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↑は、野村隆昭著『微分積分学講義』のテイラーの定理です。

証明で、 n+1 回微分可能であることは使っていますが、 n+1 階の導関数が
連続であることは使っていません。

なぜ、 C^(n+1) 級であることが仮定されているのでしょうか?