その後に、「アルキメデスの公理より、aが実数ならばm≦a<m+1を満たす整数がただ1つあることがしたがう。」
と書いてあります。この証明は、n≦a<n+1かつm≠nならばm>nまたはm<n。m<nと仮定しても一般性を失わない。
m+1≦n≦a<m+1。したがってm+1<m+1。矛盾。でいいですか？m<nならばm+1≦nっていうのはどうやって証明するのか
という話になりそうですが。