>>498
( ﾟ∀ﾟ) ｿﾚﾀﾞ！( ﾟ∀ﾟ) ｽﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ﾇﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ｳﾎﾎﾋﾞｯﾁ！

>>500
四角形をABCDとし、AB=a、BC=b、CD=d、DA=d、内接円の中心をOとおく。

(1) R、r を S で表す。面積公式と、正弦定理より、

S = △ABC + △ADC
　 = (1/2)*ab*sinC + (1/2)*cd*sin(π-B)
　 = AC(ab+cd)/4R

S = △OAB + △OBC + △OCD + △ODA
　 = r(a+b+c+d)/2

∴ R/r = (a+b+c+d)(ab+cd)AC/(8*S^2) 　……(a)


(2) 邪魔な AC、Sを そげぶ（ブチ殺す）。 余弦定理を用いて、

△ABCに対して、AC^2 = a^2 +b^2 - 2ab*cosB
△ADCに対して、AC^2 = c^2 +d^2 + 2cd*cosB

∴ AC = √{(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)} 　……(b)

一方、cosB = (a^2+b^2-c^2-d^2)/{2*(ab+cd)} より、
sinB = {√(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)(a+b+c-d)}/{2*(ab+cd)}

S = △ABC + △ADC
　= (1/2)*(ab+cd)*sinB
　= √(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)(a+b+c-d)

四角形ABCDが円に外接するので a+c = b+d をみたす。
これより b+c+d-a = 2c などを上式に代入する。

∴ S = √(abcd) 　……(c)

(3) 相加平均・相乗平均で息の根を止める。
(a)に(b)(c)を代入し、分子の四つの括弧にそれぞれAM-GM。

R/r = (a+b+c+d)*√{(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)}/(8*abcd) ≧ √2