って言いたいけど、一応示しておくか。

R^3 の標準基底を　e_1, e_2, e_3 とする。
行列 Φ をR^3 から R^3 への線型写像とみなしたとき、
Φは e_1 を a に、e_2 を b に、e_3 を c に移す写像である。


よって、もし detΦ ≠ 0 ならば、Φの逆行列 B が存在する。
B も R^3 から R^3 への線型写像とみなすことができて、
a を e_1 に, b を e_2 に, c を e_3 に移す写像である。

今、R^3 の任意のベクトル x を取る.
y = Bx = (y_1, y_2, y_3)= y_1e_1 + y_2e_2 + y_3e_3 とおくと、
x = ΦBx = y_1a + y_2 b + y_3c
よって、(a, b, c) は R^3 の 生成系である

一方、x = z_1a + z_2b + z_3c とおくと、
y= Bx = (z_1, z_2, z_3) = (y_1, y_2, y_3)
となり、

x の表示 y_1a + y_2 b + y_3c は一意である。
よって、(a, b, c) は R^3 の基底である。