不等式への招待　第７章

>>231
ごめん、斉次式じゃなかった

a、b、c、x、y、z ∈R が、
　(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 1、 x^2+y^2+z^2=1
をみたすとき、ax+by+czのとりうる値の範囲

ＣＳ不等式を２回使ったけど、他の解法ありますか？

いきなりレベルが下がったな

【結構簡単だけど、受験生40名全員が解けなかったという曰く付きの某国立大学数学科の推薦入試問題】


実ｎ次元ベクトル X ＝ (x_1, x_2, ... , x_n) に対して
ｈ　を非負実数として
<X>_h ＝ √{h + (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_n)^2}　と定義する。
Y ＝ (y_1, y_2, ... , y_n)　とするとき、 任意の実ｎ次元ベクトル　X、Y　に対して
<X + Y>_h ≦ <X>_h・<Y>_h
が成り立つような最小の h を求めよ。
ただし、X + Y＝ (x_1+y_1, x_2+y_2, ... , x_n+y_n) とする。

注）　伝聞によるので文言は全く同じではないと思われます

0<x<y<π/2の時
(tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
を示せ

0 < x < y < π/2 において、f(x) = (tanx/x)^x - (sinx/x)^x が単調増加であることを示せばよい。
これは、y=sinx、y=tanxのグラフを描けば明らか。

でも計算で示そうとして挫折… ('A`)

>>235
ｈ＝１

>>243
違うと思う

ガンマ関数の問題なんだが、

Γ(1/a)　<　π

aを求めよ。

aって求められないよね？
つか、問題が間違ってるよね？ね？

aが実数または整数という条件は?
それでwikipediaのガンマ関数のグラフでも見たら。。。

aを四元数にしてみよう

nを自然数、xを正の実数とするとき、n(x-1) ≦ x^n-1 ≦ n(x-1)x^n ≦ n(x-1)x^n

( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

死ねよ

今日、不思議な定理を発見しました。
斉次巡回(or 対称)不等式に関するものですが、
代数多様体の商特異点の理論を経由して、
不等式のクラスがなす凸錐の構造定理を証明することによって、
古典的な方法で直接不等式の成立を示さなくても、抽象的議論だけで
間接的にいろいろな不等式の成立が証明できてしまう、という、
ちょっと気味の悪いものです。
個々の不等式を見るのではなく、ある条件を満たす不等式のクラスを、
まとめて面倒みてやるのがポイントです。
モジュライの理論でもそういう考え方が登場します。
多変数の代数不等式は、やっぱり代数幾何だったんですね。
普遍性がある議論なので、いろいろ応用が利きそうです。
そのうち、どこかで、きちんとお話します。

難しくてよう分からんが、楽しみにしている

面白そうだけど難しそう
まじめに代数幾何を勉強するかな

予告編:
X を不等式 f(x_1,...,x_n)>=0 の変数が動く領域とし、
そこに有限群 G が推移的に作用していて、固定点は有限個であると仮定する。
D を G-不変な X 上の不等式全体がなす凸錐とする。
線形系 H^0(P^{n-1}, O(d))^G が定める有理写像 P^{n-1} -> P^N に
よる X の像を X_d とする。d がある程度大きいと、X_d = X/G となる。
X_d の生成する凸錐の相対凸錐が D である。
X_d の内部、境界、内部の各特異点、境界上の各特異点に対応して、
D の境界の成分が定まり、D はそれらで囲まれる。
代数的にD の境界の成分を求めると、不等式が自動的に得られる。
たぶん、学部4年程度の知識で理解できます。

安藤氏がやっていることに含まれるのでは？

> 255
改訂版をUPしました
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf
第2章が新しい部分です。
その別の応用は、また後日。
局所錐の理論も、もう少し進歩させられそうです。

>>251
難しいな。これって、結構多くの不等式が一発で証明できるということなの？
ちょっと降りてきてアマチュア向けに補足を所望。できれば少し例も。
忙しいかな？

グラフの不等式領域の塗り分けで裏技があったな

数学板ID表示制導入の住民投票 [転載禁止](c)2ch.net
http://kanae.2ch.net/test/read.cgi/vote/1416925674/

> 257
代数曲面の場合でも、例えば、x^4+y^4=z^4 で定まる代数曲面を研究しようと思ったとき、
それを代数曲面の分類理論なして研究しても、あるところで行き詰まるが、
K3曲面という範疇の中で、どういう位置づけの曲面かを考えると、いろんなことが分かる。
同様に、1つの不等式を単体として証明するのとは別のアプローチとして、
不等式のある範疇の族を考え、その族の中での位置づけを考察すると新たな視点が開けるということ。
すると、個々の不等式の研究に増して、不等式の族の構造の研究も大切になってくる。

>>261
説明ありがとう。でも不等式好きのアマチュアとして知りたかったのは、
このスレにも出てくるいろんな具体的な不等式たちを証明することが、
あなたの研究によってどう変わるかということだった。
分類理論もK3曲面も知らんのだ。そんな奴は相手にしてないということ
なんだろうが。

>>262
> 分類理論もK3曲面も知らんのだ。

おれも。
何から勉強し始めたらいい？
代数？

A+B+C=Πのとき、
6cosA+3cosB+2cosC≦7
を示せ

もし高校+α程度の知識しかないなら数年かかるぜ？

不等式ヲタが一心不乱に不等式をいじっていたときに、ある貴婦人が訊ねた。
「そんな役にもたたないつまらないことをして何になるんですか？」
不等式ヲタはこう答えたという。
「生まれたばかりの赤ん坊が何の役にたつというのですか？」

　
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾘｯ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

〆切過ぎたので投下

---------------------------------------------------
【大数１月号宿題】

n は3以上の自然数
x1，x2，...，xn　は正の実数
S=x1+x2+...+xn
T=x1^2+x2^2+...+xn^2

とするとき

Σ[i=1,n]{xi/(S-xi)} ≦ Σ[i=1,n]{xi^2/(T-xi^2)}

が成り立つことを示せ
---------------------------------------------------

>>114
[2](2)
2x-y, 2y-z, 2z-xがそれぞれ正正正か正負負の時のみ考えれば良い
(i)全部正の時
a=2x-y,b=2y-z,c=2z-xは全て正
7=3(aa+bb+cc)+4(ab+bc+ca)≧21GG
より
abc=G^3≦1/3√3

(ii)負が2つの時
a=2x-y,b=z-2y,c=x-2zは全て正
105=15(3(aa+bb+cc)-4a(b+c)+4bc)
=(6a-5b-5c)^2+9a^2+10(2bb+bc+2cc)
≧3(75abc)^(2/3)
これを整理して
abc≦7√35/15
等号は(a,b,c)=√35(1/3,1/5,1/5)の時成立

1/3√3<7√35/15より与式の最大値は7√35/15

>>269
(右辺)-(左辺)
=Σ[i<j]x_i*x_j*(T+x_i*x_j+(x_i+x_j)(S-x_i-x_j))(x_i-x_j)^2/((S-x_i)(S-x_j)(T-x_i^2)(T-x_j^2))
≧0

今年も不等式でﾊｧﾊｧする！

現実以上。夢見饅。ツキ夜

n文字の基本対称式がすべて正なら、n文字は全て正は正しいなりか、キテレツ？

f(x)=(x+a_1)…(x+a_n)=ΣS_{n-i}(a_1,…,a_n)x^i
x≧0 について f(x)>0 だから零点 -a_1,…,-a_n は全て負

http://jbbs.shitaraba.net/sports/42269/

>>274
ありがとうございます。こんなに簡単だったとは！

632 ：マロン名無しさん：2015/02/09(月) 23:47:58.84 ID:???
『2≧1なら普通に2=1も兼ねるだろｗ』

656 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:03:50.71 ID:???
『2≧1は2=1も兼ねる』

667 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:12:27.22 ID:???
『＞と＝の両方兼ねないと使えないのが≧ですｗ 』

679 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:21:24.07 ID:???
『「一方だけが」じゃなくて「一方もしくは両方が」だな』

正の整数nに対して、その正の約数の相加平均をf(n)とするとき
　√n ≦ f(n) ≦ (n+1)/2

>>279
a_i*b_i=nなるa_i≦b_iの組に分けられる
この時相加相乗より
2√n≦a_i+b_i
全ての正の約数について足し合わせると左側が示される

また約数は全てn以下の為
σ(n)≦Σ[1,n]k=n(n+1)/2
両辺をnで割ると右側が示される

ｎで割ったら駄目だろ。

ab=nなるa≦bに対して
2√n≦a+b=a+n/a≦n+1 (1≦a≦√n)

分かるように説明汁

過去スレで、極限が相加平均や総乗平均になる式があったと思うけど何だっけ？

３月から専ブラ使えなくなるんだっけ？移住先は？

a、b、cを実定数、xを実数、f(x) = ax^2 + bx + c とする。
|x|≦1に対して、|f(x)|≦1 ならば |x^2・f(1/x)|≦2 を示せ。 ( ﾟ∀ﾟ)ﾊﾞｹﾗｯﾀ！

実数x、yが|x|≦1、|y|≦1をみたすとき、

0 ≦ x^2 + y^2 - 2 x^2 y^2 + 2xy \sqrt{ (1-x^2)・(1-y^2) } ≦ 1

ﾊｱﾊｱできそうな解法ありますか？

>>287
x=sinα　y=sinβとおけば0≦{sin(α＋β)}^2≦1}

同じようなことですが

x^2+y^2-2x^2 y^2+2xy√{(1-xx)(1-yy)}
={x√(1-yy)+y√(1-xx)}^2
=1-{xy-√((1-xx)(1-yy))}^2

---

Think different? by 2ch.net/bbspink.com

>>289
くやしいな〜、その変形は思いつかんな〜。（悔しいのに嬉しいぞ！）

p>q≧e に対して、log(log p) - log(log q) < (p-q)/e

式の形を見た瞬間にどうやって作ったかが分かってしまうので一捻りしたかったが、思いつかなかった。
誰か一捻りしてﾊｱﾊｱできそうな不等式を作ってくりりん。

wiki読んだけど、(算術幾何平均) × (幾何調和平均) ＝ (幾何平均)^2 になるのが理解できなかった。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87#.E8.AA.BF.E5.92.8C.E5.B9.BE.E4.BD.95.E5.B9.B3.E5.9D.87

∫[1/3、2/3] f(x) dx のとき、∫[0,1] {f’(x)}^2 dx ≧27 (∫[0,1] f(x) dx )^2

a, b ∈R
a^4 + b^4 + 2 ≧ 4ab

a, b, cは三角形の3辺の長さ
a^2 + b^2 + c^2 + 4abc < 12

(sin x)^5 + (sin x)^4 + (cos x)^5 ≦ 2 を示せ。

>>299
グラフを描いたらたしかに
≦2となりますね。
グラフでは「示す」＝「証明」という条件に
当てはまらないのでしょうね。

>>300
グラフでも示したことにはなるだろうけど、できれば計算でお願いします。

少し改良して、-1 ≦ (sin x)^5 + (sin x)^4 + (cos x)^5 ≦ 2 を示せ。

(1 + sin x)(1 + cos x) < 3 を示せ。

少し改良して、(1 + sin x)(1 + cos x) < 3/2 + √2

訂正、(1 + sin x)(1 + cos x) ≦ 3/2 + √2

>>303-305
s+c=u，sc=v とおいて uv 平面で解釈する
大学入試用の演習問題にちょうどいい

a, b≧0 に対して、(1+a)^4・(1+b)^4 ≧ 64ab(a+b)^2

a, b, c >0, p=3/4 に対して、a^p + b^p + c^p > (a+b+c)^p

a, b∈R
a・√(1-b^2) + b・√(1-a^2) ≦1

π < √2 + √3 < 7π/6

a, b, c, d, p, q >0 のとき、a^p・b^q + c^p・d^q ≦1

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

-1 < x, y, z < 1 に対して、1/{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)} + 1/{(1+x)^2・(1+y)^2・(1+z)^2} ≧ 2(1-x)(1-y)(1-z)

面白スレより
a>0、b>0、c>0、d>0、abcd=1のとき、1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d) ≧ 25/4 を証明せよ

0≦x≦1 において f(x)≧0、f は連続
∫[0,1] {f(x)}^3 dx ≧ 4・(∫[0,1] x^2・f(x) dx)・(∫[0,1] x・{f(x)}^2 dx)

x, y, z >0、x+y+z=3 のとき、(x^4+x^2+1)/(x^2+x+1) + (y^4+y^2+1)/(y^2+y+1) + (z^4+z^2+1)/(z^2+z+1) ≧ 3xyz

For a, b, c > 0
(1+a+ab)(1+b+bc)(1+c+ca) ≦ (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2) ≦ (1+a+b^2)(1+b+c^2)(1+c+a^2)

a, b, c >0 かつ 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) = 1 のとき、abc≧8 を示せ。

>>317
abc=t^3かつt<2 として
a=tx/y, b=ty/z, c=tz/y (x,y,z>0)とおける
この時

1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)
=y/(tx+y)+z/(ty+z)+x/(tz+x)
≧(x+y+z)^2/(xx+yy+zz+t(xy+yz+zx))
>(x+y+z)^2/(xx+yy+zz+2(xy+yz+zx)
=1

>>318
c=tz/x では？

【面白スレ223より】
> 任意の2以上の整数nに対して,
> 不等式　tan(π/(2n))≦2/((n-1)*n^(1/(n-1)))
> が成り立つことを示せ.

こういう不等式って何かの分野で役に立ってる？

大学入試問題なんだが
(1)
x[1]+x[2]=1のときx[1]^2+x[2]^2≧1/2を示せ
(2)
x[1]+x[2]+x[3]=1のときx[1]^2+x[2]^2+x[3]^2≧1/3を示せ
(3)
x[1]+x[2]+…+x[n]=1のときx[1]^2+x[2]^2+…+x[n]^2≧1/nを示せ

(3)はコーシーシュワルツで一発なんだが(1)(2)の誘導使って解く方法ないかな

x[1]+x[2]+…+x[k+1]=1 を x[1]/(1-x[k+1])+x[2]/(1-x[k+1])+…+x[k]/(1-x[k+1])=1 として帰納法、でいいんじゃないかな
誘導の意図が帰納法を使えということだとしてだけど

槇書店の不等式、復刊しないかな

一応、真面目な代数的不等式論の話です。
Hilbertの第17問題を実閉体を使ってArtinが解決したとき、
Artinは実代数多様体への一般化を考えていた。
でも、実代数多様体はカテゴリー(圏)を形成しないので、うまくいかない。
しかし、半代数的集合を一般化した概念をうまく作ると、
それと正則写像によって圏が形成できて、
その上の線形系の中で代数的不等式錐を考えると、
スキーム論のような、綺麗な理論体系ができるみたい。
長年眠っていた順序体の理論も、実スペクトル(Spec_r)理論でよみがえる。
永田先生の可換体論の順序体(実閉体)の章も、久々に読み返してみたら、
いいことが書いてあった。

a, b, p, q は実数とする
不等式∫[a→b] sin(x^2+px+q) dx ≦ 4
を示せ

>>325
実閉体の話はTarskiあたりを参考に書いたのでしょうかねぇ。
教科書に出典が書いてなくて。

> 327
そのうち、プレプリを書いて公開します。
一番参考になりそうな文献は
J. Bochnak, M.Coste, M-F.Roy, Real Algebraic Geometry
もちろん、そこには書いてないけど。

ちょっとわかりにくいことを書いたので、初心者向けに例題で説明します。
[例題] 6次斉次巡回多項式
f = (x^6+y^6+z^6) + a_1(x^5y + y^5z + z^5x) + ... + a_9 x^2y^2z^2
を考える。
任意の実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための必要十分条件を
a_1,...,a_9 の式で表せ。
[考え方]
Hilbertが証明したように、そういう f は多項式の2乗の和に表せるとは限らない。
SOS methodより、そういう f 全体のなす半代数的凸錐の実代数幾何的特徴を
攻めたほうが早い。
この場合、その凸錐のザリスキー閉包は既約な代数多様体になる。
ただし、4次の場合ですら複雑だったから、6次はもっと複雑だと予想できる。
そこで、まず、代数多様体としての特徴を考察してみましょう、
とかいうのが応用例。

自分のマイナンバー入りのTシャツを着るさゆふらっとまうんど（平塚正幸）
マイナンバー通知カード拒否が全国規模で起こっていますhttps://m.youtube.com/watch?v=f-zmXEqYyVA


マイナンバー通知カードの受け取りを拒否しようhttps://www.youtube.com/watch?v=xSt6jiOKh_I

A ： 算術平均
G ： 幾何平均
H ： 調和平均
(A/G)^3 + (G/H)^3 + 1 ≦ (3/4)*(1 + A/H)^2

(1) この不等式の証明はどうやるんでしょうか？
(2) この不等式には名前がついていますか？