数学基礎論・数理論理学　その16 [転載禁止]©2ch.net

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その15
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1415660285/

>>151
デタラメ

＞数理論理学 『鹿島亮』
ちょっとワロタ
『』を付ける所が逆

>>152
自然数の存在を認めないのは自由だけど、普通の数学をやるデフォルトの立場は「認める」でしょ。

>>155
普通の数学で？
それは違うと思う。
>>151 が言っている「その際」は普通の数学をやるときの話ではないだろう。

>>155 です。
普通の数学という言葉遣いが不適切でした。
数学を公理的数学と素朴数学に分けたとき、素朴数学のことを意図していました。
>>151 は数理論理学を素朴数学の範囲で行うことを言っているんでしょうね。

>>157
わけのわからない用語を持ち出して来やがった。

>>151ってデタラメなの？
どういう点で？

>>155 >>157 です。
公理的集合論と素朴集合論、のアナロジーです。
大学数学と高校数学、と言ってもいいかもしれません。

自然数云々というのは、考えている公理系がペアノの公理を含むかどうかの差なんじゃないか？

>>160
その言いかえは、「こいつ何にもわかってねぇ」という印象を与える。

素朴実数論

大学以上の数学でも１、２、３…は与えられたものとして使うからね
フレーゲだっけ？１、２、３…を定義して使おうとした最初の人は
公理的集合論は大雑把に言うと集合の概念を使って１，２，３…（飛んで）ω、ω＋１、…と定義していく

>>155 >>157 >>160 です。
>>162 確かに何にもわかってねえのかもしれませんが、
わかってねえ、ということを自覚するのは不完全性定理により原理的に無理かと。
それよりも >>151 がどうデタラメなのか、教えてください

>>151 のどこがデタラメなのか聞いたのはオレだ。真似するの良くない。

自分の無理解を自覚するのが不完全性定理により
無理だというのはどうしてそうなるの？

まずはそういう濫用をしないところから始めよう。
「ゲーデルの定理――利用と誤用の不完全ガイド」に載ってるような
おかしな使い方はしない方が良いよ。

それ以前のレスにも個人的異論はあるけどそれ以前の問題。

気を悪くさせてしまったら御免なさい。
真似したわけでなく、>>159 の質問に対して答えが出てこないので
デタラメと言った人に答を催促したかったのです

私が個人的に気分が悪いとか良いとかそういう問題ではなく
「わかってねえ、ということを自覚するのは不完全性定理により原理的に無理」
という言葉が数学用語の濫用だと言っているだけ。

自然数の存在を認めない立場なんてほとんどないけどね。
ultrafinitismでも個々の数の存在は基本的に認めるし。

あとこういう話題は基本的に数理論理の話題というより
数学の哲学の話題だから、そこらへんはきちんと分けて考えた方が良いと思う。
たとえば「リーディングス　数学の哲学」とかシャピロの「数学を哲学する」
とかの本に載ってるのが数学の哲学だけど、ちょっと眺めるだけでも、
いわゆる数学の一領域としての"数学基礎論"とか数理論理学とは
議論の内容や方向性が違うのが分かると思う。

>>168 (=155,157,160,165)です。
私が御免なさいと言ったのは >>166 に対してです。
不完全性定理の濫用については勉強します。
数学の哲学と数理論理を分けるべき、は正におっしゃるとおりで
それこそ >>151 の言っていることではないでしょうか

まあ基本概念の定義が調べたいものの定義になってようが
そうでなかろうがどうでもいい、みたいなのも極論だけどね

>>169
> あとこういう話題は基本的に数理論理の話題というより
> 数学の哲学の話題だから、そこらへんはきちんと分けて考えた方が良いと思う。
・・・
> いわゆる数学の一領域としての"数学基礎論"とか数理論理学とは
> 議論の内容や方向性が違うのが分かると思う。

上には全く同感なんだが、数理論理学を数学の哲学と混同する人間が多い原因の一つとして考えられるのは、
海外ではずっと前から哲学臭を排除して技術的な分野名としてmathematical logicを常用してるのに
日本では相も変わらず「数学基礎論」なんて時代遅れで哲学厨が喜びそうな名前のほうが
「数理論理学」よりも使われているって悪習が続いてしまってるのがある

なにしろ日本語で書かれたこの分野の最も充実した内容の教科書のタイトルが
『数理論理学』じゃなくて『数学基礎論』なんだから何をかいわんや

現代なら海外で"Foundations of Mathematics"と言えば、
「文字通り数学の基礎付けに関する内容を主題とし多少とも哲学的な議論が避けられないもの」というのが
通り相場なのに、日本の場合は単なる数理論理学の標準的な内容でさえ「数学基礎論」だからねえ

いつまでこういう（世界から見れば）非常識な言葉遣いを続ける気なのかね、日本の数理論理学者は？

＞数理論理学を数学の哲学と混同する人間が多い原因の一つとして考えられるのは、
あまり関係ないと思うけどな
歴史的にはほとんどずっと論理学は哲学だったんだから
哲学（史）を多少なりとも知っていれば、頭に「数理」と付いていようと論理学を哲学と関連付けるのが自然

混同を避けたいのならメタ数学と呼ぶ方が効果的なんじゃないか

でもメタ数学だと非古典論理は排除されてしまうか

>>172
たいした話じゃないし、それか原因で弊害が発生している訳でもない。

こないだのサマースクールの話題の様相論理なんて
正に哲学と論理学・数学の両方に跨る話題で、
論理学とはそういうものなので仕方ないと言えば仕方ないのだけど。

「圏論の歩き方」発売されたね。厳密に論理をフォローする本ではないので
個々の例は適当に読み飛ばせみたいな事が書いてあるけど、MacLaneの本とかと同じだな。

俺がバカなのか知らないがというがバカなのは前提としてだが
なんか複数の本とかwebとかさらっても言葉とか記号の意味や関連付がグニャグニャした感じで
誰の言ってることが正しいのか全員同じ事言ってるのを俺が判んないだけなのかすらわかんね！
と言う漠然な悲しみに包まれた曖昧な悩みに対してなんか道筋を照らしてくれ

言語ゲームに巻き込まれただけだ

>>178
大学の先生に尋ねるのが良いが、独特のこだわりを持つ先生もいるから厄介だな。

178が何を問題にしてるのかいまいち分からないけど
数学用語について言うなら、記号論理は慣例的な訳語が
決まりきっていない用語が多いので
その本に書いてある定義に従うしかない。

基本的に大学以上では、この本ではこういう意味で記号/用語を使う、
と宣言して細かい点についてはその規約に従う。
別にどの本が正解とかそういう事は無い。

>>178
自分の印象だが、
英語の専門向け教科書は self contained の概念が浸透していて
１から積み上げるように説明してくれているのが多い印象

ＷＥＢとかの、説明を端折ってたり明快に説明してない文章を読んでも
理解できないのは当然な気がする

規格委員会みたいなんできんのかな

はじめまして。神戸大学の大学院で数理論理学を研究したいと思っている私大学部生です。
神戸大学で博士号を取ったら、University of Notre Dameでポスドクをやったほうがいいでしょうか？

数理論理学を志向する人間のわりにはぶっ飛んだレスだなあ

学習院くん神戸でD取る気になったんだ

自分も人のこと言えないけど、レスの一つで能力がわかってしまうな。

「∀y y∈f(A) ⇒ P(y)」という命題と「∀x x∈A ⇒ P(f(x))」という命題が同値であることを
基本的な論理演算だけで示したいんですけど、分かる方いますか？

ちなみにAは集合で、Pは適当な述語、f(A)は{ f(x) | x ∈ A }を意味してます。

University of Notre Dameだと、1年生で基礎科目6つをやって合格しないと2年に上がれない。
だから数理論理学の研究ができるのは2年生からになってしまう。それと4月入学できないで秋しか入学できない。だから神戸大学のほうが良い。

数理論理学に興味があったのに神戸大は眼中になかった　これは失敗だった

論理学どころか会話が成立してないレスはなんなんだ

神戸大学に超優秀なロジシャンがいるようだけど
いつまでおられるのかわからないよね。

すごく別な個人的な話に飛ぶんだけど、ブール代数の勉強してたら強制法の話出てきたんだけどこれってモデル理論に足掴まれちゃったのかな

いつもそんな奇妙な言葉づかいしてるの

渕野昌には苫米地と同種のインチキ臭さを感じる。

それ顔で判断してない？

>>196
文章も変な感じ
デデキントの本に震災時の政府の対応について書いてたり

突然ですまんFloating Pointって言うゲームやってて
調べてみたら浮動小数点って意味？らしいんだが、つまる所この浮動小数点って言うのはどういうことなのかね？

軽く調べてはみたんだが
72と言う数字を表すために　7.2×10　0.72×100とか言う表し方があると言う事でいいの？

ってあばば･･･スレ間違えてた
申し訳ない

123.4とか12.34のように小数点が移動するのが固定少数点で、
1.234e2とか1.234e1のように小数点が移動しないのが浮動小数点。

このスレの住人のレベルってこんななのか？

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

基礎論スレならなんでも答えてくれるぞ

基礎論スレの住民は頭がおかしい

アウディの圏論の和訳本
今日書店で売ってたから買ってきた

生協で15%引きで売ってたから買って来たけど内容はちょっとガッカリ

どうがっかりだったのか具体的に言えよ
ロジシャンなんだろ？

素直にレビュー書いてくださいとお願いしろよ

レビュー書いてください

ageついでに質問なんだが、このスレでは竹内外史ってどんな評価なんだ？

色々書いてるｴﾛい人

レビュー無いんかい！

竹内外史はゲーデルの弟子。確か日本語でゲーデルの小伝を書いてた。
このへんじゃ評判の悪いブルーバックスで「集合とはなにか」を書いていて、
一刀斎先生がほめてた。

ゲーデルに師事した事はなくて
同じ研究所に所属していて
論文を読んでもらったり数学の議論をしたことがある、
くらいの間柄だったはずだけど

どうでもいいけど、伝記を書く間柄って言いなおそうか（笑

伝記なんて直接交友の深かった人が書くこともあれば
本人と会話したこともない後世の人が書くこともあるから
それだと意図不明

仕事は？解析学方面にも業績あるらしいけど

循環論法によって基礎づけられた論理体系というのは作れないだろうか？

これまでの論理はＡの基礎づけにＢを使って、Ｂの基礎づけにＣを使って、・・・
という階層的な基礎づけで構築されているが、
論理Ｌの体系内でＬが無矛盾であることが証明できないなら
基礎づけはどこまで進んでも終わらず不完全にならざるを得ない

そこで線形な基礎づけでなく輪になって閉じた基礎づけを考えてみる
ざっくりした例だが、

東、というのは、西の反対の向きと定義する
西、というのは、東の反対の向きと定義する

とすると循環的定義となって西も東もきちんと定義されていないと見なされることが多いが、
この閉じたループ自体が構造を作っていると見なすと
「互いに反対の向きを持つ構造」というのを定義していると見ることができるのでは？

しかも、西も、東も、何かの土台上に基礎づけられているわけでもなく
それ自体として閉じた構造を作ることで定義を生成しているかのように見える

まだぼんやりしたアイディアだが例えば
この西東の構造を論理定項「¬」を定義するパーツのように
使ったりするような新しい論理体系を構築することはできないだろうか？

それを基礎づけと呼びたい理由がわからない

どうでも良いことだが、それでは東西じゃなくて南北でも南西と北東でも良い訳で
西と東の定義になってないけどね。

218の言うようなのは公理による無定義術語の定義という意味でなら
既に今のロジックで達成されてることでしょ。
たとえば¬は⊥（矛盾）から定義できるし、⊥は¬から定義できるけど
どちらもないところから片方を定義することはできないので
この二つはお互いにお互いを定義し合っていると考えることが出来る。

確かに循環的定義自体はすでに今の論理のあちこちで見ることができる
¬から⊥が定義でき、⊥から¬が定義できて、確かにお互いを定義し合っている
でもそこから先がちがう
今までの論理では次に進むために¬か⊥のどちらかを先に定義すことで
結局は線形な定義列に解消してしまう

そうではなく¬も⊥も定義せずに進めて
¬と⊥の間に存在する互いに定義し合う関係性の構造自体を
使って何かできないかという考えです

ちょっとざっくりし過ぎていて自分でもあまり分かってはいないですが

¬や⊥の性質を規定する命題を
公理ないし推論規則として認めなければ何も言えない訳で、
221は¬や⊥のみたす命題のいくつかを公理として認めて先に進む、
という事になるより無いんじゃないの？

だとしたら今のロジックと本質的には何も違わないと思う。

なんかLawvereによると論理定項は随伴である、らしいよ

こんな書き込みをしているけど圏論に関しては全くの無学で
「論理定項は随伴」の定義も何を意味するかもさっぱりです

¬と⊥が互いに定義し合う関係を表す命題を公理として認めなければ
というのは確かにそうかもしれない

純粋一階述語論理の範囲では完全性が成り立ち
かつ論理としての基本的道具がそろっているので便利だから
一階述語論理上の命題として公理を置くという
のは最初の一歩として手を付けやすそう

で、公理の置き方によって
１．矛盾する
２．無矛盾性が証明できなくなる
３．無矛盾な体系になる
という違いが生まれて
２．だと今のロジックと変わらないけど
３．ならすごいことになるも

循環論法と無矛盾性の間に何か使える性質があるか
ということだが何か新しいことはないのかな？

とはいえ
一階述語論理の完全性の証明も
集合論の上で証明されることであって
集合論自体は無矛盾性が証明できないから
結局
循環論法の論理を考えるなら
一階述語論理以前のおもちゃのような論理から
スタートすべきかもしれない

２ｃｈだしざっくりした出たとこ勝負で
ポエムぎりぎりの線を論理的に適当に考えていくのは
息抜きにもなって面白いと思っている

あまりにも哲学的すぎて
数学の数理論理学のスレには
そぐわない気もしてきたから
退散しようかな

かといって他に合いそうなスレも無いけど

数理論理学研究所(仮称)を作るべきだ。理研みたいな感じ(学生を指導しないで研究できる)で。

北陸あたりにでも作れば良いんじゃないの？

>>224
一階述語論理以前のおもちゃのような論理って何だ？
純粋に一階述語論理だけを使えば、自然数も仮定しないことになるんじゃないか？

>>228

一階述語論理が使えるのは仮定していいのかな・・・良い気もするけどちょっと分からない

対象言語内にはペアノ算術が含まれなければ自然数を仮定しないと言えるかもしれないが
でもメタ言語には自然数が含まれていてその自然数が一階述語論理の導出に使われているような気がする

>>229
メタな自然数を使わないって意味だよ。
ペアノ算術なんてただの理論なんだから特別な位置付けじゃない。

少なくとも一階述語論理を（何らかのメタ言語で）定義するだけなら
自然数を直接使う必要はない
だが、定義した一階述語論理の完全性を証明しようという段になると
（メタレベルで）一階述語論理が必要になるだろうし、
集合論も必要になるかもしれない
自然数は集合論の公理の上で定義できるから
集合論の公理を認めた時点で、明示的に自然数を定義していないとしても
暗黙的に定義されているも同然ではなかろうか

しかし、そもそもメタ言語を定義するためにメタメタ言語が必要になって
メタメタ言語を定義するために（ｒｙとなるからね・・・

うんそう。それでおもちゃのようなと言ったのは
完全性の証明まで疑って(メタ)*レベルの、というか
形式論理が生成してくる前の時点の原初の論理まで
突っ込んでいくべきなのかもと考えて言った

でも一階述語論理が使えるのは考えやすいし
どちらにしろその上に循環論法で新しいものが
構築できるかということを考えるのがメインなので
一階述語論理を使うか使わないかは
どちらから手を付けてもいいんだ

まず一階述語論理の上で考えてみる

一階述語論理の上に命題論理の言語Ｌを構成する
普通は
１）Ａが命題を表す文字ならＡ∈Ｌ
２）Ａ∈Ｌ ⇒ ”¬Ａ” ∈ Ｌ
３）Ａ，Ｂ∈Ｌ ⇒ ”Ａ∧Ｂ” ∈ Ｌ
とやるが、
これは １） が最初の起点となって線形定義になっている

循環論法的に Ｌ を構成するなら
１） Ａ ∈ Ｌ ⇔ s(Ａ） ∈ Ｌ
とやって Ａ が Ｌ に含まれるとも含まれないとも定義せずに
構造 s からのみ決定されるようにする
・・・ことなんてできるか？

Ａ∈Ｌ ⇔ ”¬Ａ” ∈ Ｌ
Ａ，Ｂ∈Ｌ ⇔ ”Ａ∧Ｂ” ∈ Ｌ

が成り立ってることに気付いてないのか？
これが成り立つから論理式の構成に関する帰納法が使えるんだぞ

ああ 234 を書いている時点では失念していた

４） １−３ で定義されるもののみが Ｌ の元である

と >>235 はほぼ同値なのかな？

まあ既存の論理の中にすでに循環的な構造がたくさんあるというのは
>>221 でも書いた通り確かにそうだけど
じゃあ循環論法的に行くならどうかというと
１） を消して ２） ３） を >>235 に置き換えた言語がどうなるか？
ってことになるのかな

メタレベルの議論は捨てて、都度構成すればいいんだよ。
それで言えない主張は、一般に成り立たないとすればいい。

当然というか、残念ながらと言うか、論理的安定性は捨てる。
つまり、同じ論理を使っても同じ結果が導出できるという保証はない。
3の次が必ず4であるとは言えない世界だ。

その論理的安定性というものは通常どうやって保証しているの？

明らかに自分よりバカな男を見て気持ちが落ち着いている自分に気付いた
ある種の癒しキャラだな

>>239
そんなものは通常暗黙の前提としている。別に保証されているわけではない。

なに言ってだこいつ・・・

>>239
（以降、論理的安定性が保たれた体系のみを考える）

という条件を付けるだけじゃね？

上のレスは哲学的な議論などではなくて
ただの曖昧で不明瞭な議論だと思う。
哲学的って、別に曖昧だということではないからね。特に分析系は。

循環論法も何も、一般にことばは、事物の直示的定義などを除けば
語の意味は循環的に規定されていて、
各語の意味はその使用、用例によってのみ定まっている。
こんなことはWitgensteinが半世紀前に考え尽くしていたことだと思う。

>>223
>３．ならすごいことになる
というなら、実際に無矛盾な公理系を作ってみて欲しい。
話はそれからだと思う。
そもそも数学的公理無しの述語論理は無矛盾性が証明できるし、
数学的理論でも自然数論を含まなくて良いなら
無矛盾性が示せるような理論はそれなりにある。
何がやりたいのか不明。

それからメタ言語を定義するためにメタメタ言語が……
とか言ってる人は、meta/objectとsemantics/syntaxの区別が
付いてないことが多いと思う。semanticsとはmetaなもの、
objectはsyntacticalなもの、みたいな適当な理解をしている気がする。

>>244
「みたいな適当な理解をしている気がする。」

とか言うんのではなく、メタとは何のことで、そこで何が成り立っているのかハッキリ述べてみては？

>>245
それは>>244に言う話ではない。

古典論理捨てる気なのか知らん？

>>244
そうかな。自分では理解できているつもりだけど

＞meta/objectとsemantics/syntaxの区別
semanticsは意味論 syntaxは統語論 どちらもメタレベルの話だね
意味論は文の意味に着目する議論のこと
統語論は文の構造に着目する議論のこと
数理論理学だとモデル理論は意味論寄りで証明論は統語論寄りなのかな？
objectって議論の「対象」という意味でもあるんだろうけど
具体的な「物体」って意味でもあるんだろうね

とりあえず書いてみたけど、
「object languageを対象として議論するのはメタレベルの話である」ということと
「object languageを定義するのにmeta languageが必要」ということには
あんまり関係がないと思う（全く関係がないという訳でもないと思うけど）

>>248
理解できてないことがはっきりわかる。

理解できてないことが全くわからん

＞上のレスは哲学的な議論などではなく　…
＞哲学的って、別に曖昧だということではない

同意。自分は気をつけているつもりだったけど
哲学の語を不用意に使っていたらスマン

＞循環論法も何も、一般にことばは、…
＞語の意味は循環的に規定されていて、…
＞こんなことはWitgensteinが半世紀前に考え尽くしていたこと

半世紀にすでに考えられていた、は同意。尽くしていたかどうかは不明。
循環論法の考えで論理を何らか拡張できれば
その点に関しては考え尽くされてはいなかったことになる。

＞話はそれからだと思う。

いや、話はそれで終わり、
それから、ではなく、それが最終目標。
すぐに最終目標を示すか、示せなければ去るか、の選択では
あまりにも全か無か過ぎるだろう。

>>244
あ、読み間違えていたかも

＞ 実際に…を作ってみて欲しい。
＞ 話はそれからだと思う。

何か作ってみる、話はそれから、というならその通り。
１つ作ってみたやつが >>234-236 ではあるが・・・汗
まだおもちゃみたいであるがどう思う？