p進体とか標数pの体とかが全然身近に思えない

身近に思える人は凄い

>>110
古典的にはテータ級数はルジャンドル辺りが考えた、
与えられた自然数を平方数の和で表す問題があって
それに対するモジュラー形式としてテータ級数を
考える。モジュラー形式ではよくある話だが、
一見すると一致するか判らない二つのモジュラー形式を
比較する為に、モジュラー形式が作るベクトル空間を
トレース公式やRiemann-Roch
などを用いて計算する方法がある。志村先生の本に
そういう計算方法がのっている。トレース公式は
Poissonの和公式から発展した。

>>110
絶対ガロア群そのものを考えるのは難しいので、
ガロア群の各素点に対して局所化したものを
考える。Qの絶対ガロワ群は可換からは程遠いが、
局所化(局所体)したガロア群は必ず可解群となる。
そこでmod pした有限体のガロア群と分岐群からなる
完全列を考えると、大抵のガロワ表現では分岐群が
自明に作用している事が知られている。
そこではフロベニウス元に対するトレースがモジュラー形式
のq展開や楕円曲線の有理点の個数とも関係して、
不思議な関係を与えている。Qの絶対ガロワ群を
生成する原子のようなものがフロベニウス元だと
考えればよい。でもQのガロワ群は判らないことばかり。
複素共役以外の位数有限な元も余り見つかっていない。

>>110
本当はZ上でホッジ理論を考えたいのだが、それは
今の段階では難しい。Z上で駄目ならZ_p上でやるのが
現在の数論幾何の方向だと思う。誰もまだ最終形を知らず、
専門家であるKedlayaさんもそういう方向で模索している。
彼は現在普及している周期環の定義の改良を試みている。
B_dRなどが一見して判り難いのは深い所に
理由があるかもしれない。確かに「p進周期とは？」
という問いかけも明確な答えは無く、2πiの類似がp進複素数"t"
であるという類似の話をしても判った様で判らないと思う。
自分はこういう話を10年以上も考えているが、未だに
良く判らないしまだまだ理解が浅いと思う。
勉強して違和感を感じたときに、完成した理論を
鵜呑みにするのではなくKedlayaさんのように
自分なりの理解の仕方を発見するのがベストだと思う
(実行は難しいかもしれないが)。
それとZ上とC上の大きな違いはZ上で考えることは
integralな構造(Z-加群ないしは格子)を考える事に相当する。
これもCとB_dRの違いを考える上でヒントになるかも。
良く理解できないという事は、実は自分流の数学を
発見する上で大切な事だと思う。

>>110
最初からB_dRなどを考える前に、
最も簡単な例である1次元のガロア表現を
考えると良い。この場合にはQ上のガロア群に対して
p進円分指標と呼ばれるものが構成できるので、
それのフロベニウス元の計算から始めれば良い。
それが終わればGL_2の話に移行する。Q上の楕円曲線には
Qのガロワ群が作用しているので、そこから自然に
ガロワ表現ができる。フロベニウス元の特性多項式、
その次に・・・という風に具体例から始めると色々計算できて面白い。

>>113-116
ご丁寧なお返事、ありがとうございます！
とても勉強になりました！

>>116
ちょうど現在 類体論を勉強しているところなので
まずは1次元のガロア表現を考えてみようと思います。
いつか B_dR のことなどを理解してみたいです。
本当にありがとうございました。

>>110
最後にEisenstein級数だが、具体的に書くと
複素平面の格子上の関数という表示を持つ。
簡単な計算で定数項にゼータ関数が登場する。
Eisenstein級数から出てくる不思議な恒等式が
山のようにあるのだが、こういった話を扱う為には
ある種の代数の問題に翻訳する為にヘッケ作用素が必要になる。
MordellがRamanujan予想の一部を解決する為に考えたのが始まり。
Eisenstein級数は具体的な表示が可能と言う利点が大きい。

>>117
どうしても判らなければ身近に
訊ける人が居れば良いけれど、一番良いのは
自分の頭でウンウン唸って計算して考えること。
本も沢山あるけれど、結局これしか方法がないと思う。
自分も未だに判らない事だらけで、判らないから
我流で研究を続けているというのが本音。
寝とぼけているので今宵の講義はこれにて終了！

良スレだな。古き良き時代の数学板を思い出す。

>>119
とても貴重なアドバイスをありがとうございます。

一年に一度の勉強になるスレ

良スレだな。全くわからんが

>>86
@_Capila
ウデールの定義 （1976年12月7日の加藤和也先生の講演
「有限体上の一変数函数体を剰余体とする類体論」の記録より）
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiliCcAAmaq4.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiF8CMAAopFV.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiQ4CMAAj9Z2.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOih_CUAA4GRZ.jpg
10:06 - 2014年12月26日
https://twitter.com/_Capila/status/548540349593825282

低レベルでわるい。
BdRのBは何でBなの？

>>125
Fontaineに聞け

標数pの体は身近に思える

・・・ただしp進体、テメーはダメだ

これは良スレ。
ラノベみたいなスレタイだな。