2次の直行行列をすべて求めよ。

A = ((a, c)^T, (b, d)^T) とする。 A の2つの列ベクトル、2つの行ベクトルはそれぞれ正規直交系であるから、
a^2 + b^2 = 1,
d^2 + b^2 = 1,
a^2 + c^2 = 1,
d^2 + c^2 = 1
だから
d = ±a,
b = ±c

a^2 + c^2 = 1 だから、ある θ をえらぶと a = cosθ, c = sinθ

さらに a*b + c*d = 0, a*c + b*d = 0 から、
d = a なら b = -c で
A = ((cosθ, sinθ)^T, (-sinθ, cosθ)^T)

d = -a なら b = c で
A = ((cosθ, sinθ)^T, (sinθ, -cosθ)^T)