大学学部レベル質問スレ 2単位目 [無断転載禁止]©2ch.net

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
微積と線形代数のスレ2 [転載禁止]©2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1437010047/
線形代数（初心者レベルから中級まで）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1318252223/
分からない問題はここに書いてね414 [無断転載禁止]©2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1464523494/

※前スレ
高校〜大学学部レベル質問スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1427120597/

立て逃げ乙

>>2
これ以上何か書くことあったっけ？

定型文1
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

定型文2
ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

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ゴミがまだいる

http://imgur.com/uEZVSB8.jpg

木について質問があります。
↑の画像で赤線を引いたところに、「T の要素 b に対し、 L_b が有限集合のとき、」
と書かれています。

T が木のとき、常に、 L_b は有限集合になると思うのですが、どうでしょうか？

ところで、このように木を定義してある本は他にあるでしょうか？
グラフ理論の本では、有限の木の定義として、閉路を含まない連結グラフという
定義ばかり載っているように思います。

>>16
T={x∈R|0≦x}として順序を通常の大小関係としたものや

T=Nとして、a,bの順序を
a,bの偶奇が等しければ通常の大小関係
aが偶数、bが奇数ならばa≦b
としたものは木にならないか？

>>17

ありがとうございます。

T={x∈R|0≦x}として順序を通常の大小関係としたもの

については、整礎ではないので木にはなりません。

>>17

T=Nとして、a,bの順序を
a,bの偶奇が等しければ通常の大小関係
aが偶数、bが奇数ならばa≦b
としたものは木にならないか？

N = {0 < 2 < 4 < ... < 1 < 3 < 5 < ...}

これは木になりますね。

x ≦ 1 は有限集合にはならないので、 1 のレベルを定義できませんね。

ありがとうございました。

nビットのすべての2進数のうち、偶数個（0個も偶数個と考える）の0を含むものは
何個あるか？

という問題について質問です。

「対称性によりnビットの2進数2^n個のうち半数が0を偶数個含み、もう半数が
0を奇数個含むということに注意すれば、この問題は直ちに解ける。」

と書かれているのですが、 n が偶数のときに、対称性をどう使えばいいのか分かりません。

n が奇数のときには、

n ビットの2進数が 0 を偶数個含む ⇔ n ビットの2進数が 1 を奇数個含む
n ビットの2進数が 0 を奇数個含む ⇔ n ビットの2進数が 1 を偶数個含む

対称性により、

nビットの2進数2^n個のうち 0 を偶数個含むものの数
=
nビットの2進数2^n個のうち 1 を偶数個含むものの数
=
nビットの2進数2^n個のうち 0 を奇数個含むものの数

よって、nビットの2進数2^n個のうち半数が0を偶数個含み、もう半数が
0を奇数個含む。

n が偶数のときには、以下の解答が思い浮かびました。
しかし、この解答は対称性を使っているとは言えないのではないかと思います。

n が偶数のときには、 (n-1) ビットの2進数2^(n-1)個のうち半数が0を偶数個含み、もう半数が
0を奇数個含む。

よって、
n ビット目が 0 である n ビットの2進数2^(n-1)個のうち半数が0を偶数個含み、もう半数が
0を奇数個含む。
n ビット目が 1 である n ビットの2進数2^(n-1)個のうち半数が0を偶数個含み、もう半数が
0を奇数個含む。

よって、nビットの2進数2^n個のうち半数が0を偶数個含み、もう半数が
0を奇数個含む。

nビット2進数の定義が分からんな

>>22

0 または 1 を n 個並べたものです。

{a_1 a_2 … a_n | a_i ∈ {0, 1}}

頭に0があってもいいんか

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ゴミ

以下の【命題1】の証明を教えてください。


【定義1】
<A, ≦> を順序集合とする。 A の空でない部分集合を D とする。
D の任意の2要素 a, b に対し、a ≦ c かつ b ≦ c となる D の
要素 c が存在するとき、 D は有向であるという。


【定義2】
<A, ≦> を順序集合とする。
<A, ≦> が最小元をもち、 A の任意の有向部分集合 D に対し、
D の上限 ∪D が存在するとき、 <A, ≦> は完全順序集合であるという。


【命題1】
<A, ≦_A>、<B, ≦_B> を完全順序集合とする。

このとき、直積順序集合 <A×B, ≦> も完全順序集合に
なることを証明せよ。ただし、直積順序集合 <A×B, ≦>
の順序の定義は以下である：

a ≦_A a' かつ b ≦_B b' であるとき、かつそのときに限り、

(a, b) ≦ (a', b')

と定義する。

実は、
>>36
の問題は教科書では穴埋め式の問題になっています。

ここを見ているみなさんならば、不要かと思い、また画像を
撮影するのが面倒でもあったため、既に埋められている穴
の部分は示しませんでした。が、念のため、教科書に書か
れている通りの問題として示しておきます。

穴埋め式の問題は以下のようになっています：

http://imgur.com/zwrGUEm.jpg

(∪D_A, ∪D_B) が D の上界になることは、

D ⊂ D_A × D_B であることから明らかです。

上限、すなわち最小上界になることが証明できていません。

↓のような概念図も書いてみましたが、役に立っていません：

http://imgur.com/6JCTG6d.jpg

(∪D_A, ∪D_B) が、 D_A × D_B の上限であることも明らかです。

D の上限と D_A × D_B の上限が一致することを示せばいいことが分かります。

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>>36
Dの上界から任意に(x,y)をとる．
(∪D_A, ∪D_B)≦(x,y)を示すには
直積順序の定義から∪D_A≦xかつ∪D_B ≦yを示せばよい．
∪D_A≦xを示そう．
任意のd∈D_Aをとるとあるe∈Bがあって(d,e)∈Dであるが
(x,y)はDの上界の元なので(d,e)≦(x,y)
したがってd≦x
dはD_Aの任意の元だったので∪D_A ≦ x
同様にして∪D_B ≦ yなので
したがって(∪D_A, ∪D_B)≦(x,y)

>>51

ご回答ありがとうございました。

∪D_A が D_A の元であることはどうやって示すのでしょうか？

>>36
上限は上界の最小限なので，元の集合に含まれている必要はない
例えば[0,1)の上限は1だけど1∈[0,1)ではない

>>53

ありがとうございます。

とすると、

「dはD_Aの任意の元だったので∪D_A ≦ x」
の部分はなぜ成り立つのでしょうか？

>>54
D_Aの任意の元dに対してd≦xなのでxはD_Aの上界
一方∪D_A はD_Aの最小の上界であるので∪D_A ≦x

>>55

なるほど！

理解できました。

ありがとうございました。

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ゴミ

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猫は自殺しないの？

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ゴミ

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地上の一点から、頭上5kmを水平飛行している飛行機を観測する。飛行機を見たときの視線な鉛直方向となす角度θとし、時刻tにおける視角とその変化速度(dθ/dt)をつかい飛行速度を地上での計測値を計測する式を求めよ

これをお願いします

まず日本語を勉強しろ

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>>75
{5/(cosθ)^2}(dθ/dt)

>>37
このフォントいいね
なんていう本？
http://imgur.com/zwrGUEm.jpg

1/2logtanx+logcosx　微分してください

>>89
1/tan(2x)

計算しなおしたら合ってました。　
回答くださった方ありがとうございます

誰かこの重積分の回答を教えていただけませんか？

http://iup.2ch-library.com/i/i1662137-1465929216.png

自分で解いたら1/4*paiになりました
どうかご教授ください

線形代数です。朝までにどなたか教えてください。よろしくお願いします。

http://iup.2ch-library.com/i/i1662141-1465930431.jpeg

線形代数です。朝までにどなたか教えてください。よろしくお願いします。

http://iup.2ch-library.com/i/i1662141-1465930431.jpeg

宿題は自分でやれ

自分で考えて限界だと思ったので投稿しました。どなたか教えてもらえると助かります

a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_0 = 0

が任意の x に対して成り立つならば、 a_0 = a_1 = ... = a_n = 0 が成り立つことの
証明を代数学の基本定理など高度な定理を使わずに証明できるでしょうか？

もし、あるようでしたら教えてください。

十分元数の多い体上の話なら、普通にn+1コ値を取ってきて方程式n+1コ立てて、
a_0〜a_n を求めてしまえばいいんでね

>>98

なるほど。ありがとうございました。

n+1 個の異なる値をとってくれば、ヴァンデルモンドの行列式の値はゼロでないので

a_0 = a_1 = ... = a_n = 0

になりますね。

>>94
時間切れだな

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ゴミ

なんなのこのコテは

>>97
背理法を使えば？
0でない最高次の係数をa_k とし、x→±∞で左辺がどうなるか見る。

>>113
極限とれるとは限らない

代数学の基本定理を引き合いに出してるから、
書き忘れてはいるけど、複素多項式なんだろ。
それなら極限がとれる。

係数環が一般環だと成り立たないから、
いずれにしろ何かの仮定は必要。

数学セミナーって中身スカスカだな。

あの雑誌よく廃刊にならないな。

買っているやつなんているのか？

あんな雑誌読むより、教科書買った方がいいだろ。

松坂和夫の解析入門が6巻セットで出品されているな。
現在、17500円
http://page9.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/k218381688

岩波の大昔の基礎数学選書が14冊で現在55000円。
信じられない値段だ。
http://page4.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/d195829347

http://page22.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/l349962399
現在、新品が売られている一松信の多変数解析の本をこの値段で出品。

なぜ復刊しないのかねえ

質問です
2〜nの項目があり各項目は一意の整数が入っています
2つ以上の項目の和が各項目と被らずかつその他の項目の和とも被らないようにした各項目の数値を求めることは可能でしょうか？

解読が面倒

2,4,8,16,,,ってこと？何が聞きたいかワカンネ

たとえば組(2, 4, 5)なら可能な和は6, 7, 9, 11になるけど
3つの整数の組で可能な和が6, 7, 9, 11になるのは(2, 4, 5)だけか？
これはどんな組についても言えるか？

ってことでは

(12)×(123)
(34) (456)
(789)
この行列の答えを計算過程も含めてお願いします、あと行列のいい問題集みたいなのあったら教えてください

{a,b,c,d}={x+y,x+z,y+z,x+y+z}になるから
a=x+y,b=x+z,c=y+z,d=x+y+zとすると
x=(a+b-c)/2,y=(a+c-b)/2,z=(b+c-a)/2

ところで
a+b+c+d=3(x+y+z)=3d
だから4数のうち1つdが、4数の和の1/3になっていないといけない
残りの3つが{a,b,c}だから{x,y,z]も存在すれば一意に定まる

元の121とは全く違うじゃないか。121は解読できないけど

解りづらくて申し訳ない
ほしい値としては1と2の乗数で出来ることがわかりました

>>88

情報代数 (情報数学講座)
小野 寛晰
固定リンク: http://www.amazon.co.jp/dp/4320026527

という本です。

-----------------------------------------------------------
a, b, c ∈ R, a > 0
とする。

f(n) = a*n^2 + b*n + c
とする。

f(n) ∈ Θ(n^2) を証明せよ。

http://imgur.com/thzXiJO.jpg
Θ(g(n)) という記号の定義については↑を参照してください。
-----------------------------------------------------------
自分で考えた証明は、大雑把な考え方のものです：

f(n) = a*n^2*(1 + b/(a*n) + c/(a*n^2))

lim_{n -> ∞} ( 1 + b/(a*n) + c/(a*n^2) ) = 1
だから、ある自然数 n0 が存在して、

n ≧ n0 であるすべての自然数 n に対して、

1/2 ≦ 1 + b/(a*n) + c/(a*n^2) ≦ 3/2

が成り立つ。

よって、

n ≧ n0 であるすべての自然数 n に対して、

(1/2)*a*n^2 ≦ a*n^2 * (1 + b/(a*n) + c/(a*n^2)) ≦ (3/2)*a*n^2

が成り立つ。

これは、
f(n) ∈ Θ(n^2) を意味する。
-----------------------------------------------------------
教科書には以下のように書かれています：

c1 = a/4
c2 = 7*a/4
n0 = 2*max(|b|/a, √(|c|/a))

ととれば、すべての n ≧ n0 に対して、
0 ≦ c1*n^2 ≦ a*n^2 + b*n + c ≦ c2*n^2

を証明できる。
-----------------------------------------------------------
c1, c2, n0 は、どういう考え方からこのような値になったと考え
られるのでしょうか？

回答をお願いします。

b ≠ 0 かつ c ≠ 0 と仮定する。

a*n^2 + b*n + c
≦
|a*n^2 + b*n + c|
≦
a*n^2 + |b|*n + |c|
=
a*n^2*(1 + (|b|/a)*(1/n) + ((√(|c|/a)*(1/n))^2)
=
(1)

----------------------------------------------------------
n0 = 2*max(|b|/a, √(|c|/a)) とする。
----------------------------------------------------------
n ≧ n0 のとき、

n0 ≧ 2*|b|/a だから、

1/n ≦ 1/n0 ≦ a/(2*|b|)

よって、

(|b|/a)*(1/n) ≦ (|b|/a) * a/(2*|b|) = 1/2
----------------------------------------------------------
n ≧ n0 のとき、

n0 ≧ 2*√(|c|/a) だから、

(1/n)^2 ≦ (1/n0)^2 ≦ (1/(2*√(|c|/a)))^2 = 1/(4*|c|/a) = a/(4*|c|)

よって、

((√(|c|/a)*(1/n))^2) = (|c|/a) * a/(4*|c|) = 1/4
----------------------------------------------------------
以上より、

n ≧ n0 のとき、

(1) = a*n^2*(1 + (|b|/a)*(1/n) + ((√(|c|/a)*(1/n))^2)
≦
a*n^2*(1 + 1/2 + 1/4) = (7/4)*a*n^2 = c2*n^2

↑訂正します：
((√(|c|/a)*(1/n))^2) = (|c|/a) * a/(4*|c|) = 1/4
⇒
((√(|c|/a)*(1/n))^2) ≦ (|c|/a) * a/(4*|c|) = 1/4
----------------------------------------------------------


b = 0 かつ c ≠ 0 のときは、

(1) = a*n^2*(1 + ((√(|c|/a)*(1/n))^2)
≦
a*n^2*(1 + 1/4) = (5/4)*a*n^2 < (7/4)*a*n^2 = c2*n^2
----------------------------------------------------------
b ≠ 0 かつ c = 0 のときは、

(1) = a*n^2*(1 + (|b|/a)*(1/n))
≦
a*n^2*(1 + 1/2) = (3/2)*a*n^2 < (7/4)*a*n^2 = c2*n^2
----------------------------------------------------------
b = 0 かつ c = 0 のときは、

(1) = a*n^2 < (7/4)*a*n^2 = c2*n^2

-b ≦ |b|
-c ≦ |c|

だから、

a*n^2 + b*n + c
≧
a*n^2 - |b|*n - |c|
=
a*n^2*(1 - (|b|/a)*(1/n) - (|c|/a)*(1/n^2))
=
(2)
----------------------------------------------------------
n0 = 2*max(|b|/a, √(|c|/a)) とする。
----------------------------------------------------------
n ≧ n0 とする。

b ≠ 0 のとき、
2*|b|/a ≦ n0 ≦ n だから、
a/(2*|b|) ≧ 1/n

よって、
-1/2 = (-|b|/a)*(a/(2*|b|)) ≦ (-|b|/a)*(1/n)

-1/2 ≦ (-|b|/a)*(1/n)
この不等式は、b = 0 のときにも成り立つ。
----------------------------------------------------------
n ≧ n0 とする。

c ≠ 0 のとき、
2*√(|c|/a) ≦ n0 ≦ n だから、
(1/2)*√(a/|c|) ≧ 1/n,
(1/4)*(a/|c|) ≧ (1/n)^2

よって、
-1/4 = - (|c|/a) * (1/4)*(a/|c|) ≦ - (|c|/a)*(1/n^2)

-1/4 ≦ - (|c|/a)*(1/n^2)
この不等式は、c = 0 のときにも成り立つ。
----------------------------------------------------------
以上から、

n ≧ n0 のとき、

(2) = a*n^2*(1 - (|b|/a)*(1/n) - (|c|/a)*(1/n^2))
≦
a*n^2*(1 - 1/2 - 1/4) = (1/4)*a*n^2

一人遊び

質問です。
２元とも２次微分可能だけど非線形な関数f(a,b)のピーク値を数値的に求める方法を教えてください。

何となく想像したアルゴリズムは、とりあえず、ローカルミニマムの数よりも十分多そうな出発点a,bをランダムに選び、
１元関数の差分式にニュートンラフソン法をつかってピークを探す要領で
A軸→B軸→A軸→B軸→A軸→B軸→・・・って繰り返してローカルミニマムを片っ端から探し出す、
というのを考えました。これで求められなくもない、とは思うのですが、
もっといい方法ありますでしょうか？キーワードだけでも結構です。おしえてください。

準ニュートン法
1次微分を使って1次元探索を繰り返す
その際に2次微分(ヘッシアン)を数値的に求めながら最適探索方向を計算する

ありがとうございます。
ちなみに最適探索方向というのは、イメージ的には曲面の勾配方向のことでしょうか？

違う
共役方向

ありがとうございます。すると
Wikipedia で　共役勾配法　ってあるのが、まさにそれですね？！

>>125
は
http://i.imgur.com/XF6YfDz.jpg
こうです、誰かお願いします

>>139
これってそもそも掛け算できないだろ。

不定義

完

定義したい

できません

適当に埋め込んでやればいいんじゃない？
よくあるのは左上のブロックに埋め込んで、右と下の行(列)を0を並べる
そんで全てのnに対してM(n,R)の和を取るものだけど、他にも右下だけ1にすればSL(n,R)をより高次のSLに埋め込めたりする
GLも同様

できる場合とできない場合の違いってなんでしょうか

定義読め
>>138
準ニュートン法は共役勾配法が元になってる

今は行列は高校でやらないんだっけ？
どちらにせよ
> ・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう（特に基本的な公式など）。

>>147
新課程でやってないですね…教科書には載ってないのでweb検索してみます

>>148
新課程になってです

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ゴミ

集合Aの内部をInt(A)と書くとして、
Int(A)⊂AかつInt(B)⊂Bだから、
Int(A)∩Int(B)⊂A∩B
とある本に証明なしで書いてあるけど、
2行目はいいとして3行目は自明？
敢えて厳密に証明するとしたらどうなる？

>>162
Int(A)∩Int(B) ⊂Aかつ Int(A)∩Int(B)⊂Bなので
Int(A)∩Int(B)⊂A∩B

日本人は全員ゴミ

とゴミが言う

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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>

ゴミ

http://page15.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/t478250495
16万円で落札。

いらないのを今度は出品して何割か取り戻すのかな。

洋書の有名所は大抵ネットで拾ってタダで読めるのにな

勉強の話じゃなく勉強の仕方の話で少し恐縮なのだが、幾何学ってなにやればいいの？
数学初めて二年目の初学者で、今まで「ひとまずやっとけ」的にかかれてた集合、位相、微積、線形代数をやって、個人の趣味で複素解析と抽象代数と多様体の入門部分やったんだけど、
今度は幾何学に興味がでてやろうと思ってる
だけどなにやればいいのかさっぱりわかんね

位相幾何だとか微分幾何だとか代数幾何だとか、種類ありすぎじゃね？
漠然と質問でほんと悪いんけど、「幾何学の勉強の進め方」的なものを教えて下さい

あと、「多様体を考えずにかかれている」みたいな書評がある参考書があったんだけど、だったら多様体ってなんのためにあるの？微分幾何とか位相幾何で遣うツールだと思って勉強したんだけど…

長文すまそ

「幾何」では範囲が広すぎる
「なんのためにあるの？」と聞く人には必要ないだろ
必要と分かってからの方が効率が良い

初等幾何は、いくつかの公理からなる箱庭の中で遊んでるに過ぎない
つまり発展性はない

受験数学やIMO数学も、使ってよい概念を定めた箱庭の中でいかに高度な遊びをするか競うのであって
やはり発展性がない

しかし、いわゆる高等数学は、公理で作った箱庭に高いビルを建てる作業であり
箱庭の外まで見渡せるようになる

>>172
なるほど…
M2の人も「まず何かやりたいことひとつ見つけて、それに必要なものをやってけ」みたいに同じようなこと言ってたんだけど、初学者にやりたいこと見つけろって無理じゃね
まだなんもわからないんだけど

あとやっぱり「幾何学」ってくくりじゃ普通やらんのか？
ひとまず位相幾何の本かったけど

岩波講座を本屋で1から順に適当に見て分からないやつからやればいい

岩波講座って言ってもいっぱいあるじゃん。

数学は面白いかどうかが最重要
パラ読みで面白そうなのを探せばいいし数セミでも初学者向けに毎年やってる

区分求積って複素積分デモ使える？

松坂和夫の集合位相入門を読破するのと、
杉浦光夫の解析入門Iを読破するのってどっちがムズイ？

>>178
とうぜん

以下の問題の解答をお願いします。

問題：
n 個の元から成る有限整列集合は、通常の順序による {1, 2, ..., n} と
順序同型であることを示せ。また、任意の無限整列集合は N と順序同型で
あるか、または N と順序同型な切片を含むことを示せ。

整列集合の比較定理を使えば解けるかと思いますが、大げさな気がします。

どう解くのが標準的ですか？

具体的に同型作ってみろよ

求めているのは方針ではなく解答

n 個の元から成る有限整列集合を {a_1, a_2, ..., a_n} とする。
ただし、 a_1 < a_2 < ... < a_n とする。

i -> a_i

は明らかに順序同型写像である。

こんなの解答になっていないですよね？

無限整列集合Xの元とXの有限部分集合の組(a, A)を(min(X-A∪{a}), A∪{a})に写す写像と、
組(minX, φ)に対して、再帰定理を適用して
列(a1, φ,), (a2, {a1}), (a3, {a1. a2}), …を得る
ただし、a1=minX, a2=min(X-{a1}), a3=min(X-{a1, a2}), …
以下略

有限整列集合の場合はX-A∪{a}が空集合になるのでmin(X-A∪{a})=-∞（新しく用意した記号）とでも定めて同様に証明

http://imgur.com/LHP6KQP.jpg

この比較定理を使えば、ちゃんと証明できそうです。

n 個の元から成る有限整列集合を W とする。
{1, 2, ..., n} を W' とする。

比較定理から、 1), 2), 3) のうちのちょうど一つが成り立つ。
a' ∈ W' は、 W'<a'> には含まれないから、 W'<a'> は W' の真部分集合である。
したがって、 #W'<a'> < n が成り立つ。一方、 #W = n である。よって、
W'<a'> への全単射は存在しない。ゆえに、 W と W'<a'> は順序同型ではない。
同様に、 W<a> と W' は順序同型ではない。
以上より、 2), 3) は成り立たない。消去法により、 1) が成り立つ。

訂正します：

誤： よって、W'<a'> への全単射は存在しない。
正： よって、 W から W'<a'> への全単射は存在しない。

>>186
その証明は、よく分かりません。


こんな証明が求められているような気がします：

W を任意の無限整列集合とする。
a' を N の任意の元とする。N<a'> = {x ∈ N | x < a'} は有限集合であるから
W から N<a'> への全単射は存在しない。よって、 W と N<a'> は順序同型ではない。
比較定理から W と N が順序同型であるか、または、 W<a> と N が順序同型である。

でも、

N<a'> = {x ∈ N | x < a'}

が有限集合であることはどうやって証明するのか？

とか考えてしまいます。そもそも有限集合の定義が分かりません。

で、そういうことをきちんと証明しようと思うともっと基礎的な理論を
知らなければならないのではないかと思ってしまいます。

整列可能定理と同値な比較可能定理を使うのは違和感を感じないんだな

整列可能定理と比較可能定理は同値じゃないからな

>>186 が分からんようじゃ無駄

>>193
どの舞台で？

>>195
あ、この、がついていたか。失礼。

lim［x→0](x-sinx^-1)/x^3
これの途中計算お願いします、答えは-1/6です

W が R の整列部分集合ならば、 W はたかだか可算であることを証明せよ。

この問題の正式な解答をお願いします。

ここの7番
http://math.stackexchange.com/questions/44559/formal-proof-for-a-subset-of-the-real-numbers-well-ordered-with-the-normal-orde

>>199

全く同じ質問をしている人がいたんですね。
ありがとうございます。


http://imgur.com/9eaFYNH.jpg
↑の画像の補題1について質問があります。

「λ, λ' を Λ の異なる2元とすれば、 (W_λ, ≦_λ), (W_λ', ≦_λ') の
いずれか一方は他方の切片になっているとする。」

と書いてあります。

集合 A が順序集合で、各 W_λ が A の部分順序集合になっているというのなら
疑問はないのですが、集合 A は単なる集合にすぎません。

(W_λ, ≦_λ), (W_λ', ≦_λ') のいずれか一方は他方の部分順序集合になっている
という解釈でいいのでしょうか？

それとも以下のような状況も許すのでしょうか？

W_λ = {a, b, c}, a <_λ b, b <_λ c
W_λ' = {a, b}, b <_λ' a

とすれば、 W_λ' は W_λ の単なる部分集合であって、部分順序集合ではありませんが、
W_λ' は W_λ の切片になっています。

>>199
なるほどねー
整列集合の要素の間に必ず有理数があるってわけだ

>>200
「(W_λ, ≦_λ), (W_λ', ≦_λ') のいずれか一方は他方の部分順序集合になっている」
の方の解釈じゃないと，最終的にW=∪W_λに順序入れるときにwell-definedにならんからそっちだと思う

>>200
なっていない。

切片の定義を読め

>>197
分子と分母を3回微分して0に飛ばす

>>205
なぜ3回も微分するのですか

ロピタルの定理を使うからだろうな

新聞購読を止めて、月3000〜4000円、年間36000〜48000円の節約

その上消費税増税の世論工作の影響力が減って一石二鳥

これはもう新聞購読を止めるしかない

>>205-207
その前に、sinx^-1 って何だよ、いったい。

sin(1/x) or 1/sin(x)

ではないでしょうか？

書き方も知らん奴は無視しとけ

どう見てもarcsin(x)

三角関数を以下のようにn乗してゆくとガウス分布になるっぽいけど、

f(θ)=((1+cosθ)/2)^n

これ、なんて定理？

↑
±π/2 の区間で。書き忘れました。
たぶん、マクローリン展開して解けば証明できるんだと思うけど、
知ってる人いたらおせーて。

すいません、>>197はarcsinxです

>>213
関数の極限が分布になるというのが意味不明だし
±π/2 の区間でガウス分布というのも意味不明
そもそも((1+cosθ)/2)^nの各点収束先はcosθが1となる点を除いて0だし

だれも極限が分布になるとは言っていないし。
実際にグラフ書いてみそ。

言葉はなるべく正確に
文脈から補完するにも限界がある

似てるって話なら、「似てる」を定義しないとな。

>>213
((1+cos(θ/n))/2)^nかな？

>>215
y=arcsin x と置いて、
分子分母を y でテーラー展開。

>>218 >>219 ごもっとも様です。　>>216 すまそ。
>>220 以下の式で。

f(θ):=((1+cos θ)/2)^n
h(θ):=(1/sqrt(2π)σ) exp(-θ^2/2σ^2)
g(θ):= h(θ) /h(0)

たとえば
σ=0.044718776
n=1000
のとき、

f(θ)-g(θ) は-π/2<θ<π/2 のどこでも
数値計算によると高々 1.45784E-05 しかずれがないみたい。

ガウス分布の半値幅がσで変えられるように、
nの値を買えると半値幅が変えられる。
たとえば σ=0.044718776 は n=1000 に相当する。
g()をh(0)で割って定義しているのはピーク高さを1に規格化するため。

>>216
反省しています。許してください。

>>225
すごい！確かにそのとおりだ・・・。
まさかこんなに早く解かれるとは感服いたしました。

数値解でθの小さいところと大きいところの一致が良い理由もわかりました。
ありがとうございます。

>>221
有難うございます、もしできてなかったらもう一度聞きにきます

微分方程式
d2θ/dt2=（g/R）θ
の一般解を教えて下さい

回答済みマルチ

f:X→Y、g:Y→X　のとき、
f°g=1(恒等写像)、g°f=1ならば、
f,gはともに全単射かつ、f=g^-1,g=f^-1が成立する事の証明が手が進まずに困りました…
すみませんが、どうかご教授願います

ちなみにこれとは別に、,f°g=1のとき、fが全射、gが単射になる事の証明は書けたので、それを使って前半部分のfとgが全単射になるところまでは示せました

なんか不安なので、f°g=1のとき、fが全射、gが単射であることの証明を書きます
f,gの写す物と写した先は同じです
不明瞭なところや、間違っているところがあればご指摘頂けると嬉しいです

(証)まずfが全射であることを示す。

∀y∈Yに対して、
f°g=1より、f(g(y))=yとなる。
ここで、x=g(y)とおくと、y=f(x)であり、g:Y→Xなので、x∈Xとなり、fは全射である。

次にgが単射であることを示す。

y_1,y_2∈Yとし、y_1≠y_2とする。
f°g=1より、
f(g(y_1))=y_1,f(g(y_2))=y_2
ここで、g(y_1)=g(y_2)と仮定すると、
y_1=f(g(y_1))
=f(g(y_2))=y_2
となり、y_1≠y_2に矛盾する。
よって背理法より、g(y_1)≠g(y_2)なので、gは単射である。

全単射はともかく、f=g^(-1)の定義がfg=1,gf=1(もしくはfが全単射でfとgが互いに逆写像)じゃないん？
後半が意味不明なんだが

数学の表記に関する質問です。

「max f(x) s.t. x∈A」は(定義域内で最大値があるときには)値ですか。
例えば、1=max x^2 s.t.x∈[0,1]
などとかくことはできますか。

意味が伝わればどう書くかは自由だけど
まあ普通その場合はmax{f(x)|x ∈A}とかmax_{x ∈A}f(x)と書くと思う

>>235
max_{x∈A}f(x)は値として扱われているのですね。
今簡単にx∈Aとしましたけど、xの制約条件が非常に長い場合maxの下に書いたりできないと思いますが、そういう時は値として扱いたいときどう書けばよいでしょうか?
例えばmax f(x) s.t.px=wx+Σθpy
といったものです。

>>235の前者じゃだめなん？

>>237
これはpc上の表記であって実際書くとなるとmaxの下に制約条件書いてませんか?この条件が長すぎると書けない時もあるのですが…

最も一般的な状況として、maxという記号は順序集合（の部分集合）に対して使われる
max{f(x)|x ∈A} という表記は正式なものだよ
むしろmaxの下に制約条件を書く方が若干崩した表記になる

>>238
普通に使うぞ
逆に論文でmaxの下に条件表記なんてみたことない

> 実際書くとなるとmaxの下に制約条件書いてませんか?
それをプレーンテキストで表したものが後者のmax_{x ∈A}f(x)でないの？

えーと
α=max {f(x)�hpx=wx+Σθpy}
などと書けば良いということでしょうか?

pとかwとかの意味がよくわからんけどそれでいいんじゃないの

いちいち他人に答を聞いてると鴨にされるぞ

皆さんありがとう
pやらwは一般均衡分析に必要な式を適当に使っただけです

(1+x)^1/3のマクローリン展開ができません。教えてください。

松坂和夫著『解析入門』全6巻がオンデマンドで復刊。

>>246
二項展開と同じ

0でない任意の加群はindecomposableな加群を部分加群としてもちますか？

xsin(1/x)がx≠0で微分可能なことを示せ


これ教えてください

f(x)=x
g(x)=1/x
h(x)=sinx

xsin(1/x)=f(x)*h(g(f(x)))

h(g(x)) じゃなくて h(g(f(x))) なのはなんか意味あるの？

回答済みマルチをさわってどうする

>>252
じゃあ逆になんでx=0で微分できないの？

何が逆なのかさっぱりわかんない

http://i.imgur.com/6WD8aTp.jpg
この不定積分の具体的な積分方法を教えてください

x＝tanθ → dx＝(1＋(tanθ)^2)dθ＝(1＋x^2)dθ
dx/(1＋x^2)^(3/2)＝dθ/(1＋x^2)^(1/2)＝dθ/(1＋(tanθ)^2)^(1/2)
＝dθ/(1＋(tanθ)^2)^(1/2)＝cosθdθ

>>256
高校生でもできそう

Δxとdxの違いってなんですか？

>>257
ありがとうございます

>>250

定義に沿った微分の右側極限と左側極限確かめるだけ

マジかよ

http://i.imgur.com/jZSqPt4.jpg
最小二乗法によって上記の画像の近似式の定数A,B,Cを求めたいのですが、どうすれば最もスマートに求められますか？

下記のサイトのように、偏微分した後に連立して解くと解けるのだと思いますが
答えを求めるのがとても時間がかかり、良い解き方ではないような気がしています
http://www.cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/knowledge/tech32.html

行列などを使ってもうちょっと簡単に最終式を導く方法があったら教えて下さい

もしくは、このような対数関数の定数の求め方を載せている参考文献があれば教えて下さい

2変数関数の微分可能性について質問です。

http://imgur.com/tIxNPA8.jpg
↑この画像で言いたいことは、点 (0, 0) で f(x, y) は、 x および、 y について偏微分可能だが、
連続ではないということだと推測します。1変数の場合には、（偏）微分可能であれば、連続であった
のとは対照的であることを言いたいのだと思います。

ところが、 f(x, y) は 点 (0, 0) で連続であるように思います。

結局、どういうことなんでしょうか？

単なる著者の例が不適切だったということでいいのでしょうか？

それとも、僕の理解が間違っているのでしょうか・

例えば、点 (1, 1) での偏微分を考えます。

h > 0 のとき、
f(1+h, 1) - f(1, 1) = -1 - 1 = -2
(f(1+h, 1) - f(1, 1))/h = -2/h = -∞

ですので、 f(x, y) は 点 (1, 1) で x に関して偏微分できません。

ですので、直線 y = x 上で偏微分可能だが連続ではないというシナリオは適用できないように思えます。

結局、この著者は何がやりたいのかいまいちよく分かりません。

これは一体どういうことをやりたかったのでしょうか？

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>>266
(0,0)での偏微分はxにおいてもyにおいても0なのに、第一象限のグラフがy=xで「破れている」(連続でない)
つまり偏微分は注目する点での各軸に沿った変化量を規定していて軸方向の連続性は必要とするが、面全体の変化は表せないし軸に沿わない方向の連続性は必要ではない

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>>279

回答、ありがとうございます。

点 (0, 0) が第1象限に属するのか定義が分かりませんが、
f(x, y) は点 (0, 0) で連続ですよね？

>>281
当然f(0,0)でもf(Δx,0)でもf(0,Δx)でも連続
だがf(Δx,Δx)で破れる

f(0,0)は連続じゃなかったわごめん

>>282

やはり意味が分かりません。

t > 0 のとき、　点 (t, t) で f(x, y) は不連続（破れる）というのは分かります。
点 (t, t) で f(x, y) は偏微分できませんよね。

点 (t, t) で f(x, y) は偏微分可能であるにもかかわらず不連続

という話なら1変数の場合と違うね、ということになるかと思います。

ところが、点 (t, t) で f(x, y) は偏微分不能です。

結局なにが言いたいのか分かりません。

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だからf(0,0)で不連続かつ偏微分可能だろ

>>286

f(x, y) は点 (0, 0) で連続ではないでしょうか？

任意の正の ε に対し、 δ = ε とする。

x, y を √(x^2 + y^2) < δ をみたす任意の実数とする。

このとき、
|0 - 0| < ε
|-y - 0| = √(y^2) ≦ √(x^2 + y^2) < ε
|x - 0| = √(x^2) ≦ √(x^2 + y^2) < ε

したがって、 f(x, y) は点 (0, 0) で連続である。

パッと見著者の例示ミスに思えるな
しかし偏微分可能だが不連続な関数が存在する自体はただしいのでそこは安心して良い

螺旋状のとこ(原点は省いている)で1をとってそれ以外で0をとるような関数f(x,y)を考えると
原点であらゆる方向に関して方向微分可能だが不連続

>>287
それ軸方向の連続性しか示せてないじゃん
2変数関数の連続性は極座標変換してr→aにしないとダメだぞ

俺には軸方向には見えないなぁ

2変数関数の連続性を調べるのに極座標変換する人なんておらん

>>250
教えてください

まじかー東大数学科教授って人じゃなかったんだー

>>250
教えてください

教授が頭良くても生徒がこれじゃなー

教育をおろそかにした結果だお

証明が事実上|f(x,y)|≦√(x^2+y^2)=rを述べていことに気づかないのはやべえ

原点中心の半径εの円を考えると
その円内で|f(x,y)|の値はεより小さいので
fは原点で連続になるお

>>287はそういうことだからあってるお

たとえばx=y,x>0,y>0でf(x,y)=1
それ以外でf(x,y)=0とすると原点で偏微分可能で原点で不連続になるんじゃないかお

>>295
区間I上で微分可能な関数同士の積は区間I上で微分可能だからsin(1/x)がx≠0で微分可能であることを示せばいい

>>286
不連続であることを連続性の定義から教えてください

定義は教科書読め

定義からってのは、定義を教えてくださいって意味じゃなく
定義を満たしてるかどうかわかるように、定義から成り立つことを証明するように、って意味です

>>286さんはもう来ないのですか？

(そもそもsin(1/x)はx=0で定義されてない)

みなさん、ありがとうございました。

この本は、誤り訂正を何度か繰り返されている本なんですが、こんな
基本的な誤りが見過ごされているとは驚きです。

>>303
定義読む気ねーだろ

「領域 D において、 m 回偏微分可能かつ m 階までの偏導関数すべてが連続であるとき、
m 回連続微分可能あるいは C^m 級函数であるという。」

という定義が教科書に書かれています。

m = 1 のときを考えると以下が成り立つます。

「f が C^1 級函数 ⇔ f が領域 D において、 1回偏微分可能かつ1階の偏導関数が連続である」


「f が1回偏微分可能かつ1階の偏導関数が連続である ⇒ f は連続」が成り立つからです。

この事実からの類推として、

「C^m 級函数 ⇔ m 回偏微分可能かつ m 階の偏導関数が連続である」

は成り立つのでしょうか？

C^m 級函数の定義を読んでいると何か無駄があるような気がします。
「m 階までの偏導関数すべてが連続」というのが無駄に感じる部分です。

http://imgur.com/KEYrXgc.jpg
http://imgur.com/TPPnhVb.jpg

定理8をなぜ証明しているでしょうか？

「C^m 級 ⇒ C^(m-1) 級」ということは定義から自明であるように思います。

別スレにも書き込ませてもらったのですが、此方のほうが適したスレかと思いましたので失礼します。

密度が一様な場合、立体の部分Eの重心G（x.y.z）
を求めよ。
E x^2+y^2<=z<=1-x-y
（ヒント xy平面への正射影はx^2+y^2＝1-x-yである。）

と言うものです。普通に直交座標系でこの問題に取り組むととてつもない計算を強いられるように感じました。
恐らく、何らかの座標変換を行うのだと思うのですが、上手く出来ません。
その点について回答くださるとありがたいです。よろしくおねがいします。

マルチすんなや
こっちで聞くなら向こうは取り下げてこい

>>284誰かわかりませんか

>>311
申し訳ありません。
ただいま取り下げてきました。

>>310
の問題を再度質問させてもらいます。よろしくお願いします。

x + 1/2 = r*cosθ
y + 1/2 = r*sinθ
dxdydz=rdrdθdz
とでもするんじゃないの？
あまり楽になりそうもないが

>>314
ありがとうございます。
積分範囲はどんな感じになりますかね。
図が書けないもので…
0＜＝ｒ＜＝（3/2）^(1/2)　0＜＝θ＜＝2π
とかですかね。

>>308
m回"までの"導関数が連続と書いちゃうと自明だね
きっと、m回"の"導関数が連続としたかったのだと思う

>>312
>>288が答えてるやないか。
素人が書いた本に間違いがあるのはしかたがない。

>>310
放物面と斜めの平面くらい分かるだろ
だから斜めの座標にすれば簡単

>>318
回答ありがとうございます。
詳しい回答…といいますか、さらに詳細に教えてはもらえませんか。
よろしくお願いします。

僕は、 >>312 さんとは別人間ですが、

>>266
>>309

の本の著者は素人ではないと思います。
少なくとも本人は数学者だと思っているはずです。

また、それなりに売れている本で、改訂版まで出ています。

>>308-309
の回答をどなたかお願いいたします。

>>317

著者は大阪大学教授です。

>>316
ありがとうございます。

この本は間違い訂正を何度もしているはずなんですが、こんな
ミスがまだ残っているとは驚きです。

正誤表にも載っていません。

＞この本は間違い訂正を何度もしているはずなんですが、こんな
＞ミスがまだ残っているとは驚きです。
これ、君の決め台詞なの？

大事なことだから２回言ったんだろ
ホントこれひどいね
ローカルな修正で済まず前後の文脈にも影響するから面倒になって放置したのか

本の名前教えてちょ >>266

ただの反例が前後の文脈に影響？

>>324

三町勝久 著 『微分積分講義』です。

2010年の第2刷出版時に「間違いを指摘していただきました」とまえがきに書かれています。
6人の人の名前が挙がっています。

正誤表も公開されています：
https://www.nippyo.co.jp/shop/img/sg/errata78471-1_1-2-3-4and5.pdf

皆さん、仰山買うてあげて下さいまし。エエ本やと思うし。見てないけど。

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>>327
おまえのあの連投はなんなの？

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大学学部レベルなんて数学じゃないでしょ、前数学とか算数のことだよ

>>319
別スレに書いた変数変換をやってみろよ

>>321 >>326
本一冊のことは置いとくとして、この教授が
普段どんな講義をして、どんな試験をしていたかは、
実際に経験した人から聞いてみたい気がするな。
よくある書き間違えじゃないからな、これは。

数学書によくある書き間違えなんてものがあるのか？
既に指摘されている通り、その他での値を1に修正するだけの話なのに

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大学学部なんて数学じゃないでしょ、前数学とか算数のレベルだよ

それが慰めになるのか

論理結合子として ⊃ と ∧ のみを含むような論理式は
すべて充足可能であることを示せ。

教科書に似た問題を解いている例題がなく、かつ
この問題に対する解答も載っていません。

これはどうやって証明するものなのでしょうか？

自分のアイディアは、すべての命題変数に t を
割り当てるような付値を v とすれば ⊃ と ∧ のみを
含むような論理式 C に対し、 v(C) = t となるから
C は充足可能である、というものです。

そこで、証明ですが、数学的帰納法を使って以下のように
すればいいような気がします。

すべての命題変数に t を割り当てるような付値を v と
すれば ⊃ と ∧ のみを含むような論理式 C に対し、
v(C) = t となることを数学的帰納法により証明する。

【証明】
⊃ と ∧ のみを含むような論理式に含まれる論理結合子
の数 n に関する数学的帰納法で証明する。

n = 0 のときは、 ⊃ と ∧ のみを含むような論理式は

p

しかない。

v(p) = t のとき、
v(p) = t が成り立つ。

n を1以上の整数とし、 n 未満の整数 k に対しては、
主張が成り立つと仮定する。

C を ⊃ と ∧ のみを含むような論理式とし、含まれる論理結合子の数が
n であると仮定する。

明らかに、

C = A ⊃ B

または

C = A ∧ B

と書ける。

A に含まれる論理結合子の数は明らかに n 未満であるから、
すべての命題変数に t を割り当てるような付値を v と
すれば、仮定により v(A) = t である。

B に含まれる論理結合子の数も明らかに n 未満であるから、
すべての命題変数に t を割り当てるような付値を v と
すれば、仮定により v(B) = t である。

v(B) = t であるから、 v(A ⊃ B) = t である。

v(A) = v(B) = t であるから、 v(A ∧ B) = t である。

したがって、 v(C) = t である。
【証明終わり】 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

何かあまりにも自明なことを長々と証明しているという感じです。

本当にこんな証明でいいのでしょうか？

著者の問題作成のセンスがないということでしょうか？

ちなみに、この問題が載っている教科書は、わりと評判がいいように思われる

小野寛晰 著『情報科学における論理』です。

>>340

z'＝x+y+zというもののことでしょうか？
少し意味がわからず苦しんでおります。
解説お願いできますか？

日本人が書いた本は全部ゴミ

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大学学部なんて数学じゃなくて前数学（Pre-college Math）だろ

>>310の問題を書き込んだものです。
分からないわからないと申し訳ありません。
とりあえず体積を勘のようなもので解いてみました。
可能であれば添削お願いできます…
http://imgur.com/cfs1Qih.jpg

>>266の話だが、
それこそ文脈を考えれば、その章の頭で挙げる例としては
f(x,y)=
　3y^2/x^2 - 2y^3/x^3　（x＞y＞0）
　3x^2/y^2 - 2x^3/y^3　（y≧x＞0）
　0　（その他）
みたいなのにして、至る所で偏微分可能だが原点で不連続と言えばよかったのに、
何を勘違いしたかx=y（x＞0）以外で全て連続だがx=yで破れてる例などという
方向性の違う例を持ち出しておかしなことになっているわけで。
どう考えてもこの例はわざわざx軸やy軸上では連続になるように作ったとしか思えないので
それを「その他」での値を1にすればいいじゃんってのはイミフの上塗りでしょ。
（そんな例でいいなら、「軸上では0、それ以外は1」で十分だし）

>>372
すみません。しょうもない計算ミスをしました。
この計算では9/8πになりますね。
すみません。

>>359
代入して全部をx,y,z'で表わしてみろ

>>375
何に何を代入すればいいでしょうか…
すみません。バカでなおかつ察しも悪いようです…
自分なりに体積だけ導いてみました。
宜しければ目を通していただいてコメントもらえますか？
http://imgur.com/SUVVgGA.jpg

>>373

三町勝久さんのその本は別にその箇所だけでなく、他の箇所も
いい加減な箇所満載です。

接平面について定義しか書いていなくて幾何学的な説明が全く
なかったりしますし。

あと、関数のことを「正しくは、関数ではなく函数と書くものである。」
などと変なこだわりをもっていたりします。

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>>377
情報の教師なので、数学的部分はなんとなく伝わればいい、くらいの感覚なんじゃね。

f(x)=x^2sinx-x(sinx)^2を漸近展開し、x=0で極値を取るか答えよ

この問題について、展開の結果、f(x)=x^5/6+o(x^5)
となり、lim(x→0)f(x)はプラスになるので、極小値を取ると思ったのですが、答えは極値ではないそうです。
勘違いの部分をご指摘ください。

>>376
答は合ってるが最初が間違い
V＝∫_E dxdydz, E：x^2＋y^2≦z≦1−x−y
V＝∫_D (1−x−y−x^2−y^2)dxdy, D：x^2＋y^2≦1−x−y
V＝∫_D (3/2−(x＋1/2)^2−(y＋1/2)^2)dxdy, D：(x＋1/2)^2＋(y＋1/2)^2≦3/2
V＝∫_D (3/2−r^2)rdrdθ, D：0≦r≦√(3/2), 0≦θ≦2π
V＝2π∫_[0~√(3/2)] (3/2−r^2)rdr＝9π/8

百発百中の大砲一門は百発一中の大砲何門に値するか

分かる方いらっしゃいましたらお願いします