まとめ
・整数部の桁数は2
・整数部を除く非循環部の桁数は1
・循環部の桁数は4
・循環部の数字の2乗の和を11で割った余りは1
・循環部の上2桁を8で割った余りは4
・循環部の下2桁を8で割った余りは7

現時点で分母の候補は
202,606,1818,2222,6666,19998
505,1515,4545,5555,16665,49995
1010,3030,9090,11110,33330,99990
で合ってる？