自分で疑問に思い全く分からない問題があったので、誰か一緒に考えてください

なお私、高校数学にはかなり自信がありましたが、数学科ではないので専門用語は分かりません


f(1),f(2),…,f(n)をそれぞれ1からnまでのn個の自然数のなかから無作為にひとつ選び定める

＊＊＊このときf(1)=f(2)となるような場合もあることに注意する。＊＊＊

g(1),g(2),…,g(n)もそれぞれ1からnまでのn個の自然数のなかから無作為にひとつ選び定める

このとき、f(a)=bかつg(b)=aとなる1からnまでの自然数の組(a,b)が存在しない確率の極限(n→∞)を求めてください


(全く同じ確率は、
誰からしても魅力の等しい男女n(n→∞)人ずつで合コンをして、一斉にそれぞれの人が異性一人だけを選び指をさすときに両思いの組(お互いに指をさしあう組)が一組も存在しない確率)


完全順列でないことは言うまでもありませんが、この確率は1/eではないと強く考えています。(1-1/n)^nとする考え方はn=2のときすでに破綻しています。というのもn=2のときは全16通り考えて1/8となりました
私がパソコンを使いn=10000で216回行ったところ114/216となりました。ここから、この確率は0や1ではなく、1/eでもない値に収束することが予測されます