微積と線形代数のスレ2 [転載禁止]©2ch.net

微積と線形代数のスレ

間違っているかどうかが問題ではもちろんありません。

それまでに説明されている結果から無理なく証明が行われているか
どうかというのが問題になりますよね。

＞998 ：１３２人目の素数さん：2015/07/16(木) 10:13:27.80 ID:l3RP0/kK
＞いかんかね？
＞左掃き出し法が詰まる
＞＝ 行ピボット選択ができない
＞＝ 固有値０が見つかった
＞＝ 非正則
＞で、何も間違っていないが。

「A の線型独立な列ベクトルの最大数 t(A) は r(A)である」 という定理の
証明や以下の定理の証明は、次元に関する定理の後におくのが自然ですよね。

2.4.2【定理】
A = (a_1, ..., a_n) ： (m, n) 行列
x = (x_1, ..., x_n)^T
c = (c_1, ..., c_m)^T

x_1*a_1 + ... + x_n*a_n = c

が解をもつため必要十分条件は、

rank(a_1, ..., a_n) = rank(a_1, ..., a_n, c)

が成り立つことである。

>>1
このスレは

肥大した自己顕示欲をもつ松坂君が微積分と線形代数の本の誤りを見つけて叩くくスレです。

・テンプレート
今○○○を読んでいます。誤りＸＸＸを発見しました。ひどい本ですね。

×誤りを見つけて
○誤りだと思った部分を

>>3 何が自明な行間かとか
>>4 何が自然かとか
読み手の能力や感性で違ってくるからねえ。
ついてけない本にケチ付けるより、
自分のレベルに合った本を探したら？
最近は、選択肢がめちゃ多いでしょ。

最低レベルの線形の本教えて

たしかに自己顕示欲がウザイな

>>3
数学の本というのは表から順番に裏まで読むものではない。
結論から遡って読むものだ

>>8
ここから好きなの選べ

【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】10 [転載禁止](c)2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428495783/

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』の正誤表が公開されていますね。

知りませんでした。

発見した誤りの一部は正誤表に載っていますが、載っていない誤りも
たくさんありますね。

http://www.tokyo-tosho.co.jp/books/978-4-489-02179-4/seigo-02162.pdf

佐武一郎著『線型代数学』を読んでいます。

A を n 次正方行列とする。

A*x = 0 が自明でない解をもつ ⇒ det A = 0

という命題を「消去法の原理」というと書いてあるのですが、なぜこれを
「消去法の原理」というのでしょうか？

test

>>8
扱う内容を少なくすればいくらでもレベルの低い本が書けますよね。
実際、そういう本もありますよね。

以下の本などは最低レベルの最低の本といえるかと思います：

http://www.amazon.co.jp/dp/4774170372

おまえのレベルは低いと確実にいえるｗ

>>983
どこにも「勝手な」とは書いていない。
よって何をおかしいと思ってるのかさっぱりわからない。

>>987
Bの中にある＊が何を意味しているか画像から読み取れないので、おかしいかどうか判断つかんが、
もしその証明が分りづらいなら線型代数入門に別の証明があるから、そっちを見ればいい。

>>992
どこがどういけないのか書かないと何故いけないと思うのかさっぱりわからない。

本の内容がおかしい、おかしいと頭のおかしい池沼がしきりに連呼

松坂君は数学科の学生ではないだろう、よほど暇な大学に入ったようだｗ

>>17

http://i.imgur.com/UDDG9VX.jpg

繰り返しになりますが、
[4.4]で示しているのは、QP というある左基本変形を A に行うと単位行列に
なるということです。

p.53の例2を見てください。

p.53の例2でやっているような左基本変形による掃き出し法は一意的ではありません。
人それぞれ、勝手な掃き出し法によって単位行列に変形しようとするわけです。
[4.4]で示されている QP という左基本変形とは、一般には一致しない左基本変形に
よる掃き出し法を行うことになります。その際、すべての人が行詰らずに左基本変形に
よる掃き出し法によって単位行列に変形できるかどうかは、[4.4]からは分かりません。

[4.3]から行詰らないことは分かります。もし行詰ったと仮定すると A の階数は n 未満
だということはすぐに分かりますから、[4.3]から A が正則でないという結論になり、
A が正則だという仮定に反します。

これでも何がいいたいのか分かりませんか？

馬鹿には無理

「逆も正しい」の意味が分からないということは分かった

>>20
基本変形の仕方によらず、ある行列の標準形は一意だから何の問題も無い。
[4.4]どうこうの前に、[4.1]〜[4.3]がわかってないのでは？

＞>>987
＞Bの中にある＊が何を意味しているか画像から読み取れないので、おかしいかどうか判断つかんが、
＞もしその証明が分りづらいなら線型代数入門に別の証明があるから、そっちを見ればいい。

『線型代数入門』では線型空間の章（第4章p.117）で証明されていますね。
『線型代数入門』では次元に関する定理を使って同じことを証明しています。

『斎藤正彦 線型代数学』では線型空間の章よりずっと前の行列論のところで
同じことを述べています。次元に関する定理ないしはそれに類する命題を使わない
と本当はギャップなしに証明できないわけですが、「すぐに分かる」といって済ま
せているわけです。その結果、論証に大きなギャップが生じています。

一日これにすべての時間使ってんだろうな

>>24
直ぐに分からない君の学力に問題がある。
学力に合ったもっと易しいのを読め。

>>24
B=(b1,...,bn) で列ベクトル b1,...,bn を定義する。
b1,...,bs が線形独立なのはさすがにいいよな？
bs+1,...,bn のうちどれも b1,...,bsの線形結合で表すことができるから
これらは線形従属。よって線形独立な列ベクトルの個数はs。

その本持って無い俺でもBの形からすぐわかるんだが

>>26
直ぐには分かるんですよね。

t > s のとき、
s 個のベクトルの一次結合であらわされた t 個のベクトルは一次従属になりますから。

ただ、このことは自明ではありませんよね。「すぐに分かる」というのは不適切ですよね。

もしこのことが「すぐに分かる」というのだったら、『斎藤正彦 線型代数学』に載っている
多くの命題は証明なしに「すぐに分かる」で済ませないとバランスが悪いですよね。

>>27

それは極大な線形独立なベクトルの個数が s であるということを
言っているわけですよね。最大であることは別に証明する必要が
ありますよね。

線形代数の本書いたらｗ

>>28
その本を頭から理解していった人にとっては、その定理が出てくる時点では自明になってるんだよ。
本の一部だけ切り取って揚げ足取っても無意味。

「松坂」の微積分
誤植、論理の飛躍はありませんｗ

ギャップを埋めるとすると以下のような説明になると思うんですよね。

B = (b_1, ..., b_n) とする。

b_1, ..., b_n はすべて b_1, ..., b_s の一次結合で表される。

t > s とする。
仮に b_1, ..., b_n の中に t 個の一次独立なベクトルがあると仮定する。
それらの t 個のベクトルは b_1, ..., b_s の一次結合で表される。
t > s だからそれらの t 個のベクトルは一次従属でなければならない。
これは矛盾である。したがって、b_1, ..., b_n の中に s 個よりも多くの
一次独立なベクトルは存在しない。

馬鹿ほど自説にこだわるｗ

>>29
極大とは？

特別講義が楽しみです

放送大学
8月10日21:30 数学の不思議 小平邦彦

>>29
>最大であることは別に証明する必要がありますよね。
無い。
bs+1,...,bn のどれもb1,...,bs の線形結合で表されるから、最大は s より大きくなり様が無い。

>>35

それ以上、ベクトルを追加すると一次従属になってしまう

ということです。

１３２人目の素数さん [] 2013/10/12(土) 21:05:03.02
教科書に以下のような記述がありました。

---------------------------------------------------------------------------------
根号を含む関数は，その対数をとってから微分するとよい。

例題　関数f(x) = x^3 * √(1+x)を微分せよ。

解　両辺の絶対値の対数をとって，
log|f(x)| = 3 * log|x| + 1/2 * log(1+x)
両辺を微分して，f'(x)/f(x) = 3/x + 1/(2*(1+x)) = (7*x+6)/(2*x(1+x))
よって，f'(x) = f(x) * (7*x+6)/(2*x(1+x)) = x^3 * √(1+x) * (7*x+6)/(2*x(1+x))
=(x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))
---------------------------------------------------------------------------------

f(x)はx≧-1で定義されていますが、微分可能なのはx>-1のときですね。
だから、x>-1のとき、f(x)を微分せよという問題ですね。
なぜ、こういうことを教科書では何も書かないのでしょうか？
定義域について意識を向けないというのはよくないことじゃないでしょうか？

さて、前置きはこれくらいにします。
問題は、log|x|とf(x)の合成関数を考えるところです。
log|x|はx≠0に対して定義されています。f(0) = 0ですので、
log|f(x)|はx=0に対して定義されません。つまり上でやっていることは、
x≠0かつx>-1のときにf(x)の導関数を求めるということです。
f(x)を普通に微分して得た、x>-1のときの導関数の式と上のような方法で
求めた式が一致するということは両方とも式で書ける関数であるため、
明らかです。ずる賢い方法ではないでしょうか？少なくとも、x≠0かつx>-1のときに
f'(x) = (x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))となると書くべきではないでしょうか？

さて、それにしても上の村上陽一郎さんの発言はひどいですね。

>>37
もし証明する必要がないというのでしたら、有限次元線形空間の
基底を構成するベクトルの個数は一定であるという定理も証明
する必要がないということになりますね。

10. Prove or give a counterexample: if T ∈ L(V), then
V = null T ? range T.

17. Suppose V is an inner-product space and N ∈ L(V) is nilpotent.
Prove that there exists an orthonormal basis of V with respect to
which N has an upper-triangular matrix.

>>40
これは具体的に与えられた複数のベクトルの中で線形独立なベクトルの最大数はいくつか
という問題に過ぎない。何故次元の一意性定理を引き合いに出すのか意味不明。

THEOREM 6.1:Any non-zero differential operator P(D) admits a fundamental solution.

1.1. For most gases at standard or near standard conditions, the relationship among
pressure, density, and temperature is given by the perfect gas equation of state:
p = pRT, where R is the specific gas constant. For air at near standard conditions,
R = 287 J/(kg' K) in the International System of Units and R =
1716 ft・ Ib/(slug・ OR) in the English Engineering System of Units. (More details on
the perfect gas equation of state are given in Chap. 7.) Using the above information,
consider the following two cases:
(a) At a given point on the wing of a Boeing 727, the pressure and temperature of
the air are 1.9 x 104 N/m2 and 203 K, respectively. Calculate the density at this point.
(b) At a point in the test section of a supersonic wind tunnel, the pressure and
density of the air are 1058 Ib/ft2 and 1.23 x 10-3 slug/fe, respectively. Calculate the
temperature at this point.

>>23
その基本変形（左基本変形）の仕方によっては行列の標準形に到達できないかもしれないわけですよね。
でもそういうことはないということを言わなければならないわけですよね。

>>23

＞＞基本変形の仕方によらず、ある行列の標準形は一意だから何の問題も無い。

↑これは実質的に↓と同じことを言っているわけですよね？

[4.3]から行詰らないことは分かります。もし行詰ったと仮定すると A の階数は n 未満
だということはすぐに分かりますから、[4.3]から A が正則でないという結論になり、
A が正則だという仮定に反します。

>>46
＞でもそういうことはないということを言わなければならないわけですよね。
何故？

>>43

s よりも多くの一次独立なベクトルが存在しないことはどうやって
証明するのですか？

明らかじゃ証明にはなりませんよね。

証明しようと思うと次元の一意性の定理と同じ論法を使うことになり
ますよね。

明らかじゃないことを単に明らかだと思いこんでいるだけでないでしょうか？

>>49
明らかと思わないなら自分で証明すればいい
お主以外は明らかだから問題無い。

明らかじゃないことを明らかだと思いこむことって多いんですよね。

例えば、素因数分解の一意性を明らかだと思いこんでいる人は多いですよね。

明らかだと思いこんでいる人には証明は不要だから問題ないとは言えないと
思うんですよね。

ここでわざわざ同意を求める程度の理解力

素因数分解の一意性を明らかだと思いこんでいる人は多いという思い込み

お忙しいところ質問させてください。

線型空間ｖの三つの部分空間ｗ1，ｗ2，ｗ3に対して
次を証明せよ。
（ｗ1+ｗ2）∩ｗ3＝（ｗ1∩ｗ3）+（ｗ2∩ｗ3）が成り立つ
ならば
（ｗ2+ｗ3）∩ｗ1＝（ｗ2∩ｗ1）+（ｗ3∩ｗ1）

>>54

(w2+w3)∩w1 ⊃ (w2∩w1)+(w3∩w1) は明らかに成り立つ。

v ∈ (w2+w3)∩w1 と仮定する。

v = v2 + v3 = v1 (vi ∈ wi) と書ける。
v3 = v1 - v2 ∈ (w1+w2)∩w3 = (w1∩w3)+(w2+w3) だから、
v3 = v13 + v23 (v13 ∈ w1∩w3, v23 ∈ w2∩w3) と書ける。

w2 ∋ v2 + v23 = v1 - v13 ∈ w1
よって、 v2 + v23 ∈ w2∩w1

v = v2 + (v13 + v23) = (v2 + v23) + v13 ∈ (w2∩w1)+(w3∩w1)

したがって、 (w2+w3)∩w1 ⊂ (w2∩w1)+(w3∩w1)

松坂君のくだらない指摘には毎回ウンザリするが、
かといってID:/pRhE1N3の >>27,>>37 のツッコミは
バカすぎて話にならない。

>>27は全く自明ではない。>>37の指摘なんぞは全く間違っている。
一次独立なベクトルの個数の最大値に関する議論では、
松坂君の言う>>28が本質的に効いているのであり、必ず>>28を経由することになる。
すなわち、>>27のどのような証明であっても、必ずどこかで>>28を経由しなければ、
>>27は証明できない。従って、>>37の指摘は全く間違っている。
例えば、>>27は以下のようにして証明できる。

証明： 仮定から、<b_1,…,b_n>＝<b_1,…,b_s>である。よって、
dim<b_1,…,b_n>＝dim<b_1,…,b_s> である。dim<b_1,…,b_s>≦s
だから、結局、dim<b_1,…,b_n>≦sである。よって、b_1,…,b_n の中から
s個より多くの一次独立なベクトルを選ぶことはできない。■

この証明では、「 dim<b_1,…,b_s>≦s 」の部分が全く自明ではない。
dim<b_1,…,b_s>≦s の証明には、松坂君の言う>>28が必要である。
そもそも、ベクトル空間の「次元」という概念は、松坂君の言う>>28を、
数学的に便利なツールとして使いやすいように変形しただけの概念であり、
上の証明で>>28が必要になるのは当然のことである。

他の証明を経由しても、最終的には必ず>>28が必要になる。

[補足]

ちなみに、件の>>28を証明するには、次が証明できれば十分である。

定理：s 個のベクトルの一次結合であらわされた (s＋1) 個のベクトルは一次従属になる。

この定理は、s に関する数学的帰納法で証明できる。その数学的帰納法の最中で、
一次従属になるような係数を具体的に計算して見つけ出すことになるのだが、
そこで使われるテクニックは、要するに「掃き出し法」である。
数学的帰納法の論理的な性質により、掃き出し法を表面的に「1回」だけ行えば証明が完了する。
帰納法を使わない場合は、いきなり「s個」の状態から出発して、掃き出し法を何度も
繰り返し使うことで証明できる(が、オススメしない)。
帰納法の場合は、この繰り返し部分が帰納法に内包されるので、
1回の掃き出し法で証明が終わるというカラクリになっている。

これは明らかにBの話に肉薄しており、いい加減な書き方をすると
循環論鋒になってしまうので、注意が必要である。
この件に関しては、確かに本の書き方がいい加減であるように見える。

＞>>37の指摘なんぞは全く間違っている。
ならば>>37の反例を挙げてくれ
s 個の線形独立なベクトルと、この s 個のベクトルの線形結合で表される n-s 個のベクトル
合計 n 個のベクトルのうち線形独立なベクトルが s より大きくなる例を

>>58
日本語が全く読めてないワロタｗｗ

>>37は「証明の必要がなく自明だ」という意見なのであり、それに対して俺は

「 その指摘は間違っている。決して自明ではなく、証明が必要であり、
　具体的な証明は>>56->>57のようになっていて、Bの話に肉薄していて、
　循環論法になりがちで危ない」

と言っているのである。

しかし、なんでこうも>>58みたいな人間が次から次へと沸いてくるのかね。
>>27の設定のもとで

「一次独立なベクトルの個数の最大値がsである」

ということそのものは、疑いようのない事実である。
しかし、ここで問題となっているのは、そのことが

「自明かどうか」

という話である。松坂君は「自明ではなく、証明が必要だ」と言っているのであり、
一方の>>37は「自明であり、証明の必要はない」と言っているのである。
その流れで>>56-57を読んでいるはずの人間が、どうして>>58のようなトンデモ解釈に走るのか、
不思議でたまらない。普通に考えて、>>56にある「>>37の指摘は間違っている」とは

「>>37の『自明である』という意見は間違いであり、実際には自明ではなく、証明が必要だ」

という意味にしか読めないだろう。

微積分のノエル君元気？

教科書がおかしい君
「線形独立な極大部分集合」
って意味分かるか？

>>51
おまいさんは学部1年程度の学力も無さそうだな

>>62

>>56 も言ってることだが、質問者は
その「極大」が基底ベクトルの取り方に依らない
ことが自明かどうかを問題にしてるんだろう？

「自明」というか、「既習」でいいと思うんだがねえ。
基底の概念が入ってる人なら、そこは解ってないと。
本の適切な場所に記述が無かったのかな？

>>62
「わっかるかな？ ワカンねぇだろうなぁー
イェイ！」

齋藤の線型代数の中の「単因子とジョルダン標準形」の章ってまともなの？
単因子って必要なん？

>>46
そこに説明を添えたければ、こうすりゃいいけど…

行列Ａが、ある左基本変形Ｐ1では単位行列Ｅとなり、
別の左基本変形Ｐ2では階数落ちの行列Ｂになるとする。
(Ｐ1)Ａ＝Ｅ,
(Ｐ2)Ａ＝Ｂ だから、行列式をとって
(detＰ1)(detＡ)＝1, detＰ1≠0,
(detＰ2)(detＡ)＝0, detＰ2≠0.
これは矛盾。よって、Ａに対する
やりかけの掃き出し法が途中で破綻すれば、
他の手順の掃き出し法が完遂できることは無い。

でもね、こんなの自明でしょ。
いちいちこんなとこまで書いてたら、本が無闇に
厚くなって、書くほうも読むほうもかなわない。
ある程度の行間は、自分で埋めて読まないと。

斎藤正彦著『線型代数入門』を読んでいます。

エルミート行列の特徴づけとして、

p.63に「任意のベクトル x に対して、 (Ax, y) = (x, Ay)が成り立つことにほかならない。」

と書かれていますがおかしいですよね。

「任意のベクトル x および任意のベクトル y に対して、 (Ax, y) = (x, Ay)が成り立つことにほかならない。」

としなければなりませんよね。

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

p.75に「任意の x ∈ C^n に対して (Ax|x) = (x|Ax) が成りたつことにほかならない。」

と書かれていますがおかしいですよね。

「任意の x ∈ C^n、 y ∈ C^n に対して (Ax|y) = (x|Ay) が成りたつことにほかならない。」

としなければなりませんよね。

>>68
全然おかしく無い。
yを定数と見ているだけ。
おまえ任意定数って知らんの？
厳密にやりたきゃ、開論理式、閉論理式とかお勉強することになるが…脳味噌爆発するだろw

学力の無いのが独学すると嵌る見本だな。

数学的読解力がエントリーレベルの人は、もっと簡単な本を読ま無いと駄目だよ。
東大系のテキストはその手の人が読むことを想定して無いから。
松本の「多様体入門」って例外もあるけど。

松坂君はニートかもよ、一日これに費やしてようだし、授業を受けた気配ないし

松坂君はなんで線型代数しかやらないの？
もっと先の数学をやろうとは思わないの？

松坂君の本職は微積分でしょ
副業の線型代数だとキレがない

えっ、そうなの。
この状態でεδとかやったら…

松坂君は昔小平先生を崇拝してたが今は小平の先生の本貶してるｗ

>>28
(>>76の続き)
すると、各i＝1,…,stに対してλ_i∈Rだから、各j＝1,…,tに対してμ_j∈R
であり、そしてΣ(μ_j・a_j)＝Σb_j　1≦j≦tから、a＝b。
よって、線型空間の定義から、R∩K≠φであり、RとKの両方に含まれる最小の環Qが存在する。
a_1、…、a_sはR上一次独立、かつb_1、…、b_s、…、b_tはK上一次独立であるから、
R、K⊃Qからa_1、…、a_sはQ上一次独立、かつb_1、…、b_s、…、b_tはQ上一次独立である。
また、a∈V_1、b∈V_2から、a＝b＝uとおくと、u∈V_1∩V_2。
ところで、V_1∩V_2⊂V_1からu∈V_1であり、V_1∩V_2⊂V_2からu∈V_2である。
更にs＝dim(V_1)、t＝dim(V_2)だから、s＜tからdim(V_1)＜dim(V_2)。
従って、s＝dim(V_1)≧1から、或る左Q-加群Vが存在してV⊂V_1∩V_2
であり、r＝dimVとおくと1≦r≦dim(V_1)＜dim(V_2)。
故に、何れも或るベクトルv∈V、v_1∈V_1、v_2∈V_2＼{0}が存在して、
a＝v＋v_1、b＝v＋v_2。ここで、a、v_1∈V_1、V_1∩V_2⊂V_1だから、
v＋v_1∈V_1∩V_2即ちv＋v_1∈V_1からv＝a−v_1であり、v∈V_1。
また、同様に、b、v_2∈V_2、V_1∩V_2⊂V_2だから、v＋v_2∈V_1∩V_2
即ちv＋v_2∈V_2からv＝b−v_2であり、v∈V_2。従って、v∈V_1∩V_2。
a＝bからv＋v_1＝v＋v_2∈V_1∩V_2だから、同様に、v＋v_1＝v＋v_2∈V_1、V_2
から、各k＝1,2に対してv_k∈V_1、V_2であり、v_k∈V_1∩V_2。

本物の後藤さんっぽい

後藤爺さんは脳味噌に・・が湧いてるのか、「意識がが高い」松坂君とのやりとりは見もの

>>24
>『斎藤正彦 線型代数学』では線型空間の章よりずっと前の行列論のところで同じことを述べています。

『斎藤正彦 線型代数学』は知らないが、『線型代数入門』では「行列」の章で
「未知数の数が方程式の数より大きい斉次方程式系は少なくとも一つの非自明解を持つ。」
という命題を扱っており、線型空間の章における
「K^n において n 個より多くのベクトルは線型従属である」という命題はこれの
言い換えに過ぎないから、前者の命題を知ってればほぼ自明となるんだが、
『斎藤正彦 線型代数学』の行列論では連立一次方程式論を扱っていないということか？
それとも言い換えと気付かない程度の学力ということなのか？

>論証に大きなギャップ

とな (禿藁

まーあせるな、コントはこれからｗ

主役がこないと盛り上がらない

準備中か
結構叩かれてたからな

種も仕掛けもあります

初登場の2013年からずっとたたかれてるｗ

デビュー曲は ∫dx/x だっけ？

>>88
>>39

あんまり変わり映えしないな

足助太郎著『線型代数学』を読んでいます。

参考文献に伊理正夫著『一般線形代数』が入門書として紹介されています。
『一般線形代数』が入門書ということになると線形代数の入門用でない本
などというものは存在するのでしょうか？

今、線形代数を読んでます。さて完読したのは何冊でしょうか？

線形代数を捨てて四元数を学ぶべきだな

今、雪江「代数学１」を読んでます。さっそく誤りをみつけてしまました。４０ページ下から一行目
φ(x)ですよね。ひどいですね。

>>94
このレスに、さっそく誤りをみつけてしまました。

しまうま

こまけーこたはいいんだよ

2次の直行行列をすべて求めよ。

A = ((a, c)^T, (b, d)^T) とする。 A の2つの列ベクトル、2つの行ベクトルはそれぞれ正規直交系であるから、
a^2 + b^2 = 1,
d^2 + b^2 = 1,
a^2 + c^2 = 1,
d^2 + c^2 = 1
だから
d = ±a,
b = ±c

a^2 + c^2 = 1 だから、ある θ をえらぶと a = cosθ, c = sinθ

さらに a*b + c*d = 0, a*c + b*d = 0 から、
d = a なら b = -c で
A = ((cosθ, sinθ)^T, (-sinθ, cosθ)^T)

d = -a なら b = c で
A = ((cosθ, sinθ)^T, (sinθ, -cosθ)^T)

>>97
このレスにも、誤りをみつけてしまました。

うるせー

A = ((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T) は？
他にも一杯ありそうだね、さあどうする？

2次の直行行列をすべて求めよ。

A = ((a, c)^T, (b, d)^T) を直交行列とする。

A * A^T = E

が成り立つから

a^2 + b^2 = 1
c^2 + d^2 = 1
a*c + b*d = 0

したがって、

φ、θを実数として、

a = cosφ
b = sinφ

c = cosθ
d = sinθ


と書ける。

a*c + b*d = 0 だから
cos(φ-θ) = cosφ*cosθ + sinφ*sinθ = 0 でなければならない。
よって、

φ-θ = π/2 + n*π（n ∈ Z）

と書ける。

したがって、

A = ((-sinθ, cosθ)^T, (cosθ, sinθ)^T)
または、
A = ((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T)

と書ける。

逆に、 θ を任意の実数とすると明らかに
A = ((-sinθ, cosθ)^T, (cosθ, sinθ)^T)
および、
A = ((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T)

は直行行列である。

>>98
と
>>102-103
はどちらがいい解答ですかね？

「⇒実数θが存在」の根拠が跳んでね？

ユークリッド平面上の、不動点のある等長変換群を決定するニダ。

せっかくヒントあげたのに。。。

>>101

((sinθ, cosθ)^T, (-cosθ, sinθ)^T)
=
((cos(π/2-θ), sin(π/2-θ))^T, (-sin(π/2-θ), cos(π/2-θ)

なので
>>98
の解答に含まれています。

>>98

実は>>98が斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』に載っている解答です。

「d = a ≠ 0 なら b = -c」
「d = -a ≠ 0 なら b = c」

ですよね。

d = a = 0 のときには b = -c なのか b = c なのか決定できませんよね。

2次、3次、4次の直行行列で、成分がどれも 0 でない有理数であるものを（ひとつ）さがせ。

3^2 + 4^2 = 5^2
(3/5)^2 + (4/5)^2 = 1
A = ((3/5, 4/5)^T, (-4/5, 3/5)^T)
は2次の直行行列。

3^2 + 4^2 = 5^2
5^2 + 12^2 = 13^2
したがって、
3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2
(3/13)^2 + (4/13)^2 + (12/13)^2 = 1
A = ((3/13, 4/13, 12/13)^T, (-4/13, 12/13, -3/13)^T, (12/13, 3/13, -4/13)^T)
は3次の直行行列。

13^2 + a^2 = b^2 となるような整数 a, b を見つける：
13^2 = b^2 - a^2 = (b - a)*(b + a) = 1 * 13^2
b - a = 1
b + a = 13^2 = 169

2*b = 170
b = 85
a = 84

13^2 + 84^2 = 85^2
3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2
3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2
(3/85)^2 + (4/85)^2 + (12/85)^2 + (84/85)^2 = 1

A = ((3/85, 4/85, 12/85, 84/85)^T, (-84/85, -12/85, -3/85, 4/85)^T,
(4/85, -3/85, -84/85, 12/85)^T, (-12/85, 84/85, -4/85, -3/85)^T))
は4次の直行行列。

(3/85)^2 + (4/85)^2 + (12/85)^2 + (84/85)^2 = 1
という関係式から

u1 = (3/85, 4/85, 12/85, 84/85)^T
という成分がすべて0でない有理数である、長さが 1 のベクトルを見つけました。

そして、 u1 の成分を並べ替えて、成分に適当にマイナスを掛けることによって、

||u_i|| = 1
(u_i, u_j) = 0 (i ≠ j)
となるような以下の 4 つのベクトルを見出しました。

u1 = (3/85, 4/85, 12/85, 84/85)^T
u2 = (-84/85, -12/85, -3/85, 4/85)^T
u3 = (4/85, -3/85, -84/85, 12/85)^T
u4 = (-12/85, 84/85, -4/85, -3/85)^T

質問なのですが、

u1 = (a, b, c, d, ...) （a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ... = 1、a, b, c, d, ... はゼロでない有理数）

というベクトル u1 の成分を並べ替えて、成分に適当にマイナスを掛けることによって、

||u_i|| = 1
(u_i, u_j) = 0 (i ≠ j)
となるようなベクトルを見つけることは常に可能なのでしょうか？

それとも、上のように u1 から u2, u3, u4 を見つけることができたのは偶然なのでしょうか？

ちなみに、斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』の解答は、以下です。
説明はなく答えだけ書いてあります。

A = ((4/5, 3/5)^T, (-3/5, 4/5)^T)
は2次の直行行列。

A = ((1/3, -2/3, -2/3)^T, (-2/3, 1/3, -2/3)^T, (-2/3, -2/3, 1/3)^T)
は3次の直行行列。

A = ((1/2, -1/2, -1/2, -1/2)^T, (-1/2, 1/2, -1/2, -1/2)^T,
(-1/2, -1/2, 1/2, -1/2)^T, (-1/2, -1/2, -1/2, 1/2)^T))
は4次の直行行列。

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

行列式の定義に登場する S_n の元の性質や符号関数 sgn に関する性質を
詳しく書いていますね。

偶置換、奇置換が定義できることを証明するのに、差積などという不純なもの
を使用していないのがいいですね。

sgn の性質って単純な話なのに証明しようと思うと結構長くなるんですね。

斎藤正彦著『線型代数入門』と『斎藤正彦 線型代数学』。

『斎藤正彦 線型代数学』は確かに内容面で改良されているように思います。

『線型代数入門』：
ハードカバーであるのは良くない。
趣味の悪い緑色のカバーは良くない。

『斎藤正彦 線型代数学』：
ソフトカバーであるのは良い。
カバーに書かれている趣味の悪い宣伝文は良くない。
タイトルに著者の名前が含まれているのは良くない。

俺もソフトカバー派

ネタ切れｗ

>>76
スルーか、可哀相

A を (m, n) 型行列、 B を　(n, m) 型行列とする。
E_m + A*B が正則なことと、 E_n + B*A が正則なこととは同値であることを示せ。

ごちゃごちゃ計算してたら解けました。

解答：
E_m + A*B が正則であると仮定する。
(E_m + A*B)*C = C*(E_m + A*B) = E_m となるような (m, m) 型行列 C が存在する。

C + A*B*C = (E_m + A*B)*C = C*(E_m + A*B) = C + C*A*B
より
A*B*C = C*A*B

(E_n + B*A)*(E_n - B*C*A) = E_n + B*A - B*C*A - B*(A*B*C)*A
= E_n + B*A - B*C*A - B*(C*A*B)*A
= E_n + B*A - B*(C*(E_m + A*B))*A
= E_n + B*A - B*E_m*A = E_n + B*A - B*A = E_n

したがって、
E_n + B*A は、正則である。

逆も同様にして示せる。

斎藤正彦さんの解答は以下になります。

>>120
の解答のほうが分かりやすいですし、具体的に逆行列が求まっているという点で優れていますね。

解答：
問題は m と n に関して対称だから、 E_m + A*B が正則なら E_n + B*A も
正則であることを示せばよい。かりに E_n + B*A が正則でないとすると、ゼロでない
n 項列ベクトル u で、 (E_n + B*A)*u = 0 なるものが存在する。
B*A*u = -u ≠ 0 だから A*u ≠ 0。
0 = A*(E_n + B*A)*u = (A + A*B*A)*u = (E_m + A*B)*(A*u) だから
E_m + A*B は正則でない。

ツイッターである画像が話題になっています。
https://twitter.com/oosakitakashi/status/621669244934041600

テレ東で中核派として登場した女性が
TBSに、一般市民としてインタビューを受けていたようですが

これは仕込みでしょうか？？？

TBSは中核派を一般市民として扱ってるのでしょうか？

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

行列式の列に関する多重線型性の証明が誤っています。

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』の行列式の定義ですと、
行列式の行に関する多重線型性を証明するのが自然です。

以下の画像で赤で囲った部分を見てください：
http://i.imgur.com/SpvI79b.jpg
http://i.imgur.com/hIwRc6Y.jpg

ちなみに、斎藤正彦著『線型代数入門』も『斎藤正彦 線型代数学』と
行列式の定義は同じですが、やはり行列式の列に関する多重線型性のほう
を定理として述べています。証明は明らかだとして省略されていますので
誤りとはいえませんが、不自然ですよね。出版から半世紀以上が経つベスト
セラーの本であるにもかかわらず、こんな基本的なところが直されていない
とは驚きです。

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

行列式の列に関する交代性の証明で、不自然なところを見つけました。

σ と τ の順序が不自然です。
τσ の順に書くのが自然です。

http://i.imgur.com/KxGfDep.jpg

こんな瑣末なところをわざわざ画像うｐして揚げ足取りとは驚きです。

馬鹿の読んだ数学書の古本は読めたもんじゃ無い
本の最初の方にだけやたら大量の赤線
しかもトンチンカンなどうでも良い場所に orz

>>124
全く自然だし、仮に不自然だったとしても正しい証明なら問題無い
つまりお主の指摘は二重に間違っている

掛け算順序問題の弊害か

b_j = a_τ(j) とおくと、b_σ(j) = a_τ(σ(j)) = a_{τσ(j)} だと思うんだけどなあ。

列の入れ替え→行列式の計算　の順なんだから、στ(j)だろ
行列式を計算する対象は、τで列を入れ替えた行列だぞ？

定義に戻って計算する必要があるね。

今、雪江「代数学�T」を読んでいます。置換の合成は「右からの作用」としたときには置換σ、τの積を
τ・σで定義した方が便利である、とあります。すばらしいですね。

どこが？

>>129

そうですね。
斎藤正彦著『線型代数入門』ではちゃんとτσ の順になっています。

新しく書き直すときに意味が通るように修正したんだろう

斎藤正彦先生の線形代数の本は読みやすいですけど、どうも窮屈な感じがしますね。

佐武一郎先生の線形代数の本は達人がさらっと書いた本という感じがしますね。

Sheldon Axlerの線形代数の本も読みやすいんですけど、どうも窮屈な感じがしますね。
小者臭がするというかなんというか。

厨房は「小者臭」が嫌いです。ひどいですねーｗ

小物に小物と言われたくないだろう

>>134

以下の二点を確認させてください。

[1]『斎藤正彦 線型代数学』では、
行列 A = [a_1, ... , a_n] と言ったら、A は　a_j （1≦i≦n）
を列ベクトルとする行列ですね？
そうすると、A の (i, j) 成分は 縦ベクトル a_jの 第 i 成分
a(i, j)ですね。

[2] 行列式の定義は、
det [a_1, ... , a_n] = Σsgn(σ)a(1, σ(1))・...・a(n, σ(n))
（ただし、和の記号は {1, ..., n} の置換 σ の全体を動くものとする。）
ですね？

訂正

○　（1≦j≦n）
×　（1≦i≦n）

あんぽんやなあ。
そんな本質的で無い細い異同で読めなくなるやつは、
難しい本は絶対読めない。

そもそもσがSnを動くとき、τσもστもSnを動くんだからどっちでもいいんだよ
鬼の首でも取ったかのように騒ぎ立てなさんな

>>140

はいそうです。

行列の表記法：
http://i.imgur.com/jLR7EHw.jpg
行列式の定義：
http://i.imgur.com/w2npIAT.jpg

>>144

わかりました。忘れていたのですが、後ひとつ、確認事項があります。

{1, ... , n} の二つの置換 σ, τ と j∈{1, ... , n} に対し、
τσ(j) とは、j に σを作用させて、その後にτを作用させたもの
τ(σ(j)) のことですね？

斎藤正彦先生はなんか感覚が変わっていますよね。

↓これなんかちっとも難しくないのに、難しいと書いていますね。

http://i.imgur.com/aWOjN6t.jpg

抽象的な議論は得意そうですけど、行列式とか組合せ論とか苦手そうですよね。
極力、組合せ論的な議論を避けようとしていますよね。逃げているというか。

>>145 で書いたとおりだとすると、
置換の順序は　στではなくτσです。

b_k = a_τ(k) とおき、b_k の第 i 成分を b(i,k) とおくと、
b(i, k) = a(i, τ(k)) で、k = σ(j) として、
b(i, σ(j)) = a(i, τ(σ(j))) = a(i, τσ(j)) だから、

det [b_1, ... , b_n] = Σsgn(σ)b(1,σ(1))・...・b(n,σ(n))
= Σsgn(σ)a(1,τσ(1))・...・a(n,τσ(n))

となります。

>>145

はいそうです。

http://i.imgur.com/CbUx8gf.jpg

>>147

そうですよね。
50年前の斎藤正彦先生は間違っていませんね。

>>148 レスが前後しましたが、
>>147 に書いたとおり、>>124 の置換の順序は
あなたのおっしゃるとおり、τσ　です。

>>146

私の大学院時代の指導教授も言っていたのですが、
歳を取って、抽象的な一般論のほうへ傾く数学者って、結構いるそうです。

ただ、抽象的な一般論へ、と言っても、
定義に従って手を動かして計算、と言うものは
どこでも必要とされるはずですけどね。

>>151

そうなんですか。

ありがとうございました。

>>147
i はいいとして、k,j の定義すら無い説明はナンセンス
異論を封じ込めるためわざと暈したとしか思えん。

>>１５３

i, j, k ∈{1, ... , n}

定義に戻って計算すればいいだけのことに、異論もクソもないだろ。

お前わかってないから黙っててくれる？俺は>>147に聞いてるんだから

だから、オレは >>147　だよ。
別の場所からアクセスしてるんだよ。

>>147 で、i, j, k は {1, ... , n} の元で、
K = σ(j) と仮定している。

これで満足かね、おバカさん。

jがAの第j列目だとか、kが(a_τ(1),...,a_τ(n))のk列目だとか、そのレベルの定義が無ければ>>147のような書き込みは意味をなさないと言ってるんだよ
言われんとわからんか？

おっと、大文字小文字を間違えた。

k = σ(j)

だ。

>>158
やっぱり何もわかってないなお前は
>i, j, k は {1, ... , n} の元で、K = σ(j) と仮定
これだけの定義で一体何を言わんとしてるのか？馬鹿はこれだから困る

>>159

j が A の j列目ってどういう意味ですかね？
j は行列の列ではなく自然数ですがね。

kが(a_τ(1),...,a_τ(n))のk列目って、どういう意味ですかね？
k は行列の列ではなく、自然数ですがね。

>>160
アホか？
k,jがどんな集合の元かだけしか定義されていない状態で、
>k = σ(j)
で何を言わんとしてるんだ？

k, j は {1, ... , n} の元で、{1, ..., n} の置換σに対して
k = σ(j) を満たすと仮定しているんだよ。

アホはお前だ。

>>162
だ〜か〜ら〜、i,j,k が自然数というだけの定義で、>>147 で一体何を言おうとしてるんだ？
全くのナンセンスだと気づかんのか？

噛み砕いてあげようか？
今は行列式の話をしてるんだから、行列の行番号とか列番号とか
そういう意味のあるものとしてi,j,kを定義付けなければ>>147はナンセンスだと言ってるんだよ
まだわからんか？

ここは厨房のスレだ。松坂君をおいてきぼりにするなｗ

>>１６６
噛み砕いてあげようか？

n 次正方行列の列番号とか行番号とかは、
{1, ... , n} の元だと言ってるんだよ。

まだわからんか？

>>168
お前わざとやってるだろ

とにかく肝心の質問者にはこちらの意図は伝わったからな。
後はそっちで勝手にやってくれ。

逃亡乙

質問者に伝わったのではなく、同意見だから迎合したに過ぎん
>>147が伝わるわけないだろ、i,j,kが{1, ... , n} の元という以外何も定義されてなくて、どうしたら伝わったと勘違いできるのやら

行列と列行を分けるしかないな

かけざん順序アゲインみたいだなｗ

この問題の大問4がどうしても解けない…微積に詳しい人誰か教えてくれ…いや教えてください
http://i.imgur.com/Q0O83cJ.jpg

出どころは東京や京都ではないようだな

志賀浩二著『固有値問題30講』を読んでいます。

「ユニタリー（unitary）は、英語の形容詞で、辞書を引くと、
‘単位の’、‘統一の’、‘分割できない’などとかいてある。
数学者はこの言葉を使いなれているから、あまり異和感などを
もったことはないが、改めて考えると、どのような契機から
ユニタリーという言葉を使うようになったのだろうか。
私もよく知らないのである。」

などと書かれています。

固有値の絶対値が 1 だったり、列ベクトルの長さが 1 だから
ユニタリーというのではないでしょうか？

ユニタリはウリが訛って出来た言葉。
ウリの天才数学者の概念の発見を記念してウリタリと名付けた物がベース。
作用素論の起源は大韓である。

そういう話つくるの好きね

線形代数で次週までに各自テーマを選んでその概念について考察せよという課題がでたのですが
テーマ例として「線形写像を行列で表す」と示されたきりで他に指示がなく、困っています。
何か面白いテーマがあれば教えていただきたいです。

ジョルダン分解

GL(n,R)

テンソル代数

環上の加群

冗談標準形

フィボナッチ数列

岩澤分解

kingっていまの世代は知ら無いだろうね。

すいませんマルチになっちゃうんですがここの人すごそうなので是非とも答えて欲しいです

直線
ax+by+c=0
と垂直になるベクトルのひとつのベクトル(a,b)の向きの判定ってどう示すのが一番上手いですか？

マルチ

>>190
答えられねーのかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>180
グラフ理論
線型代数の論文は今も数多く出版されているぞ

>>180
33の素敵な数学小景 フィボナッチ数、タイル張り、アルゴリズムを
線形代数で眺めてみると…

J. マトウシェク

http://www.amazon.co.jp/dp/4535786917

算数とか初等数学とかの苦手な人には、
母国語が不自由な人が多い。
その手の人は、よく、言葉が少な過ぎて
何が言いたいのか不明な文章を書く。

「ベクトル(a,b)の向きの判定」って何さ？
何が訊ねたいのか、伝わるように質問してごらん。

算数とか初等数学とかの苦手な人には、
母国語が不自由な人が多い。

スレの流れが分るようにレスしてごらん。

xy平面上の直線l,l'を
l:ax+by+c=0・・・(1)
l':ax+by=0・・・(2)
で定義する。
lとl'は平行である。・・・(3)
l'は原点(0,0)を通る。・・・(4)
(4)より、l'上の任意の点(x,y)は位置ベクトルを表す。
(2)は位置ベクトル(x,y)と位置ベクトル(a,b)の内積値が0であるということだから、直線l'と(a,b)が直交することを意味する。
(3)より、直線lも(a,b)と直交する。

>>194
釣りに決まっとるやん

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

不適切な記述を発見しました。
以下の画像を参照してください。

http://i.imgur.com/quYhPEo.jpg

ゴキブリ画像閲覧注意

斎藤正彦著『線型代数入門』にも『斎藤正彦 線型代数学』にも
「行列の解析学」の章がありますけど、他の線形代数の本には
わざわざ1章を割いて書かれてはいませんよね。何か拘りがある
んですかね。飛ばしても全然問題ないですよね。

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

第6章「線型空間と線型写像（その１）」
なんか段々いい加減になってきている気がします。
書き疲れたんですかね。

あと40ページほどでジョルダン標準形が登場するのですが、
ジョルダン標準形まで読み進められるかどうか心配になって
きました。

確かにゴキブリだった

松坂君ネタ切れ

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

フィボナッチ数列の一般項を求めるのは、高校数学の範囲では非常に難しいと
書いてありますが、結構簡単ですよね？

はあ高校以下の知性のおまえはどうなんだ？

>>204
貴殿の意見に賛同致します
フィボナッチ数列の一般項を求めることは、大学入試でも頻出で、たいはんの高校生はできると思います。

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』の出版元の東京図書のページを見ていたら、
↓こんなのを見つけてしまいました。

「東京図書よりお知らせ
原稿募集のお知らせ
統計学の普及に貢献する本であればどなたでも出版できる場を提供しています。
東京図書 編集部まで、完成原稿をお送りください（住所は下記）。」

なんか本屋さんに行くと統計学関係の本の占めるスペースが大きくて嫌なんですよね。

>>207
貴殿に賛同致します。

厨房が本の荒さがして嫌なんですよね。

>>207
ご高説を賜りたい

松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。

線型写像の表現行列に関する当たり前のことを長々と説明していますね。

佐武一郎先生の本みたいに表現行列についてさらっと説明している本の
ほうが読みやすいですね。

>>211
「おまえが言うな！」
「パカに言われたくない！」と…

松坂君の松坂に対するネガステマ力はなかなか

>>211
貴殿に賛同致します。

入門書ってのは、そもそも、まるごと一冊
あたりまえのことを書き連ねてあるから
入門書なんだがね。

松坂代数入門と松坂位相入門もたのむ

松坂牛肉入門も

>>211
ご高説を賜りたい

松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。

↓この問題なんてひどすぎないですか？

問題：
m×n 行列 A が与えられたとき、線型写像 L_A : K^n → K^m を、 K^n、K^m の標準基底
ε={e_1, ..., e_n}、 δ={d_1, ..., d_m} に関して表現する行列は A 自身に等しいこと
を示せ。

解答：
φ_ε = id_(K^n)
φ_δ = id_(K^m)

だから、明らか。

>>219
貴殿に賛同致します。

>>219
ご高説を賜りたい

確かに、これは流石に酷い。
本当にそう書いてあるのか？

松坂和夫著『線形代数入門』を読んでいます。

以下の画像の青で囲った部分の式が無駄です。

http://i.imgur.com/hkmRptz.jpg

>>223
ご高説を賜りたい

松坂君、ネタが無いなら無理にしゃべらなくていいよ

>>223
>松坂和夫著『線形代数入門』を読んでいます。

↑
誰が読んでいるのでしょうか？主語がなく曖昧性であるため、改善を求めます。

>>223
あなたが提示したurlが指し示す何らかの本の一部とみられる本を教えてください。

この場合、そのurlが指し示すページが、松坂和夫著『線形代数入門』のものであるか、別の本であるか連続性が掴めません。

どうでもいいことを

パカは本質を差し置いて枝葉に目が行く

>>1のことか、卓見ｗ

松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。

以下の画像の赤で囲った部分が無駄です。実際に赤で囲った部分を使っているのは、
青い下線を引いた部分だけです。青い下線を引いた部分も必要ありません。

http://i.imgur.com/PZ6ZrxC.jpg

ところで、松坂和夫先生は記述を表面的に整った感じにするのは得意ですよね。

松坂和夫先生の『線型代数入門』は、「文系の人にも分かるように書」いたそうですね。

でも本文を読んでも文系の人を意識している感じはしませんね。

行列の例で貿易額がどうのこうのといった例がありますけど、そんなのは文系の人にも
理系の人にもどうでもいい例ですよね。

「著者が当初本書に入れることを予定していたのは、線型不等式論、線型計画法、
非負行列の理論など、工学や経済学に関係が深い理論である。」と書いていますね。

松坂和夫先生って応用数学にも関心を持っていたんですね。

線型計画法といえば、伊理正夫著『線形計画法』を読もうと思ったのですが、分かりにくい
ですね。「一日寝っころがって読んでいれば“線形計画法”についての一通りの偽物でない
知識と技能が身につくような、そのような本にしてみたい」などと書いていますね。
伊理正夫著『線形代数汎論』も分かりにくい本ですよね。

俺様の絵日記帳ｗ

松坂もプロなんだから、まさか本気で
文系にもわかる線型の入門書が存在すると
考えていたわけではあるまい。
文系を納得させたければ、本を読ませるより
大麻でも吸わせたほうが早い。

７月２７日（月）晴れ
今日も本の粗探しで一日が終わった

上でごちゃごちゃ重箱の隅突っついてる人って
掛け算の順序こだわる系の人に似てるよね

abの逆元がa^(-1)b^(-1)じゃなくてb^(-1)a^(-1)だとか
そういう真っ当なこだわりじゃなくて
小学校算数の奴ね

＞abの逆元がa^(-1)b^(-1)じゃなくてb^(-1)a^(-1)

これなんで？
同値じゃないの？

松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。

連立1次方程式の解法の説明が非常に分かりにくいですね。
普通にガウスの消去法を説明すれば十分だと思うんですけどね。
不必要に煩雑な印象を与える説明をしていますね。

連立1次方程式の解法は、どの本を参考にして書いたんですかね？

線形代数の本はたくさんありますが、おそらく一番分かりにくく
連立1次方程式の解法を説明しています。

７月２７日（月）曇り
無視厚い

本を読んだ自慢と批判できる自慢

松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。

誤りを発見しました：

http://i.imgur.com/T8WKy3N.png

そうですか

>>1の精神に異常を発見しました

間違って「若き科学者の手紙」を借りてきてしまいました。生物の話でした。ひどいですね。

粗探し

他人の欠点や過失を、ことさらにさがし出すこと。また、そうして悪口を言うこと。「―して言いふらす

>>1
数学やってて楽しいか

粗探しが存在意義なんじゃない？

段々雑になってる

爺が荒らすのはやってるようだが松坂君も爺かｗ

�@http://i.imgur.com/FOg5Qbp.jpg

私の回答
detA=a(a^2-2bc)-2c(ab-2c^2)+2b(b^2-ac)
=a^3+2b^3+4c^3-6abc
(a,b,c ∈ Q ∩ a≠0,b≠0,c≠0)
a^3+2b^3+4c^3-6abc=0 ...(*)
a,b,cの数は存在しないので,a^3+2b^3+4c^3-6abc≠0
∵detA≠0

しかしこれでは(*)の部分に下線を引かれ、これでは強引と言われました。どう直したら良いのでしょうか。お願いします。


�Aこちらは手も足も出ませんでした。
http://i.imgur.com/sIbsLJN.jpg
助太刀お願いします。

ω=2^(1/3)、A=a、B=ωb、C=ω^2cとすれば、
a^3+2b^3+4c^3-6abc
=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)=(a+ωb+ω^2c){(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2}/2
a,b,cが有理数で、全て非ゼロなら　(a+ωb+ω^2c)≠0　だし、
(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2もゼロになる事は無い

>>251
＞a,b,cが有理数で、全て非ゼロなら　(a+ωb+ω^2c)≠0　だし、

「全て非ゼロ」じゃなくて、「どれかが非ゼロ」ならですよね？

>>251
＞a,b,cが有理数で、全て非ゼロなら　(a+ωb+ω^2c)≠0　だし、

「全て非ゼロ」じゃなくて、「どれかが非ゼロ」ならですよね？

Q 上で 1, ω, ω^2 が一次独立であることが言えればいいわけですよね。

(1)a ≠ 0 の場合

Q 上で 1, ω, ω^2 が一次独立だから、
A + B + C = a*1 + b*ω + c*ω^2 ≠ 0
A - B = a*1 + (-b)*ω + 0*ω^2 ≠ 0
だから、
det A = (1/2)*(A + B + C)*{(A - B)^2 + (B - C)^2 + (C - A)^2} ≠ 0

(1)b ≠ 0 または c ≠ 0 の場合
A + B + C = a*1 + b*ω + c*ω^2 ≠ 0
B - C = 0*1 + b*ω + (-c)*ω^2 ≠ 0
だから、
det A = (1/2)*(A + B + C)*{(A - B)^2 + (B - C)^2 + (C - A)^2} ≠ 0

Q 上で 1, ω, ω^2 が一次独立であることはどうやって証明するのでしょうか？

あ、ミスってますね。その通りです。言いたかったのは、
　a,b,cは有理数、ω=2^(1/3)は無理数だから、
　a,b,c全てが0の場合にのみ、a+ωb+ω^2c=0　となる。
そうで無い場合は、a+ωb+ω^2c≠0です。

下手にやると先祖返りのお燗ｗ

>>250
�A：

E := [[1, 0]^T, [0, 1]^T]
F := [[0, -1]^T, [1, 1]^T]
とおくと、

R = {x*E + y*F | x, y ∈ Z}
K = {x*E + y*F | x, y ∈ Q}

E*E = E
E*F = F*E = F
F*F = -E + F

(1)
A = a1*E + a2*F
B = b1*E + b2*F
a1, a2, b1, b2 ∈ Z
と書ける。

A + B = (a1 + b1)*E + (a2 + b2)*F ∈ R
A*B = (a1*E + a2*F)*(b1*E + b2*F) = a1*b1*E + (a1*b2 + a2*b1)*F + a2*b2*F*F
= a1*b1*E + (a1*b2 + a2*b1)*F + a2*b2*(-E + F)
= (a1*b1-a2*b2)*E + (a1*b2 + a2*b1 + a2*b2)*F ∈ R

(2)
前半は、(1)と同様にして示せる。
A = a1*E + a2*F ∈ K かつ A ≠ 0 とする。
E, F は一次独立だから、 (a1, a2) ≠ (0, 0)。

(a1, a2) ≠ (0, 0) だから、
a1^2 + a1*a2 + a2^2 = {a1 + (1/2)*a2}^2 + (3/4)*a2^2 > 0。
a1^2 + a1*a2 + a2^2 ≠ 0。

B = {(a1 + a2)/(a1^2 + a1*a2 + a2^2)}*E + {-a2/(a1^2 + a1*a2 + a2^2)}*F
とおくと、
A*B = B*A = E。

よって、
B = A^(-1)。

(a1 + a2)/(a1^2 + a1*a2 + a2^2) ∈ Q
-a2/(a1^2 + a1*a2 + a2^2) ∈ Q
だから、
A^(-1) ∈ K。

(3)
U = {E, -E, E - F, -E + F, F, -F}

あまりにだるくて、今までのペースで解答書くのがめんどくさくなった模様

>>261
(3)そんな短い回答でいいんですか？

マルチ小僧が喜んでおります

>>264
いや、心配になりました

で、出典は？

中村力著『数学検定1級実践演習』を読んでいます。

以下は行列式の計算ですが、この著者はセンスがないですね。
ある行の c(≠-1) 倍を他の行に加えるということを繰り返していますね。
計算量が無駄に多くなってしまっていますね。

http://i.imgur.com/7jw3uLm.jpg

模範解答は以下になりますよね。
ある行を他の行から引くだけで行列式の値が求まります。

http://i.imgur.com/Nb4Wrgy.png

センスないというか、マジで頭悪そう

この著者は、他の問題でもちょっとあり得ない非効率的な解答を披露しています。

毛沢東の言葉を借りるなら、「反面教師」っていうやつですね。

>数学検定
ニートの爺でお花畑ｗｗｗ

中村力著『数学検定1級実践演習』を読んでいます。

参考書リストが書いてあるのですが、変な本が多いですね。

微分積分の本としては、矢野健太郎、石原繁著『解析学概論』が挙げられています。
線形代数の本としては、川久保勝夫著『線形代数学』が挙げられています。

数学検定ってどんなものかよく知りませんが、数検1級を取るよりも英検1級を
取るほうが難しそうですね。もっと試験時間を長くして証明問題を多くすべき
ですよね。

>>272
そんなもん誰が採点するんだw

>>272
証明問題とかの複雑な物をきっちり教育、採点して欲しければ、
ちゃんとした大学の数学科に進学しろ。

3流大数学科所属が通りますよ
>>1は劣等感なんて持つ必要なし
基底の概念すら怪しい同級生がウヨウヨいるからw

>>1を読んでもいないのか小学生より読解力が無いのか

斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』を読んでいます。

外積についてですが、命題0.3.8で、 a, b, c が右手系をなすことの証明(3)が分かりにくいですね。
これって証明といえるのでしょうか？少なくとも厳密な証明ではないですよね。

中間値の定理がどこで使われているのかよく分かりません。

http://i.imgur.com/oBU9ZWB.jpg
http://i.imgur.com/dnjxjgU.jpg

>>275
一次独立がわからなくても単位は取れる。三流大数学科のいいところ

要するに↓こういうことですよね？

�@最初 a = e1, b = e2 のときには、 a, b, c は右手系。
�A証明(2)により、 a, b が平行でないならば、 c の長さは 0 よりも大きい。
�Ba, b, c が右手系から左手系に移るには、途中で c の長さが 0 にならなければならないことが直観的に分かる。
�C�Aにより c の長さは常に正。よって右手系から左手系に移ることはできない。

a, b が平行のときや a または b が 0 のときにも命題0.3.8が成り立つことの証明がないですね。

>>277
f:R^3×R^3→R を f(x,y)=det(x,y,x×y) で定義し、
・x,y,x×y が右手系 ⇔ f(x,y)>0
・x,y が線型従属 ⇔ f(x,y)=0
・多変数版中間値定理
を使って証明可能。

>>277
「私は馬鹿です」と自己紹介かw

>>277
>厳密な証明
基礎論勉強しろよ厨房

正規行列の対角化を幾何的に教えてくれよ

田島一郎の解析入門、amazonのレビューで論理におかしいとこあるって書かれてるけど具体的にどこがおかしいの？

微積線型なんてただの道具だぞ

松坂和夫著『線型代数入門』を読んでいます。

不統一を発見しました。

http://imgur.com/a/xzeDI

几帳面そうな松坂和夫先生ですが、結構いい加減ですね。

どういうこと？

>>277
x,y,z が右手系 ⇔ det(x,y,z)>0
さえ証明できれば（この証明はやや煩雑）、あとは外積、内積、行列式の定義からすぐに示せる。

右手系ってのがもう気に食わん
detの正負で定義しちゃえよ
俺の右手はお前らの左手だって奴がいたらどうするのかと問い詰めたい

どゆこと？
det 以外に右手左手の定義があるの？
どーやるの？

火星人だとwell-definedではないｗ

アホばっかだなw

左手系の座標系で単位ベクトルの組 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) は左手系かつ detE=1>0 だから、行列式の符号じゃ定義できないのでは？

できないよ。1つ座標系を決めて、それと別の座標系が同じ向きか逆向きか、ということしか分からない。

ついでに言うとお前らが i だと思ってるものは
実は -i なんだぜ

ついでに言うとお前らが i だと思ってるものは
実は j なんだぜ

川久保勝夫著『線形代数学』を読んでいます。

この本、基底をかえて表現行列を簡単な形にするという考えが希薄ですね。
単に行列の計算をしているだけですね。

以下の画像の3枚目の赤で囲った部分の存在意義が分かりません。
その下でもっと強い結果を示しています。

http://imgur.com/a/u81Yz#0

>>288
Cayleyをケーレーと書いていたりケーリーと書いていたりして統一性がないです。

基底が存在するかどうかは自明ではありません

>>298
あ、やっぱり必要ですね。
勘違いしました。

ところでなんで川久保勝夫著『線形代数学』は人気があるのでしょうか？

格調の低い本ですよね。

8/8 土　晴れ
きょうも線型代数の本をよんで荒探しをしました。

そうだね。佐武の線形代数やるといいよ。
斎藤のは演習書だけ。しかも固有値以降しかやらないつもり

代数系入門だろｊｋ

代数は雪江さんのシリーズやったな。あれが納得いくかいかないかで代数の適正が分かってくると思う

興味はもってるらしいぞ、講義の動画を貼り付けてたから

>>306
二年の頃読んだら意味フーリエだったが三年で読んだら簡潔にかかれてて驚いた

京大生でも分からない人いるくらいだからな。まあ二年生なら読めなくて普通。

けなせば賢く見えるそうだ

けなしてない。とりあえず自分の向き不向きが分かりやすいってことさ

雪江明彦『代数学II』を見ています。
http://ocw.kyoto-u.ac.jp/ja/06-faculty-of-science-jp/10/onsko5

36-37分あたりで、

「可換な可除環を体という。」
「可換でない体を斜体という。」

などと言っていますが意味不明です。

体は可換なのに、可換でない体とはどういうことでしょうか？

今、雪江明彦『代数学II』を見ています。解の公式を間違うなんてひどいですねｗ

>>312
四元数体でｇｇｒ

ぐぐっても意味ないと思うよ

そこは、流派により言葉づかいが違うから、
ゴッチャにする阿呆たれもよくいるってこと。

>>312
世の中には君よりも賢い人がたくさんいるのだよ。

四元数かっこいいから使えるようになりたいんだけどおすすめの参考書ある?
四元数と八元数の水色のカヴァーのやつはよくわからんかった

参考書いるか?

川久保勝夫著『線形代数学』を読んでいます。

酷い論証を発見しました。以下の画像を参照してください。

http://i.imgur.com/pSIyffG.jpg

どういう状況かというと、

W_(k-2) ⊂ W_(k-1) ⊂ W_k となっていて、
W_k、W_(k-1)、W_(k-2) は全て有限次元ベクトル空間 V の部分空間です。

�@W_(k-1) の基底に x_1, ..., x_b_k を補充して、 W_k の基底に拡張しています。
�AW_(k-2) の基底に f(x_1), ..., f(x_b_k), y_1, ..., y_b_(k-1) を補充して、 W_(k-1) の基底としています。

x_1, ..., x_b_k, f(x_1), ..., f(x_b_k), y_1, ..., y_b_(k-1) はベクトル空間の一般論から明らかに一次独立な
ベクトルの集合になります。（★以下を参照してください。）
それにも関わらず、川久保さんは、一次独立であることを一般論から明らかとせずに証明しています。
酷い本ですね。

★：
V を有限次元ベクトル空間、 W をその部分空間とし、 dim V > dim W とする。
{w_1, ..., w_m} を W の基底とする。
{w_1, ..., w_m} を拡張した V の基底を {w_1, ..., w_m, v_1, ..., v_n} とする。
{w_1', ..., w_l'} を W の一次独立なベクトルの集合とする。

このとき、 {w_1', ..., w_l', v_1, ..., v_n} は一次独立なベクトルの集合になる。

>>316
ゴッチャにする阿呆たれの例が、

http://ocw.kyoto-u.ac.jp/ja/06-faculty-of-science-jp/10/onsko5

の36-37分あたりでの雪江明彦さんですよね？

ですね

本に載ってる演習問題とかやりますか？
私はあまりやってないです。その本に書いてあるどんなこと聞かれても答えられるようじゃないといけないんでしょうか？

>>312
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
2.「可除環」か「斜体」か

ここでの本は学部3年あたり《ルベーグ積分やガロア理論等》の事です。専門性が高くなってきてるため、満遍なく問題解くのはしんどいです

>>323
早く読み終えたい場合には、読み終えてからやることにして、問題はやらないです。

好きずきだ

川久保勝夫著『線形代数学』を読んでいます。

不自然なところを発見しました。

a_1, ..., a_k はジョルダン・ダイヤグラムを構成するベクトルですから
1次独立なのは明らかです。わざわざ定理12.7.2を遡って引用するのは
不自然です。

http://i.imgur.com/tNuULsy.jpg
http://i.imgur.com/8KSTqlO.jpg

川久保カツオ

この板ってキチガイだらけなんだな

Raspberry Pi2を買うとMathematicaが付属するんですね。

ジョルダンの標準形を求めるプログラムをMathematicaで
書くと勉強になると思うんですよね。

JordanDecomposition[ 行列 ]だな、勉強になりました！！

↓この本の最終目的は、ジョルダンの標準形を求めるプログラムをMathematicaを
使って書くことだと書いてありました。まあ自分で作らないとあまり意味はない
ですね。

線形代数とMathematica (数理情報科学シリーズ)

http://www.amazon.co.jp/dp/4434168614

読者の目的ではなく、本の目的なので別に構わないのではないでしょうか

x->0 のとき、

tan(sin(2*x))/tan(x)

の極限を、テイラー展開、ロピタルの定理を使わずに求めてください。

笑

ふつう展開もロピタルも使わんだろ

>>335
テイラー展開もロピタルの定理も要りません。

tan(sin(2*x))/tan(x)
=
{sin(sin(2*x))/cos(sin(2*x))}*{cos(x)/sin(x)}
=
{1/cos(sin(2*x))}*{sin(sin(2*x))/sin(2*x)}*{sin(2*x)*cos(x)/sin(x)}
=
{1/cos(sin(2*x))}*{sin(sin(2*x))/sin(2*x)}*{2*sin(x)*cos(x)*cos(x)/sin(x)}
=
{1/cos(sin(2*x))}*{sin(sin(2*x))/sin(2*x)}*{2*cos^2(x)}

x -> 0 のとき、

{1/cos(sin(2*x))}*{sin(sin(2*x))/sin(2*x)}*{2*cos^2(x)}
->
(1/1)*(1)*(2*1)
=
2

Raspberry Pi 2 を注文してしまいました。
もちろん、 Mathematica を使うためです。

Mathematica を使うためだけのために Raspberry Pi 2 を買う人って珍しいですかね？

>>325
一つ言えるのは問題はやればやるほど理解が深まる
問題をスルーするのは教科書を半分捨てるようなもの

>>340

斎藤正彦著『線型代数学』にも「そもそも数学の理解には演習問題を解くことが
欠かせない。」なんて書いてあるんですよね。

早く読み終わりたい場合、問題を解くのが時間の無駄のように思えますけど、
「急がば回れ」なんですかね。

でも明らかに時間の無駄であるような簡単な計算問題もありますよね。

演習効果の高い問題を選択する目が必要ですね。

運営乙

ジョルダンの標準形の計算問題みたいに、手計算向きのしょぼい問題しかないような
場合には、 Mathematica のような数式処理ソフトでプログラミングすると細部まで
理解が行き届きますよね。

>>341
深い理解より早く終わらせることに価値がある人はスルーでよいし、結局は人それぞれの価値観の問題

>>342
簡単な計算問題なら時間も少ししか使わないだろうから別に無駄ではない

>>344
正規行列の対角化に毛が生えた程度だから普通に手計算できれば十分

>>344 グレブナー基底を深く理解したかったら、計算プログラムの処理を
覗いてみるのもいい。

どうやって、グレブナー基底を抽出しているか、その過程を。
人間はあいまいな議論でもわかった気になるが、コンピューターは
長時間かけても答えが出てこない場合がある、ということを知るだけでも。

対称多項式は、基本対称多項式で表現できる

という有名な定理の証明がいくつかあるが、具体的対称多項式を手計算で
求めてみると、手順が短いモノとそうでないモノが見つかり
より理解が深まる。

>>341
そもそもお前は数学に向いていないし、才能もない（笑）

線型代数と微積分の話なのでレスがついてるだけｗｗｗ

「…よね」などと言う甘えた奴は無視しとけ

『線形代数とMathematica (数理情報科学シリーズ) 』
http://www.amazon.co.jp/dp/4434168614

を図書館から借りてきました。

直ぐにいろいろプログラムを作りたいんですが、
Raspberry Pi 2 がまだ届かないんですよね。

Raspberry Pi 2 が届いたら、とりあえず、
Ker f、 Im f の基底を求めるプログラムとかから
始めようと思います。

家でも Mathematica が使えるようになると楽しいですよね。

楽しく無い
東大の学部で数学専攻の学生やってる方がずっと楽しいわ

無能がたよるカンピュータ

才能のぷげらも感じさせない書き込み、感動した（笑）

ラズベリーパイのバグを見つけました。ひどいですね（笑）。

おっπ

いっπ

東大の学部生という肩書で楽しいと思う無能

>>358
いや楽しいで。
受けられるサービス、享受できる特権半端無いから。
東京都に住んでる人の受けられる公共サービスと、
夕張市民の受けられる公共サービスの差のようなもん。

後で地獄見そうな話だな

卒業したら、東大受験すんだろｗ

東大生に特権なんてあるわけないだろ
役人になって昇進して局長とか次官とかになればありそうだけど

いや特権てそういう意味じゃねーだろｗ

家庭教師になるとベンツで送迎してくれるそうだ、時給○マソ

自分は土日半日以上かけて分数の計算の出来無いDQNを丁寧に指導。
計3千円の報酬だわ糞が。

東大生でも勉強しないやつは馬鹿なのにな

肩書きがあるだけの家庭教師に騙される親

三次元座標上でx軸周りの角度とz軸周りの角度が分かってて、この２つの角度から決まる三次元上の直線の単位ベクトルを求めたいんだけどどうすればいいですか？

x軸周りの角度って何？
x軸とベクトルの角度かyz面に投影した方向か？
前者なら(cosθx,±√(1−(cosθx)^2−(cosθz)^2),cosθz)
後者は表現法を示さねば答えられん

既知の情報は
求めたい直線をyz平面に投影した直線のy軸との角度。
求めたい直線をxy平面に投影した直線のx軸との角度。
求めたい直線上に存在する一点の座標。
の３つです。
座標系は直交座標です。

東大入学
↓
家庭教師を頼まれ、ベンツで送迎される
バイトに精を出し、勉強はあまりしなかった
↓
公務員試験に落ち、一般企業に入社
↓
上司のカバン持ちの日々
会議で発言すると若造は黙ってろと怒鳴られる

つまんねー、無理して書き込まなくていいぞｗｗｗ

>>370
xy平面投影のx軸との角：θ
単位ベクトル：u＝(cosφcosθ,cosφsinθ,sinφ)
yz平面投影のy軸との角：α
yz平面投影＝(0,cosφsinθ,sinφ)＝(0,ρcosα,ρsinα),tanα＝tanφ/sinθ
tanφ＝sinθtanα,sign(sinφ)＝sign(sinα),sign(cosφsinθ)＝sign(cosα)
(cosφ)^2＝1/(1＋(tanφ)^2)＝1/(1＋(sinθtanα)^2)
(sinφ)^2＝(tanφ)^2/(1＋(tanφ)^2)＝(sinθtanα)^2/(1＋(sinθtanα)^2)
cosφ＝sign(sinθcosα)/√(1＋(sinθtanα)^2)
sinφ＝sign(sinα)|sinθtanα|/√(1＋(sinθtanα)^2)

>>373
ありがとうございます。
Φは何処と何処の間の角度になるんでしょうか？

アソコとアソコの間。

Raspberry Pi2が届きました。

Raspbianをインストールしましたが問題がありました。
最初は起動できるのですが、一度終了して、また起動しようとすると、
「Initializing Kernels ...」というメッセージのところでフリーズ
してしまうんですよね。

調べたところまだ修正されていないバグだそうです。
対策は、WolframというGUIではないMathematicaを起動して、
PacletUpdate["CloudObject"]
を評価すると以後、問題なく使えるようになるようです。

ちなみに、Raspberry Pi2の性能でもほとんど速度的に問題なく
Mathematicaを使えるようです。

SDカードにも注意が必要です。
Amazon.co.jpで推奨のTranscendの32GBのmicroSDカードを最初に買った
のですが、エラーが出て起動できなくなりました。調べたら他にも同じ
人がいて、どうも相性が良くないようです。相性というか、Raspberry Pi2
かmicroSDカードのどちらかがmicroSDカードの仕様を満たしていないか、
microSDカードの仕様自体に問題があるかですよね。ひどい話です。

SAMSUNGの32GBのmicroSDカードを新たに買いましたが、全く問題なく
使用できています。

家でもMathematicaが安く使えるっていいですよね。
あ

あ、訂正します：

Raspberry Pi2が届きました。

RaspbianをインストールしMathematicaを使ってみましたが問題がありました。
最初は起動できるのですが、一度終了して、また起動しようとすると、
「Initializing Kernels ...」というメッセージのところでフリーズ
してしまうんですよね。

調べたところまだ修正されていないバグだそうです。
対策は、WolframというGUIではないMathematicaを起動して、
PacletUpdate["CloudObject"]
を評価すると以後、問題なく使えるようになるようです。

ちなみに、Raspberry Pi2の性能でもほとんど速度的に問題なく
Mathematicaを使えるようです。

SDカードにも注意が必要です。
Amazon.co.jpで推奨のTranscendの32GBのmicroSDカードを最初に買った
のですが、エラーが出て起動できなくなりました。調べたら他にも同じ
人がいて、どうも相性が良くないようです。相性というか、Raspberry Pi2
かmicroSDカードのどちらかがmicroSDカードの仕様を満たしていないか、
microSDカードの仕様自体に問題があるかですよね。ひどい話です。

SAMSUNGの32GBのmicroSDカードを新たに買いましたが、全く問題なく
使用できています。

家でもMathematicaが安く使えるっていいですよね。

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。

第4章の問題17の(v)と(vi)の解答（『Answer Book for Calculus』）
が誤っています。

(vi)の f の定義域は正しくは、(-∞, 0)∪(0, 1] ですよね。

グラフが手書きというのがひどすぎます。
確か、 Spivak さんって、 LaTeX に詳しい人ですよね。


問題：
http://i.imgur.com/KOhAxSI.jpg

解答：
http://i.imgur.com/JiJ0Pf7.png

正しい解答：
(v)：
http://i.imgur.com/Xy51pNC.png

(vi)：
http://i.imgur.com/9EpR8a3.png

ちなみに

>>378

のグラフは、 Raspberry Pi2 にインストールされている Mathematica で描きました。
Mathematica って便利ですね。

A＾m＝Enをみたすn次行列Aに対し、複素行列があり
P^-1 A P が対角行列となることを証明せよ

わかりません、教えてくださる方、お願いします。

訂正
複素行列があり⇒複素行列Ｐがあり