以下の【命題1】の証明を教えてください。


【定義1】
<A, ≦> を順序集合とする。 A の空でない部分集合を D とする。
D の任意の2要素 a, b に対し、a ≦ c かつ b ≦ c となる D の
要素 c が存在するとき、 D は有向であるという。


【定義2】
<A, ≦> を順序集合とする。
<A, ≦> が最小元をもち、 A の任意の有向部分集合 D に対し、
D の上限 ∪D が存在するとき、 <A, ≦> は完全順序集合であるという。


【命題1】
<A, ≦_A>、<B, ≦_B> を完全順序集合とする。

このとき、直積順序集合 <A×B, ≦> も完全順序集合に
なることを証明せよ。ただし、直積順序集合 <A×B, ≦>
の順序の定義は以下である：

a ≦_A a' かつ b ≦_B b' であるとき、かつそのときに限り、

(a, b) ≦ (a', b')

と定義する。