＞>>987
＞Bの中にある＊が何を意味しているか画像から読み取れないので、おかしいかどうか判断つかんが、
＞もしその証明が分りづらいなら線型代数入門に別の証明があるから、そっちを見ればいい。

『線型代数入門』では線型空間の章（第4章p.117）で証明されていますね。
『線型代数入門』では次元に関する定理を使って同じことを証明しています。

『斎藤正彦 線型代数学』では線型空間の章よりずっと前の行列論のところで
同じことを述べています。次元に関する定理ないしはそれに類する命題を使わない
と本当はギャップなしに証明できないわけですが、「すぐに分かる」といって済ま
せているわけです。その結果、論証に大きなギャップが生じています。