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〔補題〕
0<t<π のとき
　sin(t) < 3sin(t)/{2+cos(t)} < t,
　｛sin(t)，sin(t)，tan(t)｝の調和平均はｔより小さい。（B.C.Carlson)

(略証)
左側は明らか。
右側はｔで微分して
3cos(t)/{2+cos(t)}＋3{sin(t)}^2/{2+cos(t)}^2
=１−3{[1-cos(t)]/[2+cos(t)]}^2
< 1,

不等式の和書[3] p.45 の式でｘをcos(2t)とおく。

なお、相加平均はｔより大きい。（Snellius-Huygens)