１３２人目の素数さん [] 2013/10/12(土) 21:05:03.02
教科書に以下のような記述がありました。

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根号を含む関数は，その対数をとってから微分するとよい。

例題　関数f(x) = x^3 * √(1+x)を微分せよ。

解　両辺の絶対値の対数をとって，
log|f(x)| = 3 * log|x| + 1/2 * log(1+x)
両辺を微分して，f'(x)/f(x) = 3/x + 1/(2*(1+x)) = (7*x+6)/(2*x(1+x))
よって，f'(x) = f(x) * (7*x+6)/(2*x(1+x)) = x^3 * √(1+x) * (7*x+6)/(2*x(1+x))
=(x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))
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f(x)はx≧-1で定義されていますが、微分可能なのはx>-1のときですね。
だから、x>-1のとき、f(x)を微分せよという問題ですね。
なぜ、こういうことを教科書では何も書かないのでしょうか？
定義域について意識を向けないというのはよくないことじゃないでしょうか？

さて、前置きはこれくらいにします。
問題は、log|x|とf(x)の合成関数を考えるところです。
log|x|はx≠0に対して定義されています。f(0) = 0ですので、
log|f(x)|はx=0に対して定義されません。つまり上でやっていることは、
x≠0かつx>-1のときにf(x)の導関数を求めるということです。
f(x)を普通に微分して得た、x>-1のときの導関数の式と上のような方法で
求めた式が一致するということは両方とも式で書ける関数であるため、
明らかです。ずる賢い方法ではないでしょうか？少なくとも、x≠0かつx>-1のときに
f'(x) = (x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))となると書くべきではないでしょうか？

さて、それにしても上の村上陽一郎さんの発言はひどいですね。