Schur)
≧0,
∴　M=2

問題と一緒に出典も書いてほしい

Flanders' Inequality を検索したら、空っぽだった…。
http://mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html

>>981

【Flanders' inequality】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8,
　(初代スレ.668)

　g(x) = log{sin(x)/x},
　g '(x) = cot(x) - 1/x,
　g "(x) = 1/x^2 - 1/sin(x)^2 < 0,
ゆえ、g(x) は上に凸。


【類題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8,

　(初代スレを参照、右：557-558,566、中：580-587)

>>982
ありがたき幸せにござる。

実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。

>>984
大学への数学7月号の表紙の裏の代ゼミの広告の問題（原題は最小値を求めよ）

>>985
それは最小値のみ。改造済み。

>>984
ちなみに出典は、「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」らしい。

ノート整理中に見つけたが出典不明。正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。

改造しようと思ったが、すぐには思いつかんかった。

>>988
(a^b)(b^c)(c^a) と (abc)^{(a+b+c)/3} との大小は定まるかな？

>>988
　対数とってチェビシェフ


>>989
さだまさし

(a, b, c) = (1/8, 8, 64) のとき
b log(a) + c log(b) + ａ log(c) > 100 > (a+b+c)/3 log(abc),

>>990
さんくす。さだまさしか…。

>>956-957
出典をきちんと記録してなかった。
http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml などから適当に拾ってきたなり。

そろそろ次スレ建てようと思うが、数学板はスレ落ち対策（スレが立ってすぐの時期に、一定時間書き込みが無かったら落ちる）しなくて大丈夫だっけ？

去年たった２レスしかないスレがまだ残っているのを見ればわかるだろう

>>995
さんくす。専ブラ使っていて、不等式スレ、面白スレ以外はあぼーんしているので分からなかったぜ。

a,b,c を正の定数、
x,y,z は ax+by+cz=1 をみたす実数、
min{ x/a, y/b, z/c } の最大値を求めよ。
（出典不明）

>>997
x/a=X, y/b=Y, z/c=Z とおく。
X,Y,Z は aaX + bbY + ccZ = 1 をみたす実数。
(aa+bb+cc)*min{X,Y,Z} ≦ aaX + bbY + ccZ = 1,
∴ min{X,Y,Z} ≦ 1/(aa+bb+cc),

>>984-987
（-1000/√3, 1000/√3）に一票

不等式への招待 第８章
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/

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