>>28
(>>76の続き)
すると、各i＝1,…,stに対してλ_i∈Rだから、各j＝1,…,tに対してμ_j∈R
であり、そしてΣ(μ_j・a_j)＝Σb_j　1≦j≦tから、a＝b。
よって、線型空間の定義から、R∩K≠φであり、RとKの両方に含まれる最小の環Qが存在する。
a_1、…、a_sはR上一次独立、かつb_1、…、b_s、…、b_tはK上一次独立であるから、
R、K⊃Qからa_1、…、a_sはQ上一次独立、かつb_1、…、b_s、…、b_tはQ上一次独立である。
また、a∈V_1、b∈V_2から、a＝b＝uとおくと、u∈V_1∩V_2。
ところで、V_1∩V_2⊂V_1からu∈V_1であり、V_1∩V_2⊂V_2からu∈V_2である。
更にs＝dim(V_1)、t＝dim(V_2)だから、s＜tからdim(V_1)＜dim(V_2)。
従って、s＝dim(V_1)≧1から、或る左Q-加群Vが存在してV⊂V_1∩V_2
であり、r＝dimVとおくと1≦r≦dim(V_1)＜dim(V_2)。
故に、何れも或るベクトルv∈V、v_1∈V_1、v_2∈V_2＼{0}が存在して、
a＝v＋v_1、b＝v＋v_2。ここで、a、v_1∈V_1、V_1∩V_2⊂V_1だから、
v＋v_1∈V_1∩V_2即ちv＋v_1∈V_1からv＝a−v_1であり、v∈V_1。
また、同様に、b、v_2∈V_2、V_1∩V_2⊂V_2だから、v＋v_2∈V_1∩V_2
即ちv＋v_2∈V_2からv＝b−v_2であり、v∈V_2。従って、v∈V_1∩V_2。
a＝bからv＋v_1＝v＋v_2∈V_1∩V_2だから、同様に、v＋v_1＝v＋v_2∈V_1、V_2
から、各k＝1,2に対してv_k∈V_1、V_2であり、v_k∈V_1∩V_2。