>>377
√(x+1)+√(3x+9) ≦ √(x+4)+√(3x+4) において x→12x^2と置き換えると
√(4+12x^2)+√(4+36x^2) ≧ √(1+12x^2) + √(9+36x^2) となる。この式を証明することにする。
なお、x=0の時成立するのは明白なので、以後、x>0とする。

O(0,0) , A(2,(2√3)x) , B(1,(2√3)x) , P(4,(6+2√3)x) とすると この式は
OA + AP ≧ OB + BP　

三角形OAPの面積は、△OAP=(1/2)*|2*(6+2√3)-4*(2√3)|x=2√3(√3-1)x
三角形OBPの面積は、△OBP=(1/2)*|1*(6+2√3)-4*(2√3)|x=3(√3-1)x

OP=√(16+(48+24√3)x^2)　に注意して　|OA-AP|/OP　および　|OB-BP|/OP　を評価すると
0　≦|OA-AP|/OP <　2-√3　、2-√3　<　 |OB-BP|/OP　≦　1/2　

ところで、辺長が2a,2b,2cの三角形の面積をSとすると、S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)　なので
(a+b)^2 = c^2 +S^2*r/c^2 　,ただしr=1/(1-((a-b)/c)^2)　という関係がある。

三角形OAPにおいて、OA=a、AP=b、OP=c　として、上の関係式を使うと
(OA+AP)^2 = OP^2 + (△OAP/OP)^2 * r_a
r_a=1/(1-(|OA-AP|/OP)^2)　≧1　なので
(OA+AP)^2　≧　OP^2 + (2√3(√3-1)x)^2/OP^2 *1 = OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2

同様に三角形OBPにおいて、OB=a、BP=b、OP=c　とすると
(OB+BP)^2 = OP^2 + (△OBP/OP)^2 * r_b
r_b=1/(1-(|OB-BP|/OP)^2)　≦4/3　なので (∵ |OB-BP|/OP　≦　1/2)
(OB+BP)^2　≦　OP^2 + (3(√3-1)x)^2/OP^2 * (4/3)= OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2

最右辺が一致しているので　(OA+AP)^2 ≧ OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2　≧(OB+BP)^2 　が示され、目的の式が得られる