Ｃ(n,1) = C(n,n-1) = n,
∴ gcd はnの約数。
∴ nの素因数pを見よう。

・nがpベキのとき
pの指数を見ると
　e(k) = e(n-k) ≦ e(n) -1,
　e{Ｃ(n,k)} = e{n!/[k!(n-k)!]} = e(n) - e(k) ≧ 1,
　e(gcd) = 1,
　gcd = p,

・nが素因数を2つ以上もつとき
n = p^e･r　　(r>1, rとpは素)
k = p^e
とする。(k < n)
下記の補題2より
　Ｃ(n, k) ≡ r ≠ 0　(mod p)
∴　e(C(n,k)) = 0　なるkがある。
∴　e(gcd) = 0, ････ nのすべての素因数pについて
∴　gcd = 1,

〔補題2〕(Wielandt)
pが素数、e≧0 ならば
　Ｃ(p^e･r, p^e) ≡ r　(mod p)

彌永昌吉・彌永健一「代数学」岩波全書285 (1976) p.141