>>963
半径1の円をCとする。Cの中心をOとする。Cに外接する正10角形の頂点を反時計回りに P_1,…,P_{10} とする。
正10角形 P_1…P_{10} の各辺の長さの総和を S(10) とする。△P_1OP_2 について、∠P_1OP_2＝2π/10＝π/5 で
あり、線分 P_1P_2 の長さの半分の長さは 1/2・tan(2π/10)＝1/2・tan(π/5) だから、P_1P_2＝tan(π/5)。
従って、S(10)＝10・P_1P_2＝10・tan(π/5)。ここで、△P_1OP_2 は、頂角がπ/5、OP_1＝OP_2 の2等辺3角形である。
OP_1＝a とおき、x＝P_1P_2 とおく。すると、 x＝tan(π/5)。また、∠OP_1P_2＝2π/5。∠OP_1P_2 の2等分線と
線分 OP_2 との交点をQとすると、△OP_1P_2∽△P_1P_2Q であり、OQ＝P_1Q＝P_1P_2 だから、xは x+x・x/a＝a
を満たす。xは2次方程式 x^2+ax-a^2＝0 の根であり、a＞1、x＞0 からxを求めると、x＝a(-1+√5)/2。
従って、S(10)＝10・tan(π/5) から S(10) を求めると、S(10)＝10x＝10a(-1+√5)/2＝5a(-1+√5) となる。
(√2＋√3)^2−(5a(−1＋√5))^2＝y とおく。すると、S(10) の値 5a(-1+√5) とyについて、
y＝(√2＋√3)^2−25a^2(−1＋√5)^2＝5＋2√6−25a^2(6−2√5)＝2√6＋5＋a^2(50√5−150)
だから、b＝50√5−150 とおくと、yは y＝2√6＋5＋a^2・b と表せる。9/2＜√5 だから、bを下から評価すると、
b＝50√5−150＞50・9/2−150＝225−150＝75＞0 となる。従って、y＝2√6＋5＋a^2・b＞0 から
(√2+√3)^2＞(5a(-1+√5))^2 であり、√2+√3＞5a(-1+√5)＝S(10)。同様に、9/2＜√5 から、S(10) の値を
下から評価すると、S(10)＝5a(-1+√5)＞5(-1+√5)＞5(-1+9/2)＝5・7/2＝35/2＞34＞π。故に、π＜S(10)＜√2+√3。

だな。「x+x^2＝1」は「x+x^2＝a」ではなく、「x+x・x/a＝a」になる。間違えた。