さて、twitter 上では Σ_n ||Φ_n||＜＋∞ という解釈を採用しているように見える。
この場合、各点xごとに Σ_n Φ_n(x) が存在するので、g(x)＝Σ_n Φ_n(x) と定義すれば、
実は ||Σ_{n=1}^M Φ_n−g|| → 0 (M→∞) が成り立つ。実際、

||Σ_{n=1}^M Φ_n−g|| ≦ Σ_{n=M+1}^∞ ||Φ_n|| → 0 (M→∞)

となるので。よって、Σ_n ||Φ_n||＜＋∞ という意味において Σ_n Φ_n が絶対収束するならば、
Σ_{n=1}^M Φ_n は自動的に(ある関数に)一様収束する。従って、

「一様絶対収束はsupノルムの意味での絶対収束のこと」

というコメントは、好意的に読めば普通に正しいコメントであると分かる。