函数論・複素関数論・複素解析のスレ2

函数論、複素関数論、複素解析に関する事を自由に語ってください

前スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1328699861/

電源切って勉強しろ

狸

>17 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/29(火) 05:54:31.09
> ところで, 冪級数は xの自然数乗の定数倍の和の事が多いが, (x-y) の自然数乗の定数倍の和でも冪級数である.
> 指数函数の逆函数を冪級数で表す時は (x-1) の自然数乗の定数倍の和にする事が多かろう.
>

コーシーの定理におけるf(z)は正則という条件はもっと弱くできるよね
なんでそうしないの？

正則関数の話だから

そうなんだろうね
だけど、そういう注意はどこかに書いておいたほうがいいんじゃないか？（書いてあるのを見たことがない）
そうしないと、それが正則関数に固有の性質であるかのように誤解してしまうから。

政岡大裕（開智高校、明治大学出身）は気持ち悪いよね。こいつは早く自殺しろ！！！！！！！

>>6
ホモトピー/ホモロジカルから見たコーシーの積分定理の方がいいという事？

教えてください。
次の問題をf(z)のテーラー展開を使って証明できないものでしょうか？
いろいろやってみてもできないのですが。
（問題）関数f(z)は、
・閉円板|z|≦1の近傍で正則
・円周 |z|=1上で|f(z)|≦1
・開円板|z|⋖1の相異なる２点z1,z2においてf(z1)=z1, f(z2)=z2
を満たすとする。
このとき、f(z)=zであることを示せ。

勘違いしてるんだろうね

いろいろやったのを全部みせて

>>9
シュワルツの補題

>>9
もちろんテーラー展開を使う方法でよい。それが最も初等的でもある。
難しく考えないでその方向でもう少しやってみればいいよ。

シュワルツの補題を使うに決まってんだろ

使いホーダイでな。

数理科学１０月号が出た
複素解析の視点
遍在する複素関数

だれかこの問題できる人いる？教科書の解答とどうも合わないのだが。
（問題）∫[0,∞] (cos x)^2 / (1+x^2)^2 dx を求めよ。

簡単な練習問題だが、どういう解き方したんだ？
それぞれ使う半平面を間違えたんじゃないのか？

>>18
ふつうに、
cos z = {e^(iz)+e^(-iz)}^2 　として
上半面で積分して2で割った。
そのときz=iにおける留数計算した。
(z-i)^2なのでちょっとややこしかったが、そこは間違っていないと思うが。

e^(-iz)項がジョルダンの補助定理使った時に発散するので
coszの変形ではいけないと思われる。(基本)

そうか。e^(-iz)項がまずいね。
(cosx)^2 = (1+cos2x)/2 なので、
(1+e^(2iz))/2 を積分してその実部をとればいいね。
サンクス

e^(iz)は上半で発散, e^(-iz)は下半で発散

逆？

(1+e^(2iz))/{2(1+z^2)^2 }

>>24
うん記載ミス

ポール枚の息子の名前って知ってる？・・・極 正則＝きわみ(ポール) 正則。
極、極まって、正則す。？？？我ながら 恥ずかし。

木曽の　正則さあーーん。

まさのり関数て人名かとオモタ。

ある意味ただしいかも。曲がったもの渦のない性格てこと。
おれの友達の正則君にはつむじがなかった？？？？？？？

おれの友達は、渦無 正則 君だった。
しかし、つむじは、ただの禿げだった。しかし湧き毛 もとい腋毛はあった。

ゴミでageるな

Fukushima holmorphic

相転移？

渦無 正則 君の別名は等角 正則君だった。
かれら一族は曲がったことが大嫌いのようで、一見曲がって見えるようでも局部
的には直交しているのであった。
そういえば仮面ライダーも変換する時は、ヘンカーンと言って両手を直交させる
動作をする。まさにこれは等価写像を意識している動作である。

直角といえばののちゃんの曲がり

あれー。でも丸いものまあるくおさめてもいる。・・・円円対応。？

そだった。等角写像で直角写像ではなかったのだ。

ε^(iπ)=-1　は当り前。なら、log(e)(-1)　はいくらか。
log(e)(-1)＝iπ・・・ではなくて、log(e)(-1)＝i(π＋2nπ)
言われてみればそのと−り。

被覆空間上の関数を射影した面上の関数とみちゃうから多価関数になっちゃうってことか。

オイラーの公式は学部（電気系）ならほぼ知ってる。けどその逆関数の指数関数
で突然聞かれると面食らう。・・・複素関数のつかみはこれで行こう！

つづいて謎の中国人、周 積分　現る。？

うるせえぞゴミ

ポール牧＝＞ポール巻＝＞ポール回＝＞ポール回る＝＞極 周回。＝＞i2π　・・・1回りね。

極ひとつ　1回まわれば　パイ二つ。　（愛を忘れずに）

いろんな関数をコレクションしていく気持ちで性質とか学ぶと楽しい

本スレ、線型代数スレの馬鹿集合

馬鹿はシモネタに走る法則でもあるんか？

笑笑笑

孔子曰く、複素関数はコーシー。

却下

道子曰く、すべての数学はタオへと続く

ｋ

大沢先生の岡潔の本読んでるけど、
高瀬の本よりいい感じ

大沢が「先生」で、岡潔先生は呼び捨て
という種類の人間が存在するらしい。

もはや歴史上の人物だからじゃないの？

高瀬も歴史上の人物になったか

昨日の林先生の岡潔は
どんな感じでしたか？

記憶が正しければ、岡潔の教えは西野さんで途絶えたと思ったな。

つまり>>55は西野さんだと主張したいの？

私の記憶が正しければ、西野はすでに岡潔先生のもとへ逝っている

閻魔様のところで、振り分けがあるんだよ。

多変数解析関数で重要な仕事を3つした
でも本職の数学者でも理解できない
そこで人物像に焦点を当てる

変人な行動
しかし思いやりがある
春の野に咲くスミレの花は
情緒

思い出せる限りでこんな感じ
好意的に描かれていたし娘さん息子さんの話もあったし
でも取り上げられたエピソードがやっつけな感じがしないでもなかった

「本職の数学者でも理解できない」のは
数学の部分ではないのかもしれない

どのくらい凄いかって表現なんだと思う
専門が違えば知ってる訳ないのにね

さすがにカルタン先生が、とは言わないもんなあ
あんたカルタンとどういう関係にあったのよ、とな言われるから

大沢先生の岡潔の本で、クザンの問題が
ヤコビの逆問題の延長にあることがわかったのが
良かった。

軽タン重タン

ブルーバックスで逆問題の本が出たが
ヤコビの逆問題の延長ではなかった

中身を見るまでもなく工学系の話題って分かるだろ

ペンローズ変換は
物理系かと思った

ムーア・ペンローズ逆行列の
ムーアはバーコフの先生らしい

逆問題の本に小平先生と複素多様体の話が
でてきたのでたまげた

野口さんの本難しい、手頃かと思ったら予想外

手ごろがわからないが
ブルーバックスのレベルかと思った？

新書www

ホモトピーとかしらんねん

岩波さんよ、小平『複素解析』増刷してくれ

>>75
ヘルマンダーより丁寧に書いてあるのかということ

年収９００万 /４２歳 ボーナス ２３０万 すべて税金 税金

原 子 力 研 究 開 発 機 構 原発 推 進 国 策 法 人
原 子 力 研 究 開 発 機 構 原発 推 進 国 策 法 人
原 子 力 研 究 開 発 機 構　 原発 推 進 　国 策 法 人

税金でボーナス２３０万 原発推進 東電天下り集団
税金でボーナス２３０万 原発活用 東電天下り集団

原子力研究開発機構 東電天下り 国税２３００億円じゃびじゃびゅ
原子力研究開発機構　東電天下り　国税２３００億円じゃｂじゃびゅ

>>79
ページ数からいったらそうだろう
もうすぐ英訳が出るから
もっと比べやすくなる

多変数複素解析で一番分かりやすい本はなんだろう
ある本には、関数が解析的である同値な条件が５個ならんでた、最初の方には葉はでてこなかったが

大沢先生のディーバー方程式と複素解析幾何はどうかな？

大沢先生のは行間が開きすぎ、証明が分からない

けど「これがわかれば全部わかる気がする」という気にさせる書き方するよね大沢先生は
数学に限らず日本語も何もかも難しいんだけど。漢文とかもすごい詳しいし・・・あの博識っぷりは何からきてるんだろ。
論文とか文章の書き方はすごい参考になる。

>>82
倉田先生の数学セミナーの連載
異論はないだろ

>>86
これね、探してみるね、読み物としてはよさげだが

多変数関数論を学ぶ
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/4680.html

逆に言うと、葉とホモロジーが分からんということか

>>86
それってT瀬が書いたんじゃないのか？

>>89
どういうこと？ゴーストライターってこと？

ヘッケ作用素(T(m))によるweight kのモジュラー形式fの変換(T(m)f)(z)は
M:SL(2,Z)の行列を用いて
(T(m)f)(Mz)=(cz+d)^k (T(m)f)(z)
となるんですか？

はい

囲碁の観戦記を書いて強い打ち手になった人はいないそうだが
倉田令二郎の解説にはそんな雰囲気がある
観戦記を書いてもだめなら読んで強くなるのはもっと難しそうだ
実際の問題に取り組んでから力を出せる人は出せるということだろうね

Freitagの本ってどうなの？

>>94
I巻は基本から楕円関数、モジュラー形式もサポートしてある。答えのヒントがあるのがいい。
代数の知識があると読みやすいかも(同値類やRing,field等の用語使ってる)。誤植も少しある。独学向き。
�U巻は解答なしで、ちょっと雰囲気が違うので、解答を確認したい事には向かない。

a∈Rとする。
lim_{R∋h→0}(f(a+h)-f(a))/h
は存在するが
lim_{C∋h→0}(f(a+h)-f(a))/h
は存在しない複素関数f(z)の例を教えてください。

>>96

exp (-1/z)

>>97

exo (-1/z^2)

> 97,98
有難うございます。

このように定義域を限定すると微分可能になる関数の呼び方ってあるんでしょうか?
「exp(-1/z)はR上での"制限(?)微分可能関数"である」とか言ったりするんでしょうか?

>>99

区間 [０,∞ ) において微分可能と言ってもよい。原点において右側微分可能とも言う。

そんなものはない

>>101

>>101

矛盾なく記述されているなら、表現は著者の自由だ。

俺様理論万歳！

>100

とても参考になります。
どうも有難うございます。

そうそう、数学は自由だ

有用性からもね

楕円関数の話から始まる短い論文を読んだが
アッペル・アンベールの古典的定理の次に
アティヤやセールの仕事が出てきて
最後は反例の話だった

最近のフィールズ賞は古典論に関係ないね

小平邦彦生誕１００年記念講演会は
市民講演の後だから
席の確保が大変そう
でも複素解析ファンは必聴か

留数定理関連で、例えば、a,bが実数の時
f(z)=1/(z-ai)(z-bi)
を、複素平面の上半分の半円の径路 C_R; z=R exp(iθ) (0≦θ≦π) で積分する事を
考えます。
f(z)=1/z^2{1 + c_1 z + c_2 z^2 + …}
と書けるので、R → ∞ では
∫_{C_R} f(z) dz → 0
となるのではないかと思ったのです。
しかし、複素平面の下半分の半円の径路 C_R' ; (π≦θ≦2π) の場合も
∫_{C_R'} f(z) dz → 0
となるように思えます。

すると、実軸上の積分路を考えた時、上記の事とz=ai, z=biの留数とが矛盾するように
思えるのですが、どこに間違いがありますか？
個人的には、一様収束と項別積分関連の「モンダイ」かなと思っています。

(z-ai)(z-bi)=z^2-i(a+b)z-ab=z^2{1-i(a+b)/z-ab/z^2}
∴ 1/(z-ai)(z-bi)=1/[z^2{1-i(a+b)/z-ab/z^2}]
∴ |1/(z-ai)(z-bi)|=1/R^2・1/|1-i(a+b)/z-ab/z^2}|

|1-i(a+b)/z-ab/z^2}| → 1 ( R → ∞ ) より、
1 < M < 2 を満たす任意の正数 M に対し、R を十分大きくとると
1/|1-i(a+b)/z-ab/z^2}| < M
と出来る。

∫_{C_R} 1/(z-ai)(z-bi) dz ≦ ∫_0^π 1/R M dθ → 0

？？？

age

>>112
誤字訂正

誤：∫_{C_R} 1/(z-ai)(z-bi) dz ≦ ∫_0^π 1/R M dθ → 0
正：|∫_{C_R} 1/(z-ai)(z-bi) dz| ≦ ∫_0^π 1/R M dθ → 0

そこかよ

>>111
何が分かんないのか分かんない

>>111
R → ∞のとき、{1 + c_1 z + c_2 z^2 + …} からの寄与は無視できないでしょ
{1 + c_1 z + c_2 z^2 + …} は有界ではないよ

理由が判明しました。

Res(ai) + Res(bi) = 0 だからです。なぜなら、

Res(ai)=[(z-ai)f(z)]_{z=ai}=[1/(z-bi)]_{z=ai}=1/i(a-b)
Res(bi)=[(z-bi)f(z)]_{z=bi}=[1/(z-ai)]_{z=bi}=1/i(b-a)

だからです。

>>116
例えば、a,b > 0 とした時、
実軸の径路を C_0; z=x, -∞≦x≦∞ とすると、
(i) 複素平面の上半分の半円の周囲で積分すると：
∫_{C_0}+∫_{C_R}=2πi{Res(ai)+Res(bi)} ; 留数の和
(ii) 複素平面の下半分の半円の周囲で積分すると：
∫_{C_0}+∫_{C_R'}=0 ; 留数がない。

しかし、∫_{C_R}=∫_{C_R'}=0 ということであれば、

(i)より、∫_{C_0}=2πi{Res(ai)+Res(bi)} ; 留数の和
(ii)より、∫_{C_0}=0

となるため、矛盾するのではないか、と思ったんです。
ところが実際は、Res(ai)+Res(bi)=0 なので矛盾してなかったんです。

>>117
「>>112」をご覧ください。径路 C_R, C_R' による積分は確かに共に 0
になっているんです。

>>111
詳しいことは分からんが、
f(z)をai,biを含む閉曲線で積分すれば、留数定理よりゼロにならないか？
何も矛盾してないように思えるが？？

>>119
Res(ai) + Res(bi) = 0
になると言う意味であればその通りで、既に >>118 に書いてあります。

こっちでもやってたか

>>121
むしろ元々こっちがメインです。

書く気をなくさせて何がうれしいんだか

>>123
嫌味や皮肉ではなく、それがどういうい事が意味が分かりません。

へんじがない…書く気がないようだ

>>125
何を言ってるのか分からないけれど、>>118 で解決済みなので
返事もやり取りも無いだけですよ？

学会の講演はビデオがよかった

倉田先生の若い時の写真を見たが
知人にそっくりなので驚いた

超準解析

超獣怪赤

野口潤次郎が最近出した多変数複素解析の本、学部生が自主ゼミで読んで挫折したと聞いた
やってたのは学部生の中でも優秀な人たちだと思うけど

タイトルに「学部生に贈る」て書いてあるのにね

東大ではコホモロジーは常識だそうな

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420998630/

>>131
普通の優秀な人たちでは挫折しても無理ないと思う

この前でた倉田先生の数学セミナー連載のまとめ本ちゃんと理解すれば野口先生のにも入りやすいと思うけどね

>>135
倉田先生の本を読んだけど、すごく分かりやすいじゃん。

fが正則関数でγがJordan閉曲線の時,もしaがγの外部にある時,
�塔ﾁ f(z)/(z-a)^2dzの値は幾らになりますか?

釣りだな

グルサの定理から0になるのですね。

積分定理だよ

暑くて数学の勉強ができません。どうしたらいいですか

釣りでもすればいい

釣りってザリガニですか？

zを複素数として，
Σ_0^∞ z^n/(1+z^{2n})
という級数を考えたときに，
この級数は|z|=1で発散，それ以外で収束する不思議な級数のようですが，
この級数に何か名前なぞついていたりしませんか？

また面白いモノを

テータ函数です