前スレでも質問したのですが、回答を得られなかったのでもう一度だけ質問させてください

補題8.3の証明で「閉長方形〜できる（図14）.」のところが何故なのかわかりません…
どなたか教えていただけないでしょうか？
とくに一様連続の使い方が分かりません
http://i.imgur.com/7wxl5Tu.jpg
http://i.imgur.com/XuvaAr3.jpg
http://i.imgur.com/oCiRFwa.jpg
http://i.imgur.com/8ALq5TO.jpg