数学基礎論・数理論理学　その16 [転載禁止]©2ch.net

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その15
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1415660285/

>>1
基礎論は誤解を招くから公理論にしたら

「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として」
は
「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
にして欲しかった

>>3
>「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
「解析学」削除依頼　理由：関係ないから

毎回、スレを立ててから文句が出るけれど、テンプレを変更したいのなら
スレの終わり頃にコンセンサス得るようにして頂けません？

>>4
横レスすまないが、プリンキピアマテマティカって最初は解析学を基礎付けるために書かれた、
結果的にはそこまで到達できずに終わったけど

>>6
しらねーよ

基礎論しらねーやつがくだまいてんじゃねー
やんのかこら。リンドストルム定理くらい知ってるかわれ

あーんどのつらさげんじゃわれ

数学勉強したことねーのにw

>>7
あなたが知らないのは関係無い理由にならないでしょ？

18世紀〜20世紀初頭くらいまでの
数学史について書いた本一冊くらい読んだら、
無関係じゃ無い事は分かると思うよ

開き直るアホ

ああ、もちろん ID:NoHNoowI に対して、な

前スレ埋めような

うめ

>>1
基礎論にはどんな応用があるのですか？

>>16
「★[新しく記事を投稿する場合]は、既に同じ内容の投稿がないかどうかを確認してから行なうようにしてください。」
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1415660285/548-

>>1
ルベーグ積分と基礎論の関係について教えてください

>>17
その部分をいま読むと「上手いことを言おうとして...」と言ってる香具師が
一番滑っていることがよく分かるなｗ

>>1
関数解析と基礎論について論ぜよ

http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11723-3/
基礎数学シリーズ 23
数学基礎論入門 （復刊）
B5／216ページ／2006年03月20日
ISBN978-4-254-11723-3　C3341
定価3,672円（本体3,400円＋税）
前原昭二 著

これは「最初の一冊」にふさわしいですか？

まあまあ

ただ同じテーマでも最近は
共立出版から出た「不完全性定理」の方が分かりやすいと思う。

何か某yさんがやたらdisってるけど。
著者との間に何かあったんだろうか。

その某yさんってのは前スレ848, 851, 855辺りで叩かれてる人でしょ？
気にしなくていいのでは？

某yについて検索したら、こんなの見つけた：

http://ask.fm/ytb_at_twt/answer/105675503178

集合論の言語には定数記号も関数記号もないってことすら分かってないらしい。
三ダース以来の良ネタの予感。

>>22
菊池さんの「不完全性定理」のプロ向けお薦めの読み方は脚注だけ読むことです。
10分で１冊全部読めて、この本の神髄がわかります。

>>23
それ違う人じゃないの？
私は某yさんがそういうこと言ってるの見た事無いけど

>>24
>集合論の言語には定数記号も関数記号もないってことすら分かってない
ってことは無いだろうけど、そのCZFAの存在具体性については
本人自身が訂正してなかったっけ？
ちょっとした間違い自体は誰にでもあるもんだよ

ってか「検索したら」って書いてるけど多分24はその件前から知ってたでしょ

>>26
前スレ848で書いてある通りに実際にask.fmでトンデモ扱いしていた。
その直後にトンデモ扱いされたと思われる人がこっちに移って来たのではっきり覚えている。
前スレ393とか423とか。

前スレ855の指摘は>>24のリンク先に
「『CZFA は直観主義論理上の体系であり，存在具体性などは担保される』と書かれています」とあって
本人が「そんなこと言っていない」とも言っていないので実際に言ったのでしょう。

確か>>24のリンク先のやり取りの直後に
同じ質問者と思われる人が「定数記号も関数記号もない」と指摘したものの
それをトンデモ扱いしたやりとりがあったと記憶している。

>>19
それ私だけど、どこかおかしいことを言ってる？

すこしことをあげつらうくせにw

481 ：１３２人目の素数さん：2012/05/16(水) 03:19:02.84
３ダースの次は北田均か。叩く対象の「プロ研究者度」がどんどん上がってるな。

なんで実名を出さないの？
矢田部俊介さんでしょ。
大学教員なんだから公人扱いでよい。

批判と人格攻撃は区別した方が良いと思う。お互いに。


>>27
yさんが書いた文章の中にそういう文章あったと思うよ。

ask.fmのその質問の直後の質問、って
辿るのがめんどくさ過ぎるんだよなあ……
あの仕様は何とかならないのかなあ。

yさんはask.fmは面白いボケとツッコミになることに主眼置いてるでしょ。
ブラックジョークの域に入って一部の人に不快感を起こさせることは
自分でも分かってると思う。

日曜数学者であるｙ氏をよってたかって叩くのは気が進まないけど、
あれだけ玄人面して素人を叩いているのだからブーメラン。
今回の件では擁護する気は失せる。

定数記号も関数記号もない言語で項は変数のみ。
従って存在具体性は
「∃xA(x)が証明可能ならばある変数yに対してA(y)が証明可能」となる。
一般化規則「変数yに対してA(y)から∀xA(x)を導いて良い」と合わせると
「∃xA(x)が証明可能ならば∀xA(x)が証明可能」。
よって空集合の存在から「すべての集合は空である」が導ける。
ωの存在から「すべての集合は自然数全体である」が導ける。

これでも「ちょっとした間違い」なのか？
根本的に分かっていない、というべきではないか？

関数・定数記号がない言語がどうこうの前に
「直観主義論理上の理論は存在具体性を持つ」のなら
古典論理も直観主義論理上野理論なのだから
「古典論理が存在具体性を持つ」ことになってしまうんだな。
前スレの851等でとっくの昔に指摘されてのな、スマソ。

とにかく二重三重に根本的な間違いだな。

>>27
前スレ848というのはこれかな？
http://ask.fm/ytb_at_twt/answer/122163554634

>「『CZFA は直観主義論理上の体系であり，存在具体性などは担保される』と書かれています」
これは以下の論文（査読済みらしい！）の12頁下から７行目。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/173335/1/phs_7_1.pdf

>>24のリンクの次の質問は見つけれなかった。
>>35が書いている指摘もask.fmで質問があったと思うけど本人は理解できなかったんだろうね。

その論文「循環性を受け入れる」の主旨は、
余帰納法のある体系CZFAは存在具体性が成立するので構成的と言える、
ということだから話の大筋から誤りなわけだけど、
>>26の言う通り本人自身が間違いを認めているのなら
erratumとかcorrigendumとか出ていないのかな？
査読で通す方もどうにかしているけど
哲学の国内誌の査読なんて期待しちゃいけないのかもね。

>>24の次というのはこれ？
http://ask.fm/ytb_at_twt/answer/105686652490
ツイッターからならすぐに見つけられる。

集合論の言語の項というのに、
何をどこまで仮定も何もないだろうと思うが。

ソーカル事件はソーカルの人格攻撃に終止し哲学学界は何も変わらなかった

そうか、分かったぞ、矢田部さんは日本版ソーカルになろうとして
意図して間違った内容の論文を出したんだ。そうに違いない。
そうでなければ、数学出身で数理論理の訓練を受けたのに
「集合論の言語の項は変数しかない」という基本的な事実に
気づかないなんてことは説明できない。
「公理を増やして矛盾が解消される」という区体論の人を
「少し考えれば簡単に分かる」と批判している人が
同じレベルの基本的な事実を見落とすなんてことがある筈がない。
そうだ、間違いなく、日本版ソーカルになろうとしているのだ！！

複ベクトルでも見ながら落ち着け

凄いよ、数学の哲学では中心人物に上げられてる。
http://awabi.2ch.net/test/read.cgi/philo/1327213645/324
これで「ソーカルやってました」宣言したら日本の数学の哲学は吹っ飛ぶんじゃない？
本物のソーカル事件以上のインパクトだよ！

「正則性公理を追加しないと矛盾する」というのと同じレベルというが
公理を追加して矛盾がなくなる訳がないのは論理体系が如何なるものか学んだことがあればすぐに分かる。
集合論の言語に定数記号や関数記号がないからと言って項が変数だけになることはそんな簡単なことではなく一部の集合論の専門家でないと分からない。
両者を同列にしてあげつらうのは悪意があると考えるのが通常の感覚だ。

言語の拡張による理論の保守拡大のことを考えれば
φとかωとかと同様に、一意に定義可能だったら
それは存在すると思って良いんじゃないのかな

>>43
鴨のは正則性公理の存在理由にはダンマリだから、ただの愚者への見下しとなっている。

http://bunkyoken.kawai-juku.ac.jp/publish/mathseries.html
河合文化教育研究所の数学基礎論シリーズを揃えたいんだけどどこで売ってる？

>>43
>集合論の言語に定数記号や関数記号がないからと言って項が変数だけになることは
>そんな簡単なことではなく一部の集合論の専門家でないと分からない。
？？項の再帰的定義見ればすぐに分かるだろ？

>両者を同列にしてあげつらうのは悪意があると考えるのが通常の感覚だ。
正に同列、同レベルの話だと思うが、本気で言ってるの？
ネタで言ってる？（>>40も明らかに皮肉だろうし）

>>44
>言語の拡張による理論の保守拡大のことを考えれば
>φとかωとかと同様に、一意に定義可能だったら
>それは存在すると思って良いんじゃないのかな
数学の「○○と考えて良い」「○○として良い」は
その適用範囲を分かった上で意識して使っている限りではいいが
そこを疎かにして理解したつもりになった途端にトンデモ化する。
今回の某ｙ氏（特に>>38の回答）は正にこのパターン。

哲学業界で数学に詳しくない人相手に
「技術的な理解を疎かにして」「言葉遊びに終始している」とか
色々批判しているようだけれど、完全にオマユウ状態。

>>46
『逆数学と2階算術』って Amazon で高騰してるけど、「あとで買う」に入れてたら2k円に下がったとき有ったからそのときに買ったな。
あとは図書館で借りて全部コピった。

>>46
中村 徹『超準解析とファインマン経路積分』については
大幅増補したものが『超準解析と物理学』日本評論社

河合塾とか男塾の仲間よ

知っているのか？雷電

でんでんなら知ってる

https://twitter.com/georg_logic/status/433766978533076993

>>24や>>38で指摘された後でも根本的におかしいことがまだ分かっていないらしい。
「不思議な話」だって。
しかし秋吉氏が成り立つと主張する「普通の形」ってなんなんだ？

わざわざRathjenの論文が引いてあって
そこにweak existence propertyとはこういう性質で〜〜とか
existence propertyとはこういう性質で〜〜とか
定義まで書いてあるのに何で読みもしないで人を叩いてるの？
>>53の神経が分からない

>>54
？？？
何か読み違えてないか？

「循環性を受け入れる」で矢田部さん自身が定義している存在具体性と
秋吉さんが引いているRathjenの論文のexistence propertyは別物だね。
集合論の言語で前者が根本的にナンセンスなのはこれまで議論された通りだけど
秋吉さんは後者ならCZFで成立するという意味で言っているの？

>>56
そんなことはないようだよ。何故ならその秋吉氏の呟きは
http://ask.fm/ytb_at_twt/answer/107955957834
を受けてのものだと思われるから。
リンクされている論文はそのものずばりのタイトルだけど
秋吉氏の引用していたRathjenの論文でのexistence propertyの定義に基づき
それが成り立たないという結果。

むしろ「普通の形」は標準的な論理学の教科書に出ているexistence property
すなわち「循環性を受け入れる」で採用している定義と考えるのが自然かと。
この「普通の形」からRathjen型は直ちに出るので、
Rathjen型が不成立なら普通の形も不成立なのは自明なので
秋吉氏がそこまで頭悪いという前提で推定するのもなんなんだけど
（そもそも変数しか項がない言語ではナンセンスなのは何度も言われてる通りで）
だからと言ってそれ以外に普通といえるほど有名なEPの定式化もないしね。

>>57

>リンクされている論文はそのものずばりのタイトルだけど
秋吉氏の引用していたRathjenの論文でのexistence propertyの定義に基づき
それが成り立たないという結果。

推敲ミス？文意が取れない。

>>58
「循環性を受け入れる」で採用しているものを存在具体性と呼び
秋吉氏の引用していたRathjenの論文で定義されているものをEPと呼んで
両者を区別することにすると
CZFではEPが成立しないというのが>>57でリンク貼ったSwanの論文の結果、
ということ。

世界の現場では、標準的な論理学の教科書に出ている普通の形のEPは集合論ではナンセンスなので
集合論で意味がある形に変更して成立不成立の研究をしている(>>53や>>57のリンク)。
対して日本の数学の哲学の中心人物たちは、
ナンセンスかつ不成立が自明な普通のEPで論じた上に成立すると主張（某Y氏）したり、
世界の現場では自明に不成立だから定義が変更されていることを理解せずに
普通のEPは成立すると主張（某A氏）していたり。

雑誌論文の中で堂々と主張してしまうY氏に比べればA氏の罪は軽いが、
変数しか項がないような言語であることに気付かないとか
「勉強不足で」で済まされるレベルではないだろう。

某とかする必要ないで

数学の哲学というか論理の哲学は最近活発になってきたなと思ってたのだががががが
研究ごっこ？

今日も粗探しご苦労様

>変数しか項がないような言語であることに気付かない
さすがにそんなことに気付かない訳無いでしょ……
こんなの公理論的な集合論について勉強し出した
一、二年生でも自明に分かることだし、一応集合論で博士号貰ってる人なんだし。

仮に勘違いしてるとしても、無意識のうちに
もう少し意味のある存在具体性のformulationと混同してるとかじゃないの？

もう少しprinciple of charityに沿って人の言葉を解釈するべきだと思う

ここ最近youたちのtalkするcontentは非常にdifficultなので
take part in a discussionできなくて悲しい。

Oh, really?

Come on. Donnt hesiate. Enjoy with kus.

>>64
それじゃprinciple of charityに沿った解釈をして見せてよ
矢田部さんの場合、論文にformulationが明記されている以上
それ以外の解釈の余地はないように思うけど？

> >変数しか項がないような言語であることに気付かない
>さすがにそんなことに気付かない訳無いでしょ……
>こんなの公理論的な集合論について勉強し出した
>一、二年生でも自明に分かることだし、一応集合論で博士号貰ってる人なんだし。

いや全くおっしゃる通りで。
そんなレヴェルで考えられないあり得ない間違いだからここまで叩かれている。
ふつうにあり得る間違いならここまで叩かれたりしない。

秋吉氏も、そこで初めて聞いた話題で間違えたのなら同情の余地はあるが、
それまでに矢田部さんの講演を勉強会等で聞いたことあったはずだし
自身でも集合論の証明論について講演したりしているわけだから
批判は免れない。

「俺様の研究は世界の偉い人に認められてる」アピールするのに
その研究が国際的な雑誌に出ているのを見たことないなと思ってた

＞一応集合論で博士号貰ってる人なんだし。
何のひねりもないお約束のツッコミで恐縮だが、世界の人生。

人生さんと比べると
「ありえない」「ありえない」と言いながらも叩いている人は愛があるなｗ
ask.fm等での指摘に耳を貸さなかったんだから
人生に向けられる同じ眼差しを向けるのが普通と思うが

加算と減算の単位を算節と呼ぼう

全ての数式は加算のみで表せる

戸田山 和久 (著)
論理学をつくる 2000/10
名古屋大学出版会

これが最良の入門書ですか？

>>72
そうだよな、こんなひどい間違いに周りの研究者は何も言わなかったのかよ
（一緒に叩かれてる秋吉さんはともかく）と思うけど、
ask.fmのやり取り見ると、言ってたとしても当人が理解できないんだもんなあ

>>75
俺が読んだことのある入門書の中では前原昭二先生の記号論理入門と数理論理学序説が良かった。
論理学をつくるは範囲は広いけど、それぞれの分野の専門書を個別に読んだ方が効率良いと思う。

>>70
journals.cambridge.org/abstract_S0022481200002875
秋吉さんは論文を１つきちんと一流誌に載せている

論文を「１つ」きちんと一流誌に、って……

その人は哲学系の人だから、Ph.Dを取ってはじめて一人前、とかいうのはややアンフェアかと

彼は既に博士号持っているみたいだから
ベテラン研究者が一二年生でもしないような初歩的な間違いをした
というわけだね

少なくとも彼の頭の中では完全に意味が通ってるし
trivialな結果でもない訳で、じゃあどういう風に
誤って意味が通ってしまっているのかを分からないと
価値のある批判は出来ないんじゃないの、と言ってるんだけど。

価値があるかも知れない誤りに対して明白に意義の無い批判を返すことになる。

こういうことを内在的理解と言うのだけど。
数学含めて理系の人はこれがどういうことなのか分かってない人が多いよね。

人生も南堂も内在的理解してやらないとだなw
少なくとも彼らの頭の中では完全に意味が通っている訳だし

>>82
大抵のミスはケアレスミス

>>82
君がどのレスを書いたのか明記しないと意味が通らない。

>>82はまず数理神学とかを叩いている矢田部氏にこそ
その内在的理解とやらを教え諭してやるべきじゃね？

なんかvariable以外のtermがないことばかり言われているが、
直観主義述語論理で知られているexistence propertyが
非論理公理を加えた理論でも成り立つとどうして考えたのかが気になる。
『循環性を受け入れる』見ると、証明なしに直ちに導けると考えていたようだが。

前スレでも指摘受けていたが
排中律を非論理公理として追加すれば古典論理がexistence propertyを持つはずで
同じ論文の別の箇所で自分で言っていることに明白に矛盾する。
existence propertyを保存するには公理の形に条件があるはずだが
その条件に言及もしてなければ満たすことを確認している形跡もない。

そもそも何の変哲もない論理式Aに対し∃xA(x)を公理として追加したら
A(t)となる項tが勝手に生成されてしかもA(t)を導く公理まで生成される
なんて考えているとも思えないのだが。

まあSkolem化って割と自然な操作だけどね。
彼がそういう事を考えていたと前提するのは無理かもしれないけど。

>>86
何事かが得られそうな場合に、
内在的理解、内在的批判をするんだよ。
明らかにナンセンスっぽかったらスルーするだけ。

数理神学云々は、私は全く価値の無い理論だと思うから無視している。
yさんの紹介してるような海外の学者の論文などは普通に価値がある論文だと思う。

紹介されている論文そのものに価値はあっても
y氏という紹介者とその紹介文は明らかにナンセンスでスルーすべきってことだろ

そんなこと言ったって紹介が無きゃ知ることも出来ないじゃん
誰でも知ってる基本的な文献ばかりではないし

海外の業績の紹介って普通に業績に準じるものだよ

>海外の業績の紹介って普通に業績に準じるものだよ
……。

生半可には厳しくと言ってる鴨はどうして矢田部には甘い？

確かに「生半可」って言葉がぴったりだよな
対象にしている概念そのものもがナンセンスなことに気づかなかったり
証明が必要であることを自明扱いしていたり

>そもそも何の変哲もない論理式Aに対し∃xA(x)を公理として追加したら
>A(t)となる項tが勝手に生成されてしかもA(t)を導く公理まで生成される

任意の論理式Aに対して項tが存在して
直観主義論理＋∃xA(x)においてA(t)が証明可能とする。
演繹定理により∃xA(x)→A(t)が直観主義論理で証明可能である。
古典論理は直観主義論理の拡張であるから：

任意の論理式Aに対して項tが存在して
∃xA(x)→A(t)が古典論理論理で証明可能

こういう人に論理学を教えさせている京都大学ってなんなんだろな

北田均さんよりだいぶマシだと思います
文系学部の講義だし

文系学部だからいいってもんでもないが
確かに北田氏と比べると非常勤講師というだけマシだな

矢田部・秋吉両氏にいま一番聞かせたい講演

鈴木信行(静岡大理)
直観主義述語論理に付加してdisjunction propertyとexistence propertyを保存する公理型について

9月16日（水）午前　於京都産業大学　

充足可能な一階述語論理の式で、領域が可算であるような構造では充足できないものは何ですか？

>>98
数学会かあ、なんというタイミングでこんな講演が。
世界の現場というか日本の研究の現場でも
非論理的公理を加えたら無条件にはこれらの性質が保存されないことくらい
当然気づかれている話だよね。

>>96
主流になれない僻みｗ

別に聞かせたい云々言わなくても
正に興味のど真ん中だろうから聞きに行きたいんじゃないの？

ただ仕事しながらやってる場合、平日に行われると
休みが取れるかって問題があるけどね

専業で数学をやってる人に言わせれば、
アマチュアがごちゃごちゃ偉そうにするな、と言いたくなるのだろうけど、
仕事しながらやってる立場からみると
税金使って数学をさせて貰ってる癖に偉そうなこと言うんじゃねえ！
と言いたくもなるだろうなあ

え？京大の非常勤講師の給料って税金から出てるんじゃないの？

ご本人がどう思ってるかなんて知らないよ？
>>102はあくまで私の考えなので

彼が税金で専業をやっていけなくなったのは淘汰の結果であって
他の件まで一般化はしないが彼に限ればその淘汰は適切だったんじゃね？

あとああいう技術的な細かい話は「興味のど真ん中」じゃないと思う。
そういう面倒なところを避けつつ（仕事で時間がないから？）
でも哲学的にカッコイイことを言いたいってとこだと思う。

技術的な細部を疎かにしない人はあんな初歩的なミスを二重三重におかしたりしない。

擁護する側がまったくやる気ないから盛り上がらないね

age

一流雑誌に一本載っただけで英雄扱いとか
海外の紹介が業績になるとか
文系の連中って一体全体なんなの？

突然すいません，現在僕は受験生なのですが，大学の学部で数理論理学(数学基礎論)を学べる大学の数学科ってどこなどがあるか教えていただけないでしょうか？．
少し調べたのですが中々分からないので…

基本的には東大や京大に在籍しつつ
数理論理に関しては自学する、というのが良くあるパターンかと。

数理論理が強くて有名なのは逆数学とかで東北、
モデル理論で筑波、集合論で神戸大（ただし数学科ではない）
だと思います。東北と筑波では学部で論理の講義もあるみたいですよ。

論理学自体はもう先がないだろうから東大京大行っとけば無難じゃね。コンピュータサイエンス系の学科にはどちらにも論理学に詳しい先生いるし。

同じように理学部の別の学科の人は
良く知らずに数学にはもう先が無い、とか言ってるんだろうな

またおまえか、薬飲み忘れるなよ

誰と勘違いしてるの

東大や京大行っても北田や矢田部はやめとけ

>>112
教えて下さってありがとうございます！.
僕は数学以外の教科が出来ないので(数学も全国で僕より出来る人は割と居ますが),東大や京大は厳しいんですよね…
ですので筑波大や神戸大を目指したいと思います．
あと千葉大にも教授が居るということを聞いたことがあるのですが授業は無いんでしょうかね…

>>118
英語は読めなかったら話にならんぞ

数学で必要な英語なんて高一レベルだ
筑波や神戸を目指す人ならその点は全く心配ない

千葉大には数学会で一番名誉のある秋季賞を取った
日本の数理論理の第一人者がいるにはいるが。

学部4年間だけ好きな数理論理を学んでおしまいのつもりなら
講義のある大学っていう短絡的な選択でいいが、
その後もずっとやって行きたいのなら長い目で考えて
学部で身につけるべきは数学の基礎体力。

>>121
お教えいただきありがとうございます！.
千葉大は就職率最悪みたいですが,僕は院に進むつもりですし,素晴らしい教授の元で数理論理学をやりたいとも思っているので,千葉大を第一志望にしようと思います.
大学ではやはり基礎をきちんとやるべきなんですね.ありがたいお言葉です.

あっ,ID変わってますが
118と122は同一人物ですw.

>>122
あのな、言ってることが通じていないようだけど
学部での数理論理関係なんて高々一つ二つの授業だけだろうし、
そんなの他所の大学から潜ればいいし取れなくても大した話じゃない。
しかもその教授だって君の在学中に別の大学に転任するかも知れないぞ。
数理論理の有無なんかで学部（院ならともかく）を決めるな、ということ。

>>124
あぁ,そういうことですか．
ということは基礎体力がちゃんとつけられる所に行くべきで,それなら出来るだけ偏差値の高い所を目指すべきということでしょうか？

最近はネットで大学の細かい情報が簡単に手に入るけれども
教員がいても一人か数人の分野だと他大学に移ることもあるし
開講科目もサバティカル等の理由で中止の年もあったりするから
進学先の選択にはそういうことを差し引いて参考程度に考えないと
後悔することになるよ

受験生からちょくちょく質問が来るようだし
テンプレでも用意してはどうだろうか？
本人の興味と分野によって千差万別の院の選択と違って
細かい分野まで決まっていない（そして決めるべきでもない）
受験生相手なら統一的な回答を用意できるんじゃないか？

「先生に相談しよう」が最も万能な解答だと思う。身もふたもないが。

基礎論の事情を知っている高校の先生はほとんどいない。
いや基礎論の存在すら。

近年でロジシャンが出て行ってしまった大学って、
北見工業大と中部大くらい？
どっちもF案件だけど。

出て行ったというか、単に研究者が一人
もっと研究環境の良い大学に移っただけじゃないの

数理論理学の未解決問題ってありますか？．
僕は超有名所のP=NP問題しか知らないのですが，それ以外に何か知ってますか？．

竹内外史先生のwikipedia小さすぎだろ誰か書けよ…

>>132
en.wikipedia.orgを読もう

Awodeyの圏論の和訳が出ますね
「圏論の歩き方」の単行本化も進んでいるらしい

今年のサマースクールの講義録も来年出るらしいし楽しみ

日本人の論理学は基本、独学なのかそうなのか
英語圏の記述をもりもり読むしかないのかそうなのか

なんだこいつ

ある宇宙人は有限の時間の間に非加算回の操作ができます
この宇宙人が実数の部分集合の濃度をチェックしたら連続体仮説の真偽が分かるのでしょうか？

>>138
ZFCからは独立で真とも偽とも言えないけど
その宇宙人が使う論理体系は推論に非可算回の操作が使える、ZFCとは異なる体系ということですか？
その体系の論理式・公理・推論規則・セマンティックスはどんな感じになってるんだろう・・・？

>>138
その宇宙人が濃度を評価することができても、毎回同じ結果が出るとは限らない。

>>139
ZFCは直接関係ないだろ

それらしい発明・発見があった場合、どのジャーナルに発表したいですか？
それともブログやkindle本なんかですましますか？

数理論理学 『鹿島亮』を用いて勉強してます
三章までの一階述語論理までは理解できたのですが、四章以降のモデル理論についてよく分かっておらず困ってます
特にモデル理論に関する"証明"がどういう意味でやってるのかつかめずに困ってます
モデルに関する言語を作ってその上で一階述語論理を用いてるという理解でいいのでしょうか？
それとも一階述語論理の証明とはまた別の証明なのでしょうか？

モデルというのはある種の集合の事なので
何かしらの集合論の上での証明だと思ったら良いんじゃないの

ペアノ公理系のモデルとして自然数をあげられたときには参った。
死ねよ、とも思った。

>>145
数理論理学の教科書は普通、集合論の初歩を前提としているはずだろう

全てが「基礎付け」の為にある訳じゃないからね。
特に、モデル理論の概念はあまり基礎付けとは関係無い。

集合論で構成した自然数ならいいんだよ
論理学の教科書に出てくるのはそうじゃないだろ？

論理学の教科書でペアノ公理系のモデルとして自然数を挙げたのなら、それは集合論で構成したωのことだろう
そうじゃないとしたら何なのだ？

>>147
ありがとうございます
基礎付けそのものが目的でないと聞くとかなり読みやすくなりました

たとえば計算機科学ではテューリング機械の計算能力を分析する。
テューリング機械を分析すれば「計算」を分析することになる、というのがChrch-Turingの提唱であるが、この提唱の是非を議論するのは哲学の仕事。
計算機科学では淡々とテューリング機械の計算能力を数学的に分析する。
その際、自然数などの存在は無条件に認める。

同様に論理の形式的体系の証明生成能力を数学的に分析するのが数理論理学。
論理の形式的体系を分析すれば「論理」や「数学」を分析することになるのか？という疑問には、数理論理学は答えない。
そういう疑問のことを「基礎付け」と言い、それを議論するのは数学でなく哲学。
数理論理学は淡々と形式的体系の能力を分析するだけ。
その際、自然数などの存在は無条件に認める。

>>151
「その際、自然数の存在を認めない」って立場はないの？

>>151
デタラメ

＞数理論理学 『鹿島亮』
ちょっとワロタ
『』を付ける所が逆

>>152
自然数の存在を認めないのは自由だけど、普通の数学をやるデフォルトの立場は「認める」でしょ。

>>155
普通の数学で？
それは違うと思う。
>>151 が言っている「その際」は普通の数学をやるときの話ではないだろう。

>>155 です。
普通の数学という言葉遣いが不適切でした。
数学を公理的数学と素朴数学に分けたとき、素朴数学のことを意図していました。
>>151 は数理論理学を素朴数学の範囲で行うことを言っているんでしょうね。

>>157
わけのわからない用語を持ち出して来やがった。

>>151ってデタラメなの？
どういう点で？

>>155 >>157 です。
公理的集合論と素朴集合論、のアナロジーです。
大学数学と高校数学、と言ってもいいかもしれません。

自然数云々というのは、考えている公理系がペアノの公理を含むかどうかの差なんじゃないか？

>>160
その言いかえは、「こいつ何にもわかってねぇ」という印象を与える。

素朴実数論

大学以上の数学でも１、２、３…は与えられたものとして使うからね
フレーゲだっけ？１、２、３…を定義して使おうとした最初の人は
公理的集合論は大雑把に言うと集合の概念を使って１，２，３…（飛んで）ω、ω＋１、…と定義していく

>>155 >>157 >>160 です。
>>162 確かに何にもわかってねえのかもしれませんが、
わかってねえ、ということを自覚するのは不完全性定理により原理的に無理かと。
それよりも >>151 がどうデタラメなのか、教えてください

>>151 のどこがデタラメなのか聞いたのはオレだ。真似するの良くない。

自分の無理解を自覚するのが不完全性定理により
無理だというのはどうしてそうなるの？

まずはそういう濫用をしないところから始めよう。
「ゲーデルの定理――利用と誤用の不完全ガイド」に載ってるような
おかしな使い方はしない方が良いよ。

それ以前のレスにも個人的異論はあるけどそれ以前の問題。

気を悪くさせてしまったら御免なさい。
真似したわけでなく、>>159 の質問に対して答えが出てこないので
デタラメと言った人に答を催促したかったのです

私が個人的に気分が悪いとか良いとかそういう問題ではなく
「わかってねえ、ということを自覚するのは不完全性定理により原理的に無理」
という言葉が数学用語の濫用だと言っているだけ。

自然数の存在を認めない立場なんてほとんどないけどね。
ultrafinitismでも個々の数の存在は基本的に認めるし。

あとこういう話題は基本的に数理論理の話題というより
数学の哲学の話題だから、そこらへんはきちんと分けて考えた方が良いと思う。
たとえば「リーディングス　数学の哲学」とかシャピロの「数学を哲学する」
とかの本に載ってるのが数学の哲学だけど、ちょっと眺めるだけでも、
いわゆる数学の一領域としての"数学基礎論"とか数理論理学とは
議論の内容や方向性が違うのが分かると思う。

>>168 (=155,157,160,165)です。
私が御免なさいと言ったのは >>166 に対してです。
不完全性定理の濫用については勉強します。
数学の哲学と数理論理を分けるべき、は正におっしゃるとおりで
それこそ >>151 の言っていることではないでしょうか

まあ基本概念の定義が調べたいものの定義になってようが
そうでなかろうがどうでもいい、みたいなのも極論だけどね

>>169
> あとこういう話題は基本的に数理論理の話題というより
> 数学の哲学の話題だから、そこらへんはきちんと分けて考えた方が良いと思う。
・・・
> いわゆる数学の一領域としての"数学基礎論"とか数理論理学とは
> 議論の内容や方向性が違うのが分かると思う。

上には全く同感なんだが、数理論理学を数学の哲学と混同する人間が多い原因の一つとして考えられるのは、
海外ではずっと前から哲学臭を排除して技術的な分野名としてmathematical logicを常用してるのに
日本では相も変わらず「数学基礎論」なんて時代遅れで哲学厨が喜びそうな名前のほうが
「数理論理学」よりも使われているって悪習が続いてしまってるのがある

なにしろ日本語で書かれたこの分野の最も充実した内容の教科書のタイトルが
『数理論理学』じゃなくて『数学基礎論』なんだから何をかいわんや

現代なら海外で"Foundations of Mathematics"と言えば、
「文字通り数学の基礎付けに関する内容を主題とし多少とも哲学的な議論が避けられないもの」というのが
通り相場なのに、日本の場合は単なる数理論理学の標準的な内容でさえ「数学基礎論」だからねえ

いつまでこういう（世界から見れば）非常識な言葉遣いを続ける気なのかね、日本の数理論理学者は？

＞数理論理学を数学の哲学と混同する人間が多い原因の一つとして考えられるのは、
あまり関係ないと思うけどな
歴史的にはほとんどずっと論理学は哲学だったんだから
哲学（史）を多少なりとも知っていれば、頭に「数理」と付いていようと論理学を哲学と関連付けるのが自然

混同を避けたいのならメタ数学と呼ぶ方が効果的なんじゃないか

でもメタ数学だと非古典論理は排除されてしまうか

>>172
たいした話じゃないし、それか原因で弊害が発生している訳でもない。

こないだのサマースクールの話題の様相論理なんて
正に哲学と論理学・数学の両方に跨る話題で、
論理学とはそういうものなので仕方ないと言えば仕方ないのだけど。

「圏論の歩き方」発売されたね。厳密に論理をフォローする本ではないので
個々の例は適当に読み飛ばせみたいな事が書いてあるけど、MacLaneの本とかと同じだな。

俺がバカなのか知らないがというがバカなのは前提としてだが
なんか複数の本とかwebとかさらっても言葉とか記号の意味や関連付がグニャグニャした感じで
誰の言ってることが正しいのか全員同じ事言ってるのを俺が判んないだけなのかすらわかんね！
と言う漠然な悲しみに包まれた曖昧な悩みに対してなんか道筋を照らしてくれ

言語ゲームに巻き込まれただけだ

>>178
大学の先生に尋ねるのが良いが、独特のこだわりを持つ先生もいるから厄介だな。

178が何を問題にしてるのかいまいち分からないけど
数学用語について言うなら、記号論理は慣例的な訳語が
決まりきっていない用語が多いので
その本に書いてある定義に従うしかない。

基本的に大学以上では、この本ではこういう意味で記号/用語を使う、
と宣言して細かい点についてはその規約に従う。
別にどの本が正解とかそういう事は無い。

>>178
自分の印象だが、
英語の専門向け教科書は self contained の概念が浸透していて
１から積み上げるように説明してくれているのが多い印象

ＷＥＢとかの、説明を端折ってたり明快に説明してない文章を読んでも
理解できないのは当然な気がする

規格委員会みたいなんできんのかな

はじめまして。神戸大学の大学院で数理論理学を研究したいと思っている私大学部生です。
神戸大学で博士号を取ったら、University of Notre Dameでポスドクをやったほうがいいでしょうか？

数理論理学を志向する人間のわりにはぶっ飛んだレスだなあ

学習院くん神戸でD取る気になったんだ

自分も人のこと言えないけど、レスの一つで能力がわかってしまうな。

「∀y y∈f(A) ⇒ P(y)」という命題と「∀x x∈A ⇒ P(f(x))」という命題が同値であることを
基本的な論理演算だけで示したいんですけど、分かる方いますか？

ちなみにAは集合で、Pは適当な述語、f(A)は{ f(x) | x ∈ A }を意味してます。

University of Notre Dameだと、1年生で基礎科目6つをやって合格しないと2年に上がれない。
だから数理論理学の研究ができるのは2年生からになってしまう。それと4月入学できないで秋しか入学できない。だから神戸大学のほうが良い。

数理論理学に興味があったのに神戸大は眼中になかった　これは失敗だった

論理学どころか会話が成立してないレスはなんなんだ

神戸大学に超優秀なロジシャンがいるようだけど
いつまでおられるのかわからないよね。

すごく別な個人的な話に飛ぶんだけど、ブール代数の勉強してたら強制法の話出てきたんだけどこれってモデル理論に足掴まれちゃったのかな

いつもそんな奇妙な言葉づかいしてるの

渕野昌には苫米地と同種のインチキ臭さを感じる。

それ顔で判断してない？

>>196
文章も変な感じ
デデキントの本に震災時の政府の対応について書いてたり

突然ですまんFloating Pointって言うゲームやってて
調べてみたら浮動小数点って意味？らしいんだが、つまる所この浮動小数点って言うのはどういうことなのかね？

軽く調べてはみたんだが
72と言う数字を表すために　7.2×10　0.72×100とか言う表し方があると言う事でいいの？

ってあばば･･･スレ間違えてた
申し訳ない

123.4とか12.34のように小数点が移動するのが固定少数点で、
1.234e2とか1.234e1のように小数点が移動しないのが浮動小数点。

このスレの住人のレベルってこんななのか？

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

基礎論スレならなんでも答えてくれるぞ

基礎論スレの住民は頭がおかしい

アウディの圏論の和訳本
今日書店で売ってたから買ってきた

生協で15%引きで売ってたから買って来たけど内容はちょっとガッカリ

どうがっかりだったのか具体的に言えよ
ロジシャンなんだろ？

素直にレビュー書いてくださいとお願いしろよ

レビュー書いてください

ageついでに質問なんだが、このスレでは竹内外史ってどんな評価なんだ？

色々書いてるｴﾛい人

レビュー無いんかい！

竹内外史はゲーデルの弟子。確か日本語でゲーデルの小伝を書いてた。
このへんじゃ評判の悪いブルーバックスで「集合とはなにか」を書いていて、
一刀斎先生がほめてた。

ゲーデルに師事した事はなくて
同じ研究所に所属していて
論文を読んでもらったり数学の議論をしたことがある、
くらいの間柄だったはずだけど

どうでもいいけど、伝記を書く間柄って言いなおそうか（笑

伝記なんて直接交友の深かった人が書くこともあれば
本人と会話したこともない後世の人が書くこともあるから
それだと意図不明

仕事は？解析学方面にも業績あるらしいけど

循環論法によって基礎づけられた論理体系というのは作れないだろうか？

これまでの論理はＡの基礎づけにＢを使って、Ｂの基礎づけにＣを使って、・・・
という階層的な基礎づけで構築されているが、
論理Ｌの体系内でＬが無矛盾であることが証明できないなら
基礎づけはどこまで進んでも終わらず不完全にならざるを得ない

そこで線形な基礎づけでなく輪になって閉じた基礎づけを考えてみる
ざっくりした例だが、

東、というのは、西の反対の向きと定義する
西、というのは、東の反対の向きと定義する

とすると循環的定義となって西も東もきちんと定義されていないと見なされることが多いが、
この閉じたループ自体が構造を作っていると見なすと
「互いに反対の向きを持つ構造」というのを定義していると見ることができるのでは？

しかも、西も、東も、何かの土台上に基礎づけられているわけでもなく
それ自体として閉じた構造を作ることで定義を生成しているかのように見える

まだぼんやりしたアイディアだが例えば
この西東の構造を論理定項「¬」を定義するパーツのように
使ったりするような新しい論理体系を構築することはできないだろうか？

それを基礎づけと呼びたい理由がわからない

どうでも良いことだが、それでは東西じゃなくて南北でも南西と北東でも良い訳で
西と東の定義になってないけどね。

218の言うようなのは公理による無定義術語の定義という意味でなら
既に今のロジックで達成されてることでしょ。
たとえば¬は⊥（矛盾）から定義できるし、⊥は¬から定義できるけど
どちらもないところから片方を定義することはできないので
この二つはお互いにお互いを定義し合っていると考えることが出来る。

確かに循環的定義自体はすでに今の論理のあちこちで見ることができる
¬から⊥が定義でき、⊥から¬が定義できて、確かにお互いを定義し合っている
でもそこから先がちがう
今までの論理では次に進むために¬か⊥のどちらかを先に定義すことで
結局は線形な定義列に解消してしまう

そうではなく¬も⊥も定義せずに進めて
¬と⊥の間に存在する互いに定義し合う関係性の構造自体を
使って何かできないかという考えです

ちょっとざっくりし過ぎていて自分でもあまり分かってはいないですが

¬や⊥の性質を規定する命題を
公理ないし推論規則として認めなければ何も言えない訳で、
221は¬や⊥のみたす命題のいくつかを公理として認めて先に進む、
という事になるより無いんじゃないの？

だとしたら今のロジックと本質的には何も違わないと思う。

なんかLawvereによると論理定項は随伴である、らしいよ

こんな書き込みをしているけど圏論に関しては全くの無学で
「論理定項は随伴」の定義も何を意味するかもさっぱりです

¬と⊥が互いに定義し合う関係を表す命題を公理として認めなければ
というのは確かにそうかもしれない

純粋一階述語論理の範囲では完全性が成り立ち
かつ論理としての基本的道具がそろっているので便利だから
一階述語論理上の命題として公理を置くという
のは最初の一歩として手を付けやすそう

で、公理の置き方によって
１．矛盾する
２．無矛盾性が証明できなくなる
３．無矛盾な体系になる
という違いが生まれて
２．だと今のロジックと変わらないけど
３．ならすごいことになるも

循環論法と無矛盾性の間に何か使える性質があるか
ということだが何か新しいことはないのかな？

とはいえ
一階述語論理の完全性の証明も
集合論の上で証明されることであって
集合論自体は無矛盾性が証明できないから
結局
循環論法の論理を考えるなら
一階述語論理以前のおもちゃのような論理から
スタートすべきかもしれない

２ｃｈだしざっくりした出たとこ勝負で
ポエムぎりぎりの線を論理的に適当に考えていくのは
息抜きにもなって面白いと思っている

あまりにも哲学的すぎて
数学の数理論理学のスレには
そぐわない気もしてきたから
退散しようかな

かといって他に合いそうなスレも無いけど

数理論理学研究所(仮称)を作るべきだ。理研みたいな感じ(学生を指導しないで研究できる)で。

北陸あたりにでも作れば良いんじゃないの？

>>224
一階述語論理以前のおもちゃのような論理って何だ？
純粋に一階述語論理だけを使えば、自然数も仮定しないことになるんじゃないか？

>>228

一階述語論理が使えるのは仮定していいのかな・・・良い気もするけどちょっと分からない

対象言語内にはペアノ算術が含まれなければ自然数を仮定しないと言えるかもしれないが
でもメタ言語には自然数が含まれていてその自然数が一階述語論理の導出に使われているような気がする

>>229
メタな自然数を使わないって意味だよ。
ペアノ算術なんてただの理論なんだから特別な位置付けじゃない。

少なくとも一階述語論理を（何らかのメタ言語で）定義するだけなら
自然数を直接使う必要はない
だが、定義した一階述語論理の完全性を証明しようという段になると
（メタレベルで）一階述語論理が必要になるだろうし、
集合論も必要になるかもしれない
自然数は集合論の公理の上で定義できるから
集合論の公理を認めた時点で、明示的に自然数を定義していないとしても
暗黙的に定義されているも同然ではなかろうか

しかし、そもそもメタ言語を定義するためにメタメタ言語が必要になって
メタメタ言語を定義するために（ｒｙとなるからね・・・

うんそう。それでおもちゃのようなと言ったのは
完全性の証明まで疑って(メタ)*レベルの、というか
形式論理が生成してくる前の時点の原初の論理まで
突っ込んでいくべきなのかもと考えて言った

でも一階述語論理が使えるのは考えやすいし
どちらにしろその上に循環論法で新しいものが
構築できるかということを考えるのがメインなので
一階述語論理を使うか使わないかは
どちらから手を付けてもいいんだ

まず一階述語論理の上で考えてみる

一階述語論理の上に命題論理の言語Ｌを構成する
普通は
１）Ａが命題を表す文字ならＡ∈Ｌ
２）Ａ∈Ｌ ⇒ ”¬Ａ” ∈ Ｌ
３）Ａ，Ｂ∈Ｌ ⇒ ”Ａ∧Ｂ” ∈ Ｌ
とやるが、
これは １） が最初の起点となって線形定義になっている

循環論法的に Ｌ を構成するなら
１） Ａ ∈ Ｌ ⇔ s(Ａ） ∈ Ｌ
とやって Ａ が Ｌ に含まれるとも含まれないとも定義せずに
構造 s からのみ決定されるようにする
・・・ことなんてできるか？

Ａ∈Ｌ ⇔ ”¬Ａ” ∈ Ｌ
Ａ，Ｂ∈Ｌ ⇔ ”Ａ∧Ｂ” ∈ Ｌ

が成り立ってることに気付いてないのか？
これが成り立つから論理式の構成に関する帰納法が使えるんだぞ

ああ 234 を書いている時点では失念していた

４） １−３ で定義されるもののみが Ｌ の元である

と >>235 はほぼ同値なのかな？

まあ既存の論理の中にすでに循環的な構造がたくさんあるというのは
>>221 でも書いた通り確かにそうだけど
じゃあ循環論法的に行くならどうかというと
１） を消して ２） ３） を >>235 に置き換えた言語がどうなるか？
ってことになるのかな

メタレベルの議論は捨てて、都度構成すればいいんだよ。
それで言えない主張は、一般に成り立たないとすればいい。

当然というか、残念ながらと言うか、論理的安定性は捨てる。
つまり、同じ論理を使っても同じ結果が導出できるという保証はない。
3の次が必ず4であるとは言えない世界だ。

その論理的安定性というものは通常どうやって保証しているの？

明らかに自分よりバカな男を見て気持ちが落ち着いている自分に気付いた
ある種の癒しキャラだな

>>239
そんなものは通常暗黙の前提としている。別に保証されているわけではない。

なに言ってだこいつ・・・

>>239
（以降、論理的安定性が保たれた体系のみを考える）

という条件を付けるだけじゃね？

上のレスは哲学的な議論などではなくて
ただの曖昧で不明瞭な議論だと思う。
哲学的って、別に曖昧だということではないからね。特に分析系は。

循環論法も何も、一般にことばは、事物の直示的定義などを除けば
語の意味は循環的に規定されていて、
各語の意味はその使用、用例によってのみ定まっている。
こんなことはWitgensteinが半世紀前に考え尽くしていたことだと思う。

>>223
>３．ならすごいことになる
というなら、実際に無矛盾な公理系を作ってみて欲しい。
話はそれからだと思う。
そもそも数学的公理無しの述語論理は無矛盾性が証明できるし、
数学的理論でも自然数論を含まなくて良いなら
無矛盾性が示せるような理論はそれなりにある。
何がやりたいのか不明。

それからメタ言語を定義するためにメタメタ言語が……
とか言ってる人は、meta/objectとsemantics/syntaxの区別が
付いてないことが多いと思う。semanticsとはmetaなもの、
objectはsyntacticalなもの、みたいな適当な理解をしている気がする。

>>244
「みたいな適当な理解をしている気がする。」

とか言うんのではなく、メタとは何のことで、そこで何が成り立っているのかハッキリ述べてみては？

>>245
それは>>244に言う話ではない。

古典論理捨てる気なのか知らん？

>>244
そうかな。自分では理解できているつもりだけど

＞meta/objectとsemantics/syntaxの区別
semanticsは意味論 syntaxは統語論 どちらもメタレベルの話だね
意味論は文の意味に着目する議論のこと
統語論は文の構造に着目する議論のこと
数理論理学だとモデル理論は意味論寄りで証明論は統語論寄りなのかな？
objectって議論の「対象」という意味でもあるんだろうけど
具体的な「物体」って意味でもあるんだろうね

とりあえず書いてみたけど、
「object languageを対象として議論するのはメタレベルの話である」ということと
「object languageを定義するのにmeta languageが必要」ということには
あんまり関係がないと思う（全く関係がないという訳でもないと思うけど）

>>248
理解できてないことがはっきりわかる。

理解できてないことが全くわからん

＞上のレスは哲学的な議論などではなく　…
＞哲学的って、別に曖昧だということではない

同意。自分は気をつけているつもりだったけど
哲学の語を不用意に使っていたらスマン

＞循環論法も何も、一般にことばは、…
＞語の意味は循環的に規定されていて、…
＞こんなことはWitgensteinが半世紀前に考え尽くしていたこと

半世紀にすでに考えられていた、は同意。尽くしていたかどうかは不明。
循環論法の考えで論理を何らか拡張できれば
その点に関しては考え尽くされてはいなかったことになる。

＞話はそれからだと思う。

いや、話はそれで終わり、
それから、ではなく、それが最終目標。
すぐに最終目標を示すか、示せなければ去るか、の選択では
あまりにも全か無か過ぎるだろう。

>>244
あ、読み間違えていたかも

＞ 実際に…を作ってみて欲しい。
＞ 話はそれからだと思う。

何か作ってみる、話はそれから、というならその通り。
１つ作ってみたやつが >>234-236 ではあるが・・・汗
まだおもちゃみたいであるがどう思う？

否定論理（というのがあるかは知らないが）の言語 Ln を

Ln-1): ├ B ∈ Ln ⇔ "¬B" ∈ Ln

で定義する。B はスキーマで何らかの文字列であるが
単体では B ∈ Ln とも ¬(B ∈ Ln) とも指定しない

という循環論法の論理を考えてみる（？）

悪いけど個人的ポエムは他所でやってくれないかな

どう思うと言われても内容の無いレスだな、と思うとしか言いようがない

それはこのスレの総意かな

まあこのまま反応が無ければ去ります

総意なんてない。署名が回ってくるわけでなしね。
ただなんと言うか、こういう定理が出てきました、みたいなものがないと、
それこそおもちゃみたいな性質でいいからそういうものがないと、
もう一つ面白味が伝わらない面はあるな。

おもちゃいいたいだけ

圏論のレビューまだかな

今月の数セミのしょっぱなの記事にも書いてあったけど
第一階述語論理の恒真論理式は全て決定可能かつ導出可能（ゲーデルの完全性定理）
第二階述語論理の恒真論理式の中には決定不可能なものが存在する、つまり恒真であっても導出可能でないものもある（ゲーデルの不完全性定理からの帰結）
ということなんやね。

導出可能な論理式であるためにはまず決定可能でないといけない。
自然数を含む論理体系だと恒真であっても決定不可能な論理式がでてくる。
つまり恒真であるのに導出不可能な論理式がでてくることになって完全性が言えなくなる。
なので（広義の述語論理に対する）不完全性定理と呼ばれるようになった、んじゃまいか。

論理よりも自然数の方が基本的な概念だとされてるの？
自分の感覚だと自然数はだいぶ派生的な概念で、論理をきちっとしてから段階的に導入していくものと捉えていたんだが。

フレーゲが言い出したことだが数は対象じゃなくて性質というか述語の述語。
例えば０だったら
（Fを満足するxは存在しない）
O(F) : not(∃x.F(x))
みたいなかんじで述語の述語Oを数０とみなして論理体系上で数論はては数学全体を構成しよう
というのが論理主義の大体の妄想。

数セミ記事にも書いてあるが二階述語論理だといろいろ定義できるようになってその顕著なものが
自然数を自前で定義できるようになるというところだ。
というわけで、ゲーデル論文において、自然数を含むような論理体系というのは暗に高階述語を使える
論理体系（二階述語論理、ヒルベルト的には広義の述語論理）のことを指しとる、というのが当時の暗黙の了解だったんだろう。

高階述語だとわけわからないので高階の述語に訂正

>>262
＞というのが論理主義の大体の妄想。

妄想なんですか？

妄想。数学の基礎付け論争の勝者は結局ブラウワーだった（とようやくわかった）から。

「基礎付け論争の勝者はいない」といっとった人の文庫本を強くプッシュしとったが
それはもう完全に撤回する。ちゃんと調べたらいろいろおかしかったし。もうすんませんだわ。

>>265
キチガイか

やっぱりpredicativismでしょ

啓蒙書というものは色々な意味で危険だ
啓蒙書しか読まない人は、著者の思いもよらない勘違いをすることがある

圏論のレビュウまだかな

圏論は代数だろ

あんたらの一部が圏論にこだわる理由は数学の基礎付け言語として二階の論理じゃなくて
圏論で（形式主義的に）できるんじゃないかという妄想があるからやね。
妄想だし出典示されない噂話で分野全体が歪むからやめてほしい。
自分の分野で道具として使いたいと思ってる人が使えなくなる。

Categorical logic
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_logic

集合論で圏論を展開できるし、圏論で集合論を展開できる
代数であるかどうかは見た目の問題

あんたらがなんでそういう（”形式主義的な”）数学の基礎付けにこだわるのかというと
要するになにか数学的対象の存在の「確信を持った主張」を行いたいからっしょ。
普通、自分の判断に確信を持たせたいという場合にはなんか努力して調べるとか勉強するとかで
担保させるもんだけど、（事情は実は薄々わかっているのだけど）それができないので、
物理のシミュレーションみたいに基本となる方程式を入れてそこから導出（計算）するようなイメージの形で、
その確信を持って主張したい数学的な言明を（他の他者に対抗できる形で）根拠付けたい、とかそんなとこでしょ。

なんでそういうシミュレーションを行う道具としてのシミュレーターみたいなもんがどうしても
ないと困るわけで、それが「数学基礎論」の道具立てであったり「ケンロン」の道具立てだったり
ふらふらふらしてる。

＞普通、自分の判断に確信を持たせたいという場合にはなんか努力して調べるとか勉強するとかで担保させるもんだけど
数学の基礎付けってそんな日常的なレベルの話だっけ…？

他の他者に対抗できる形、というのはおかしいな、他者に突っ込まれたときに対抗できるように
だな。

>>275
自分の主張の確信を数学の基礎付け問題に帰着させようとしてるからそういう疑問が出てくる。
普通に数学的な言明を確信をもって主張したいだけなら単に勉強するか、調べるかすればいいじゃん。

君にとっての数学の基礎付けというのは日常的・個人的なレベルの話なんだね
おそらく君は誰とも噛みあわないよ

>>278
そうだよ。当たり前だろ。１００年近く前の論争の結果がそうだ、という話なんだから。

あんたらは誰とも噛み合ってないという感覚を延々と受け取るわけはそういうわけなんだって俺はいうとるの。

皮肉が通じてないのか
君の言ってるのは基礎付けではなくて（個人が）数学的概念をよく理解できるかどうかというだけの話だよ
「基礎付け」と無理矢理結び付けて、おかしいとは思わないのか

＞物理のシミュレーションみたいに基本となる方程式を入れてそこから導出（計算）するようなイメージの形で、
＞その確信を持って主張したい数学的な言明を（他の他者に対抗できる形で）根拠付けたい、とかそんなとこでしょ。

＞自分の主張の確信を数学の基礎付け問題に帰着させようとしてるから

純粋に疑問なんだけど、君のこういう偏見はどんな経緯で産まれたの？

>>280
俺の仮定は、数学的概念がよく理解できるようになるためには、まず数学の基礎的な概念を
よく理解している必要があるという推論（ここまでは妥当）を進めすぎて数学の基礎付け問題に
帰着させとるやつらが一定数いる、ということだ。

なんで答えればそういう仮定で話をしているから。

萎らしくなったと見せかけて、ただの開き直りだね
>>275への返答が偏見によるものでなくて何だと言うんだ
言うに事欠いて「そういう仮定で話をしているから」か
呆れて物も言えねえ

偏見だ偏見だというわりには、よくあそこの部分が重要な主張だと一瞥するだけでよくわかったね。

こんなにすぐ何を言っているのか正確に理解されるなんて予想だにしていなかったよ・・・。

多分、本当にひどい偏見であるのならば、慧眼の>>285 以外には、そんな偏見にまみれた話の
主旨なんてすぐには理解できないよ、そういう見方を持ったことがある人を除いては。

ところで、>>279の「１００年近く前の論争の結果がそうだ」とは何のことだ？

１００年前の論争をしてた数学者達も
よく理解している必要があるという推論（ここまでは妥当）を進めすぎて数学の基礎付け問題に帰着させとるやつら
だった、と言ってるようにしか解釈できないんだが

>>284
重要な主張だと見抜いたのではなく、君が明らかにズレたことを言い出したから、思わずツッコミを入れたんだよ
明らかにズレてると分かる程の偏見だということだ
そういう見方を持ったことがない者こそ、すぐに違和感を覚える

皮肉というのは普通、言ってることは正しいけれど裏の意味を持たせたもの、であるべきだろう？

>>286の最後の一文は君の渾身の皮肉に対する批評だよ
はっきり言わないと君には通じないだろうから、念のため

数学の基礎づけなんて食品のトレーサビリティと変わらない。
経路をはっきりさせることは有益だがそれ以上のものではない。

アンカー間違えてたな>>283だった

>>285
そこは単に数学の基礎付け論争の勝者はブラウワーだという話を言ってる。ヒルベルト追悼文でワイルがそう総括もしていた。
数学的言明の確信は形式的証明の有無じゃなくて、人間活動として直観に由来しているというほうが妥当だ、というのが今の俺の主張だし。
過去の論争の結果になぞらえてみただけ。混乱させただけであんまりよくなかったかもしれん。

>>289
ワイルは偏見の強い人だから、その発言は根拠にはならない。

とにかく、いい加減まわりに引っ張られて思ってもないことを公的に言うのはやめてくれよ。
原子核工学の建造物がどうのこうのとかにも対抗できくなってる遠因はそこだぜ。なんの因果か
骨折り損のくたびれもうけだぜ。

もちろんもう少し裏はとるさ。

百年前は、実際にある論法が数学で認められるか否か、
というレベルで一流の数学者の間に意見の齟齬があったんだよ。

Zermeloの整列可能性の証明もそうだし、
Hilbertの不変式論の論文もそう。

Weylは彼自身が直観主義者だから、彼の言う事を
言葉通りに鵜呑みには出来ない。
こないだの集団的自衛権反対デモで、
民主議員や支持者の言う、法案は可決されたが
実質的には勝利した、という言い分を
疑いなく信じるようなものでね。

基礎論論争は、数学は人間の直観に根差したものか
そうでないか、という論争じゃない。そうではなくて、
数学に堅固な基礎を保障するために認められる
概念や証明法の範囲は如何なるものか、という論争。

Brouwerはこの問いに、数学的対象は
人間の心的構成に根差していなければいけないから、
非構成的な概念、例えば選択関数やら排中律やらは、
数学の論法として排除される、それによって数学の
確かさが保障される、と主張したのでしょ。

どうして彼が勝利したことになるのか謎。
現代に彼が蘇ったら、二一性の直観とかの
自分の直観主義が欠片も残ってないとか怒りそうな気がするよ。

数学の論法に反省の目が向いたのは当時物理学が全盛で経験による検証が席巻していたからだろうかね。

学問に最終的確定はありえるのか、無ければ学問が司法に取って変わることはできない、
という問題意識があったと思われる。

数学を基礎づけるというのも変な話だ。
実際に構築して見せれば誰からも文句は出ないのだから。

その「構築する」とは何か、どんな方法が許されるか、ということを問題にしているのだが

>>297
2の2^65536乗を10進法表記で書いてみて。

>>299
諦めるべきだ。
だが、無から自然数概念を構築する可能性はあると思う。

なんだかこれを連想したな。　「道は一を生ず。一は二を生じ、二は三を生じ、三は万物を生ず。」老子

ただし論理的公理とか推論規則とかの規約は（形式化されていれば）好きなだけ設定してもいい。その点では無とは言えないのかも。

その規約を設定するときに自然数概念は使っていいの？記号列の操作とか

>>303
それはダメです。
それ認めたら教科書にある通常の数学の展開になってしまう。

ん？記号列の操作？
操作はできるけど再現は出来ない、と言い換えます。

ID:4D0cxnEF の再来だったか

>>306
そうですよ。
できるだけ弱い仮定からどこまで数学が作れるか考えてるので茶化さないで頂きたい。

結局記号列という概念が歴史的所産という話になっちゃうんだよね原始的にやろうとすると

「論理的安定性」とか、3の次が必ず4とは言えないとか意味不明だから。
当然そういう言葉の意味は他人も分かっているという前提で話しされても
ポエムのようなものにしか聞こえない。

そのポエムのようなものに対して、正確な意味も定まらないままで
議論みたいなことをしようとしている人が居るのも不思議。

>>309
はあ？
物事には順序というものがある。俺は少しずつ前提を揃えていこうとしてるだけだ。
言語を導入して、規則を導入して、自然数概念を獲得して、と段階的にな。
途中の段階では常識的な前提条件が得られていないのもしょうがないだろ。

>>310
「順序」「段階的に」ね…
「3段目の次は4段目」とは言えないんだろ?

>>311
そうだよ。だからなに？
自分の意見を言えよ。
「3の次が必ず4になるとは言えない」のどこが意味不明なんだ？意味は明確だろ。
それに対して
「そんな世界はあり得ない」とか
「そんな世界を考えても得るものはない」
とかいう意見ならまだ議論にはなるが。

?

>>312
>「3の次が必ず4になるとは言えない」のどこが意味不明なんだ？意味は明確だろ。

明確じゃないな。

3の次が4じゃないとして、どうなったらID:HrL9QQrmは満足なんだろう?
4を飛ばして5にしたいのか、4を5と呼ぶことにしたいのか、2に戻るのか、0や1に戻るのか、
「たくさん」ということにしたいのか、4以外なら何でもいいのか…

ID:HrL9QQrmが何をしたいのか分からないし、やる意義も分からない。

「3」「4」「次」
この三つの意味が不明瞭だしな
というか、これが例えなのか、それとも喩えなのかすら判断しづらい

ID:HrL9QQrmは「3の次が4になるとは限らないモデル」を実際に構築してみたらどうだ？
もちろん、「3」「4」「次」の意味が他人にも分かるような書き方で

>>314
何をしたいか？
それは論理的安定性が保証された世界を実際に作ってみせることだよ。
俺だって昨日証明したことが今日も有効で、3の次が常に4だと思ってはいるが、それは単にそう確信してるに過ぎない。
記号と公理と推論規則があるだけでは論理的安定性なんて一般には導けない。人間が勝手に確信してるだけさ。
一般には無理だけど、論理的安定性が保たれていて自然数概念も存在できるような世界を一つ見つけられればいい。

>>317
その「論理的安定性」って何なんだよ。
ID:HrL9QQrmは、どうなっていたら「論理的安定性が保証され」ていると思うんだ?

>>318
論理的帰結がいつも同じであること。言い換えると推論に副作用がないってことかな。
どうすれば保証されたことになるか？それは難しいな。

おや、IDが変わってしまった。

論理の副作用止めがほしい

ある種のデバイスの存在に依存する論理

こうして珠盤を再発明するID:HrL9QQrm

圏論のレビューまだかな

>>323
そりゃ算盤があったら状態の保存から演算からいろんなことができるからな。

3の次が必ず4になるとは言えない世界でどうやって算盤を使う？

>>326
算盤のある世界ではそりゃ成り立つんだろう。

なこと言われても少なくとも私が住んでいる
この世界には現に算盤はあるんで……

自分の世界にはあるという確証が無いとか異世界から書き込まれても、
こっちも327が住んでる異世界で何が確かで何が確かじゃないのかなんて知りようがない

だいたい状態の保存って何だよっていう

別に常識とされていることを疑うなって話じゃなくて
掲示板に何か書くんだったら極力、他人が読んでも意味・意図が通じるような
書き方をしろってだけの話なんだけどな

いきなり3の次は必ずしも4じゃないかも知れないとか言われても
「はあ？4の定義は"3の次の数"じゃないの？そもそも何が言いたいんだ？」
という反応になるのは当り前

>>329
論理の公理とか推論規則「だけ」しかない世界を考えているのさ。
ある時ある結論が証明されても、次にやったとき同じ結論が出るとは限らない。
チューリングマシンみたいなものを例に出せば、紙テープのある場所に1と書いても次に見たときには1とは限らない世界さ。
公理と規則「だけ」しかなくて、状態が保存されなきゃこうなる。

自然数にこれを当てはめると、昨日求めたS(3)と今日求めたS(3)はどうも違う性質を持っているようだぞ、となる。
これでは自然数概念が安定的に存在できるとは言えないだろう。

で、脳とか算盤とか紙テープなんてものが用意されてない一般の世界で、自然数概念をどうやって獲得するか、を問うている。

「昨日求めたS(3)と今日求めたS(3)はどうも違う性質を持っているようだぞ」
と記憶は脳内ないし心の中に都合良く保存されることになっているのも変な話で。

いずれにせよそういった「今日太陽が東から登ったからって
明日太陽が東から登るとは限らない、それは根拠の無い仮定に過ぎない」
の類の、世界の斉一性に関するヒュームの議論みたいな話は
論理学じゃなくて哲学の話だと思うのだけど。

そりゃ論理や数学よりもっと根本的な話なのかもしれないけど、
論理学・数学の話題ではないと思う。
ぎりぎり論理学の哲学の話題ではあり得るかもしれないが。
論理学や数学をやってる人にそういう話題振ったって仕方ないと思うよ。

「〜である」という命題自体と「『〜である』と我々が認識する」ということも
明らかに水準の違う話で、論理学は前者に関する探究だけど
332の考えていることはどちらかと言えば後者だと思われる。
つまり、論理的事実や数学的対象を我々が認識しうる為には、
認識の対象の（或る種の）斉一性がなければならないか、みたいな認識論の話題。

あと、実在する紙テープのような物理的対象は、
時間経過とともに存在の在り方を変えるけど、
論理的概念や論理の法則はそういう範疇には属さないとする考え方の方が一般的だと思う。
332みたいな思考が無意味だという事ではないけど、特異な感覚だと思う。

哲学ではこういう何を自明視して何を疑うかということは
明示的にはっきりさせた方が筋の良い議論だと見做される。
そこらへんを曖昧に済ませた方が、哲学を知らない人は上手く騙されるから
うまい議論だと思ってしまいがちだけどね。

哲学板で振られた話題だったら私もこういうレスを躊躇なくするけど
ここは数学板だからなあ。

もちろん「一般の世界」にいつまでも居たって面白い結果は出てこないので、論理的安定性の保たれた通常の世界で数学をやりたい。
だがその前に、「通常の世界」を一般の世界の中に実際に作ってみせる必要がある。そうしないと凡てを自前で揃えた事にはならないからね。
論理的公理と推論規則だけから生成されうる複数の世界の中に、通常の世界を見つけることに成功すれば、
「自分はこの世界の人間なので、ここで数学をします」
と宣言してしまえばいい。

そこから一歩も進まなさそうだねえ

>>335
「論理的安定性」で何を言いたいのかは結局分からないけど、
いずれにせよたぶん「凡てを自前で揃え」るのは無理そうだから諦めたら？

ゼロから堅固な基礎を築くのは無理だ、というのが前世紀前半の
基礎論の分野としての結論だろうし。

数学基礎論としては、そもそもそんな類の議論はしてないんじゃないかな

議論してないというか、議論をする必要があると誰からも思われてないよね

方向性はともかく、とりあえず一歩進めるために
＞「3の次が4になるとは限らないモデル」を実際に構築してみたらどうだ？

たぶん ID:vR+zhsWp は口では「あーでもないこーでもない」と言いつつ、
実際には「あれ」や「これ」なんて欠片も考えてないタイプの人でしょ

>>338
数学基礎論としてそういう議論があったとも無かったとも、俺は言ってないよ？
あくまでも俺の問題。
>>337
全てを自前で揃えなくては、俺は全くもって満足できないのでね。

これは聞きかじりだし信じているわけではないけど、宇宙論で「人間原理」ってあるじゃないですか。
無数の世界があるけれど、自分は人間が存在できる世界にしか存在しえない。
パラメータがある数値の場合がこの世界だった。だからこの世界のパラメータはそういう数値だ、みたいな。
それと同じような話なので、それほど特異な考え方でもないと思う。

>>340
みたいなのが、一番のバカ。

宇宙論の例でいうと、人間原理で満足するとしても
「このパラメータの場合は今のこの宇宙になる」という確認ができないとダメだ。
論理的安定性の保たれた通常の世界を実際に作ってみせる、というのはそういう意味だ。

>>340がバカというのは
「3の次が4になるとは限らないモデル」を実際に作ることが「3の次が必ず4になるモデル」を作ることと同じく難しいことだ、
というのを分かってないから言っている。

万能機械が既に全能性を獲得しているのに
条件を緩めたところで得るものは無いだろう

そういう進化論的説明を考えるなら、logical harmonyの話とか割と関係ある話なんじゃないの？

p |- p tonk q、　p tonk q |- q という論理結合子tonkが何故ダメかという話で、
導入則と除去則が可逆な関係になってい
論理定項の付加が保存拡大になっていることが論理の特徴だ、とかそんな感じの話

新しい記号についてのトートロジーが
世界についての新しい変な（非通有的な）情報を付け加えないことが、
論理の法則が、世界について独り善がりな決め付けせずに、
ただ世界の在りようを効率良く捉え、ヒトの行動に反映させる為の
道具として機能する為に必要で、
だから我々は一階述語論理のような推論法則を真理と考えるように進化した、
とかありそうな話で。

Lawvereの随伴としての論理定項というのも正にそういう話
可逆性だけじゃなくて推論の方向性に対する何かしらの対称性も要求してるけどね

>>344
単に関数が一価か多価かという話だよ
ひょっとしてモデルという言葉を難しく考えすぎてるんじゃないかな
モデル理論でいうところのモデルだよ

不動点の周りの情報だけでだいたい事足りる

自分は不満だと表明すると周りが反応してくれると思っている。
僕は赤ちゃん好きだから反応するけどそんな奴ばかりじゃない。

Cherylの誕生日ってのが以前に話題になった。
論理の問題として面白かったね。

オナニーなら自分の庭でやってほしいなぁ

誤解があるといかんので断っておきたい。
「論理の公理と推論規則しかない世界で〜」とか「論理的安定性は保証されておらず〜」と何度か発言したけど、
前者は信じて後者は疑うというなどというスタンスを取っている訳じゃないです。
公理とか推論規則は単に規約として導入されるものとして考えています。自分は真理概念は持っていません。
論理的安定性は「成り立つのか、成り立たないのか」という真偽の問題になってしまい、規約として導入するわけにはいかないと思っています。

いや、規約主義を採って
論理の公理や推論規則はただの便利な規約だと考えるなら
自然数概念だって獲得も何もなくて、ただの便利な規約に過ぎないだろ

と思ったけど、もう良いや　さすがに板違いだし
さすがに言語哲学大全 II を今から読み直して考え直す気はしないし

自然数概念を規約としては書き切るのは無理ではないか？

言語哲学大全 II の
「数学的真理は規約によって真であるか？」
のとこにもそんなことが書いてあるけど、
そもそも我々は書き下しえないものとしての
自然数という一つの概念を本当に共有しているのか？、
共有しているとするならどのようにしてそんな超越的な対象について
共通了解を共有しているのか？って話だよね

答えてなかったな、
その関心対象を抽象化した自然数論について共通了解があるかどうかは推論するしかないが、
関心対象を明示したかたちの自然数と自然数論は（社会通念として共有しているといえるのなら）
個々に共有しているもんだろう。そのための小学校じゃね。

「書き切るのは無理」というのは不完全性を
念頭に言っているんだろうから問題にすべきなのは
「すべての n は〜〜」という形の文の
真偽が本当に定まっているのか、ということ。

例えば群とは何かということについても今の数学では共通の了解があるけど、
「群」というのはただ一つの定まった対象ではなくて
加法群としてのRのような無限群もクラインの4元群 {1, i, j, k} みたいな有限群もある。
「どうやって」「唯一の対象として」共通の認識が成立しているのか、ということが問題。

唯一の「対象」じゃなくて、唯一の「性質」でだろ。
自然数なり群はあくまで性質であって、個別具体的な対象で日常的にその性質を利用した操作を
行っている人だったら個別具体的な対象の性質として（付属物として）その存在は確固としているだろう。
推論を進めて、共通してその性質をとらえられるもの一般に関してそういう一般性質（自然数とか群）が
存在するというのはなんとか認められるけど、それが性質じゃなくて対象ですとなると
実体もなんもないんだからそれは別次元の話になるぜ。
つまり、
「群」という性質が見出せる、ということと「群」という対象が存在する、
との言い換えの間には、方便です、というには大きなギャップが存在するんじゃね。

あと群というものに対する共通の認識というものはないと思う。
あくまで共通する（抽象した）ルールが存在してそれを共通して使っているという事実だけから
共通認識があるのではないかという話になっているだけだと思う。

なんつーか説明しずらいけど法律で窃盗犯を取り締まる取り決めに該当する人は「窃盗犯」の
くくりに入るけれど、窃盗の方法も様々で、あるスリを念頭に「窃盗犯」を知っていても、
ある空き巣を念頭に「窃盗犯」を知っている人の間で共通する認識と言われれば、
それはあくまで法文で示されている窃盗行為を行った人という共通性しかない、みたいな。

同型を除いて一意的であると言えるかどうかを問題にしてるんだよね？
よく分からんけど、その「規約」とやらを書くのに二階論理や集合論を使ってはいけないという縛りでもあるの？

別に359に大きな異論無いけどその言い方だと
N で成り立つ命題って、性質についての性質になるでしょ。

議論領域に属する対象に関する性質それ自体も
新たに対象であると考えるのが
集合論の（クラスに関する）外延性公理であったり
単純型理論だったりするんだと思うけどね

358で言いたかったのは、「 N で成り立つ命題の範囲について
共通の合意があったり、 構造 N が範疇的であるかのように見えるのは何故か」
ということ。集合論のuniverse V では既にそうではないのに。
理由としては356も触れているような現実の日常的な操作に根差していることが
大きく寄与していると思うけど、それを根拠にΠ1文、更にはもっと量化の複雑な
Πn文、Σn文についても完全な合意があると考えて良いのかどうか。

つまり、自然数論でも将来的に連続体仮説のような、意見の分かれる
独立命題が出て来る可能性は決して排除されていないし、排除され得ないように思う。

二階の対象ではあるけれど、認識を問題としているのであれば、個体じゃない性質は
社会通念として対象とはみなさないし、人間にそんな性質や概念を確固とした対象として認識する
機能はないからそうしたまでで。形式的存在ということであればいくらでも対象とはできるだろうけど
どう認識すればいいかという話からは完全に乖離する、つまり実践的応用は利かなくなる。

集合論のuniverse Vとかは知らんな。そもそもそれは認識云々の対象とできる形式体系なのか？
数学的に正しく建造されたもの＝＝意味論的に認識できるもの
とは限らないし。それにそういう構造なんだから別に認識として外れたものが形式体系から
出てきても別にかまわんだろ。

成程ね。人間は、或る意味で手続き的な形で自然数という概念を把握しているだけ、
ということか。確かにそれっぽい。

>>361
完備アルキメデス順序体の構造は一意であるというDedekindの定理があるけど
これは、要は一意性を背後で使ってる集合論の強さに押し付けただけ。
だから実際は実数の性質に関する独立命題なんて腐るほどあるし、
人間の思ってる「実数体」は一意だとは全然言えない訳でしょ。
根本的な解決になっていない。

二階論理も同じ。こういう気持ち悪さがあるからこそ、こそQuineは
二階論理は論理の皮をかぶった集合論の一種だ、とか言ってたんだと思う。

>>364
賢ぶりたいだけだろ

なんというか素朴な不可知論を深淵であるかのように捉えている。

あなたが主張しないといけないのは
ignorabimusだから駄目だという個人的願望の表明ではなくて
このようにして我々は知ることができる、という実際の方法だよ

＞N で成り立つ命題の範囲について共通の合意があったり
そんな馬鹿な

でも N ではこういう命題が成り立つんじゃないか、
その証明は〜〜だ、という主張に大して
その証明は〜〜という原理を使っているから不当で、その命題は成り立たないんじゃないか、
という反対説が出て来て数学者間で論争になったケースとか、
この二千数百年の間に無かったんじゃないかと思うけどなあ。

>>367
>ignorabimusだから駄目だという個人的願望の表明
頭おかしいわ

>>369
限定算術とか知らないんだ。

あんま関係ないかもしれんが、分析哲学系の人はこれから来ると思うよ。
文系学部整理とか話出てるし、分野横断研究しなきゃという話になっとると思うし、
言語哲学と数理論理学の関係なんてまさにその代表みたいなもんだから。
実際観点がいいと思うし。

>>371
限定算術って、別に一般の帰納法は原理として不当だから
制限しましょうというようなものではなくて、
計算量理論との関連とか、もっと技術的な興味の下で
研究されている分野だと思ってたけど。

証明能力を調べる研究対象としての理論が弱いだけで、
メタ数学での証明には普通に帰納法を使っている訳だし。

Peano算術の無制限な数学的帰納法を採用しないのは
そのどういった部分が怪しいと考えているのか？、とか言われても
限定算術の研究者だって当惑するんじゃないかな。

厳格な有限主義者が採用するのが限定算術、みたいに考えてるとしたら
それは端的に間違いだと思う。

>>373
限定算術と計算量が結び付いたのはBuss以後だよ。

そりゃ限定算術というものを導入したのがそもそもBussなんだからそうでしょうね。

ごめん、帰納法の限定的使用と計算量理論が結び付いたのはBuss以後と言いたかった。

日本ウィキペディアでのUniverse、凄いまとめ方してるなと思ったら英語版を翻訳してたのか

スコープを越えた記憶を持たない。
グローバル変数がない。

継続か？

>>5
バカ相手に正論言うのか君は？

いい加減気づけよ

素敵なメンズがみんなでお祭りを開催♪

ＵＲＬ貼れないから
メーンズガーデン ってググってみて
※正しいサイト名は英語。

並行計算の哲学でもしたかったのかな

素朴な自然数（加法と乗法）が無矛盾だという仮定を置けば
ゲーデルのあれが消えて集合論も無矛盾と言えるのでしょうか？
どうでしたっけ？

まず論理学をきちんと勉強しなよ
矛盾したり無矛盾だったりするのは数とか数の為す構造そのものではなくて、
数などの数学的対象に関する言明の集まりだよ
だからロジックでは公理系が主役

あと定理が消えるってどういうことだよ
意味不明

集合論のモデルはデカすぎてここに書くにはユニバースもといスペースが足りない

>>385
言いたいことはわかるが、その表現だと「数とか数の為す構造そのもの」には矛盾が含まれない、と断定していることになるぞ。

あ、そっか、矛盾するから無矛盾であるという証明もできちゃうってことか

何言ってんだ……矛盾無矛盾あたりは論理学の本に書いてあるからよく見てこい……

wikiの[Monadic predicate calculus]の項目に
●Adding a single binary relation symbol to monadic logic, however, results in an undecidable logic.
●admitting even a single binary function letter results in an undecidable logic.
とあるのですが、この2点をきちんと勉強するのに良い参考文献はありますか？

単項述語論理については
http://hagi.is.s.u-tokyo.ac.jp/pub/staff/hagiya/kougiroku/ronri/5.txt

多項述語論理は二項述語論理に埋め込めるらしい
良く知らんけど