まっことしょうもない質問ですみませんが、よろしくお願いします。

正規分布の標準化について、

正規分布： f(x)=1/σ√(2π) e^-((x-μ)^2/2σ^2)があり、
ここでz=(x-μ)/σとおけば、f(x)はzの関数g(z)として
g(z)=e^-(z^2/2)/√(2π)となる

のような記述をよく見かけます。
z=(x-μ)/σとおくとき、e^-((x-μ)^2/2σ^2)の部分がe^-(z^2/2)になるのはわかります。
一方、1/σ√(2π)の部分のσはどこに行ってしまうのでしょうか？
あちこちのHPでは簡単に結論だけ書かれていることが多い気がするので、
かなり自明で簡単なことなのだと思うのですが（単に計算間違えてるとか）、ここのσが1になる理由がわかりません。
よろしくお願いします。