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↑の問題の解答で分からないところがあります。
3枚目の画像の赤で囲ったところです。

例えば、

t = 2
a = -2

のときを考えます。

すると、赤で囲った部分の式で g(t) を計算すると、

g(t) = (-(3*a+2) + √((3*a+2)^2+3*t*(t+(3*a+2))))/(3*t) = (4+2)/6 = 1

となってしまい、 0 < g(t) < 1 を満たしません。

一方、捨てられたほうの式を使って g(t) を計算すると、

g(t) = (-(3*a+2) - √((3*a+2)^2+3*t*(t+(3*a+2))))/(3*t) = (4-2)/6 = 1/3

となって、 0 < g(t) < 1 を満たします。

a の値は変えずに t = 100 として同じ計算をすると、

赤で囲った部分の式で g(t) を計算した場合：

g(t) = 0.579…

捨てられたほうの式を使って g(t) を計算した場合：

g(t) = -0.5525…

となります。今度は赤で囲った部分の式が正しかったことになりあｍす。

平均値の定理から 0 < g(t) < 1 となるような関数 g(t) が存在するのは分かります。

ただ、

g(t) = (-(3*a+2) + √((3*a+2)^2+3*t*(t+(3*a+2))))/(3*t)

なのか

g(t) = (-(3*a+2) - √((3*a+2)^2+3*t*(t+(3*a+2))))/(3*t)

は一般に決められないのではないでしょうか？

推測ですが、 t が 0 に近いときには、 g(t) の式が上のどちらかに決まるように思われます。

このあたり、どのように考えたらいいでしょうか？