大学学部レベル質問スレ 4単位目 [無断転載禁止]©2ch.net

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

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関連スレ
微積と線形代数のスレ2 [転載禁止]©2ch.net
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http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1318252223/
分からない問題はここに書いてね417 [無断転載禁止]©2ch.net
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※前スレ
大学学部レベル質問スレ 3単位目
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1470285331/

>>152

ありがとうございます。
そうですか。

http://imgur.com/mGB5tVB.jpg

↑は、斎藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』です。

「x = 0 として a0 = b0」などと書かれていますが、これはまずいのではないでしょうか？

「x → 0 として」が正しいのではないでしょうか？

どこがまずいのでしょう？

http://imgur.com/t4chor2.jpg
http://imgur.com/c6ESrN1.jpg

↑は、野村隆昭著『微分積分学講義』です。

2枚目の画像を見てください。

証明の(2)に、「f’(0) = 0。よって(1)より a1 = 0。」と書かれています。

なぜ、(1)を使っているのか意味不明です。 f’(0) = 0 から直ちにテイラー多項式における
x^1 の係数が 0 であることが分かります。

>>154

は、

0 = Σ_{k=0}^{n} (a_k - b_k) * x^k

が成り立つから、この式の x に 0 を代入して a_0 = b_0 である
と結論しています。

これはまずいのではないでしょうか？

Σ_{k=0}^{n} (a_k - b_k) * x^k = o(x^n) ということしか分かっていないはずです。

ID:DDLXdD8Oは、誤植やミスのない本を一冊書いてから出直してくるといいと思うよ

一人芝居乙

>>144
いや
根という言葉は便利だし必要だよ

>>154
x→0の方がいろいろとヤバい

x=0でいいんだよ
不定元って知ってるだろ？

ギルバート・ストラング著『世界標準MIT教科書ストラング：線形代数イントロダクション』

を今読んでいるのですが、この本のどこがいいのか分かりません。

行列とベクトルの積の定義を、行列の列ベクトルの線型結合で定義したり、
行列の行ベクトルとベクトルの内積を使って定義したりしています。

同じところを延々とぐるぐると回っているような本です。

あら探しで人生無駄にするより、やめればいいじゃん

どこがいいのか分からない本をなんで読んでいるの？
課題図書なの？
本を見る目が無いの？

ギルバート・ストラングよりねちっこい数学の本はないのではないでしょうか？

丁寧に説明しているつもりでしょうが、かえって分かりにくくなっています。

>>162

翻訳本のタイトルに世界標準などとありますが、こんなものが標準であるはずがありません。

売るためには手段を選ばない出版社ですね。

＞行列とベクトルの積の定義を、行列の列ベクトルの線型結合で定義したり、
＞行列の行ベクトルとベクトルの内積を使って定義したりしています。
もしかしてこれは不満な点を挙げているのか？
ちっとも共感できない

>>167

↓が何回も何回も出てくるんです。

A*x は A の列ベクトルの線型結合である。
A*x の要素は A の行との内積である。

本当にしつこいです。

その件については、何度書いても
書き過ぎということはない。(定型文)

>>161
いやx=0よりはx→0が正しいと思うが
このスレで指摘をひたすら貼ることの問題はあれど>>154の指摘は正確だよ

>>162
まあ作者がわかりやすいと思う方法で書いてるんだろうし、それが合う人もいるんだろうし、何が合うかは人それぞれではないのかな
自分が合わないなら読まなければいいだけ

個人的には関数解析かっちりやった後だからかわからんが、その本の定義の方がわかりやすそうに思える

勉強が行き詰まって他人を貶すしか救いがないんだろ

>>165
あなたの方がねちっこいと思う

微分積分の本について、無限大・無限小やランダウの記号ついて、載っている本と載っていない本があります。

これらは重要でしょうか？重要じゃないでしょうか？

そう聞く人には重要じゃない

重要ではないが、便利。
ただし、使いこなすには
正式な道具よりも
センスが必要になる。

いろんな関数を同じ記号で表現するからな

>>175-177

ありがとうございます。
重要ではないんですね。

重要だったらすべての微分積分の教科書に書かれているはずですね。

数値計算など応用には役立つかもしれませんね。

ただ、ランダウの記号というのはいらないかもしれませんね。

うん、君はやらなくていいと思う
やりだすとまた難癖をつけだすからな
特にランダウ記号なんて普通の奴でもすぐ難癖をつけるわけだし

数学の本よりも
物理の本に
載っていないかな。
数値計算でなく
数式計算に
役立つんだけど。

確かに、ランダウの記号は便利というだけで、そんなもの全く知らなかったとしても、
同じ問題に対して、同じ答えが得られますよね。

ランダウは函数方程式系では使うとこはバンバン使うぞ
知らなくても同じように計算できるのは間違いないが、
それは整数問題でmodを使わなくても本質的には同じ計算ができる、と言ってるのと同じ

>>178
微積レベルでは使わなくてもそんなに困らないかもね
だから書いてない本もある
ただ、重要でないのは微積レベルにおいてであって、偏微分方程式論とかやる人はちゃんとやっとかんとまずい

勉強するわけがないから大丈夫

同次線形微分方程式の解空間のdimてどうやったらわかるの

微分の階数

ある関数がテイラー展開可能かどうかは、関数毎に、剰余項を調べるしかないんですか？

大抵の微分積分の教科書に tan(x) のテイラー展開について書かれていないのは
なぜでしょうか？

無視するのは、不自然ではないでしょうか？

そもそも、テイラー展開は、理論的に重要なんでしょうか？

微分積分学で理論的に重要なものを挙げてください：

微分積分学というものの内容があまり大したことがないと思えてきたのですが、
微分積分学を勉強し終えた後に、その続きとして、何を勉強すればいいのでしょうか？

もっと強力な理論はないのでしょうか？

微分積分学は、本の目次を見れば明らかなように、あまり内容豊富ではないですよね？

ギルバート・ストラングの本に、線形代数のほうが重要で役に立つみたいなことが書かれていましたが、
本当ですか？

線形代数のほうが微分積分学よりももっと内容が少ないように思います。

解析学，というのが本来の名称だね
たぶん解析学と名前のついた教科書を見たほうがいいんじゃないか？

複素関数のほとんどは級数で定義されるし、その級数は実関数のテイラー展開による(実関数のテイラー展開をそのまま複素に拡張する)からテイラー展開は重要だな

微積より線形代数の方が役に立つ、といのはある意味正しい
その後の学習において微積の知識そのものを使うことはあまりない(と言うと語弊があるかも)のに対して、線形代数は殆どの分野でその知識を使われる
そもそも微積にも線形代数は使われるが線形代数に微積は要らん

範囲に関してもその通り、実関数の微積は実数の連続性に大きく依存している(から他の空間にそのまま拡張するのは困難)ため話として「微分積分学」にまとめられる
つまり1つの理論を(特殊なケースに帰着させず)まるまる学習している
これに対して線形代数は体上の加群の理論であり、そこでは全ての加群が自由加群となっている
また入門書では係数体はRもしくはCとされているが別にRやCに特有な性質を用いておらず、この係数体を一般の(正標数とか)体、さらには環に拡張することで簡単に一般化できて且つ体は極めて特殊な環と言えるため、線形代数は「環上の加群の極めて特殊なケース」である

強力な武器？複素関数は一回微分可能でありされすれば無限回微分可能という意味では強力だし、留数を求めることで積分できることも強力だ
積分ならルベーグ積分なんてのもある、こっちは様々な極限操作と積分の順序交換がリーマンより楽という意味で強力、また積分可能な関数の種類も増える、可積分関数のなす空間が完備になる、等々

p,q, nを3次元ベクトルとして、ベクトル積 p×q = nが成り立つとき
A, Bを三三行列として、(Ap)×(Aq) や (Ap)×(Bq) を表す公式はないんでしょうか。

>>194-195

ありがとうございます。

>>194
解析学という名前の本も微分積分学という名前の本も内容は大差ないように思います。

>>195
詳しくありがとうございます。

代数学や解析学は大体何をやる分野なのか分かるのですが、
幾何学が何をやる分野なのかが分かりません。

重要性うんぬん言うんだったらそもそも数学の専門課程でやるような数学なんて
数学者の自己満足であって重要じゃないし実生活の役には立たないよ

実学以外の学問の全否定きました

>>197
微積の次は関数解析か複素解析か積分論かどれか読んでみるといい
どれも合わなければ解析以外の分野があってる
さらにその先は(偏)微分方程式論か作用素論系統等

>>197
わからなくて結構

そこに何があるのかを
教わらないと見抜けないようでは
才能がないと思って諦めよ

何があるかではなく
何を見出すかが重要なのだ

>>196
ベクトル三重積 [p,q,r]=(p×q)・r=[p,q,r]=det(p,q,r) を使って
((Ap)×(Aq))・(Ar)=det(Ap,Aq,Ar)=det(A(p,q,r))=det(A)det(p,q,r)=det(A)(p×q)・r
とか作れるぞ

ギルバート・ストラング著『世界標準MIT教科書ストラング：線形代数イントロダクション』

は支離滅裂な本ですね。

こんなに読むのが苦痛な本も珍しいでしょう。

ストラングの講義もそうですが、とにかく独りよがりの説明をしているだけです。

なぜこの人の講義の評判が良いのか理解に苦しみます。

訳書だからだろ

「標準」の「教科書」なんだろ。そんなもんだろ。
「標準」も「世界標準」となれば、馬鹿の最上級だ。

佐武一郎でも読めば。

裳華房の方ね
共立じゃないよ

弁当なら裳華房だが。

悪口書けば慰められるんだろ

>>207

その本は半世紀以上も前に書かれた本ですが、古くないんですか？

塩漬けは保存がきく。

群環体などの代数学の初歩（ガロア理論まで）と微分積分（多変数まで）は
一般的に言ってどちらのほうが難しいのでしょうか？

代数学の初歩のほうがやさしいように感じるのですが。

しらねえよ

>>213

> 代数学の初歩のほうがやさしいように感じるのですが。
ならそれでいんじゃね。
難しいかどうかなんてどうでもいいことだから。

http://imgur.com/hTuA9zB.jpg

↑はギルバート・ストラング著『世界標準MIT教科書ストラング：線形代数イントロダクション』です。

この図に、深い意味はあるのでしょうか？

4つの長方形が描かれていますが、これは単に原点を通る平面（左の二つの長方形は R^n の部分空間、右の二つの長方形は R^m の部分空間）を
象徴的に表しているだけと考えてＯＫでしょうか？

もし深い意味がないのだとしたら、得意げにこんな変な絵を載せないでほしいです。

ポンチ絵を否定はしないが、確かに微妙な絵だな
中途半端に気合い入れて「1点（原点）共有の平行四辺形x2の絵」を描くよりも
「（原点で）交差する2直線の絵」の方がシンプルでわかりやすい

本を勝手にスキャンして次から次へとネットに上げていいの？
法的に問題ないの？

著作権法上の公衆送信権の侵害に当たるのでは。

日本語の線形代数の本では、なぜ特異値分解（SVD）が扱われていないのでしょうか？

佐武一郎の本を見てみましたが、扱われていませんでした。
齋藤正彦の本も見てみましたが、扱われていませんでした。

>>217

やはり深い意味はないんですね。

Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition
by Gilbert Strang
Link: https://amzn.com/0980232716

アマゾンのレビューを見てみましたが、星1つの評価も多いですね。
ある事実の証明を書くのか書かないのかをはっきり宣言していほしいです。

非常に読みにくい本です。

貶す物があって良かったね

>>218
ページ数で制限があるんじゃねーの？

高木貞治の解析概論は日本語が控えめにいって上手じゃないと思うんだ。
あの文章、日本語としてはこなれてないし、何が言いたいか不明の悪文だと
おもうんだ。解析概論の読みにくさはそういうところにあるとおもう

あの高木貞治の独特の文章は当時としても、個性的なものだったのでしょうか？

あの灰汁のある文章が好きだという人もいそうですね。

『近世数学史談』の文章は、安っぽくて嫌いです。

数学者らしからぬ饒舌さですよね。

>>216

左の二つの長方形は R^n の直交する部分空間、右の二つの長方形は R^m の直交する部分空間

ですね。

直交する必要はあるのでしょうか？
そもそも、長方形に見えません

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7

↑のランダウの記号の説明に、

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + O(x^4) as x -> 0

などと書かれていますが、

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + O(x^3) as x -> 0

が正しいですよね。

>>229
いや，Ο(x^4) が正しいだろう

https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

↑のランダウの記号の説明に、

e^x
= 1 + x + x^2/2 + O(x^3) as x -> 0
= 1 + x + O(x^2) as x -> 0

などと書かれていますが、

e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^2) as x -> 0
= 1 + x + O(x) as x -> 0

が正しいですよね。

あ、 Big O っていうのもあるですね。

>>231
いや，ちがう
e^x を 2 次まで展開するのであれば
e^x = 1 + x + x^2/2 + Ο(x^3)

e^x を 1 次まで展開するのであれば

e^x = 1 + x + Ο(x^2)

o()とO()はちがう

日本人が書いた本は全部ゴミ

o( ) と O( ) の違いも判らずに
よく恥ずかしげもなく批判するね

この板で本を批判してる奴に共通

http://imgur.com/hTuA9zB.jpg
http://imgur.com/3nlMENh.jpg
http://imgur.com/lexFkV3.jpg

↑はギルバート・ストラング著『世界標準MIT教科書ストラング：線形代数イントロダクション』です。

ストラングは、 N(A) は、 C(A^T) の直交補空間であることを示しています。
A : (m, n) 行列
N(A) := {x ∈ R^n | A*x = 0}
C(A^T) := {x ∈ R^n | x = (A^T)*y, y ∈ R^m}

C(A^T)^⊥ = N(A)
N(A)^⊥ = C(A^T)

ところが、

R^n = N(A) + C(A^T)

であることは示していませんよね？

それにもかかわらず、

http://imgur.com/lexFkV3.jpg
には、

x = x_r + x_n と書けると書いています。

あまりにもひどすぎないでしょうか？

C(A^T)^⊥ = N(A)
N(A)^⊥ = C(A^T)

の証明もなんで一気に証明せず、ダラダラと証明しています。
しかも、記号を使わずに普通の言葉で書いてあるため読みにくい。

Gilbert Strangは高齢だと思いますが、いまだにMITの教授をしているようですね。

MITの学生もこんな教授に居座られては迷惑ですね。



http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-700-linear-algebra-fall-2013/Syllabus/

↑この講師は、教科書を、Sheldon J. Axler著『Linear Algebra Done Right』にしていますね。

↓もストラングの講義は理論と証明が全くなっていないといっているようなものですね。

Description
This course offers a rigorous treatment of linear algebra, including vector spaces,
systems of linear equations, bases, linear independence, matrices, determinants,
eigenvalues, inner products, quadratic forms, and canonical forms of matrices.
Compared with 18.06 Linear Algebra, more emphasis is placed on theory and proofs.

Gilbert Strang著『Linear Algebra and Its Applications』のほうも見てみましたが、
やはり同じ説明をしています。

http://imgur.com/nKR503h.jpg

↑は新井仁之著『線形代数』です。

図10.1の X と Y は直交していません。

ちなみに、同様の図が、
ギルバート・ストラング著『世界標準MIT教科書ストラング：線形代数イントロダクション』
に、直交しない平面の例として載っています。

>>238

N(A) : n-r 次元空間
C(A^T) ： ｒ次元空間
N(A) ∩ C(A^T) = {0}
ということは証明されています。

ベクトル空間の次元の話についてもそれ以前に書かれています。

ですので、補完すると以下のようにでもなるでしょう：

N(A) の基底を b_1, b_2, …, b_(n-r) とする。
C(A^T) の基底を a_1, a_2, …, a_r とする。

α_1*a_1 + … + α_r*a_r + β_1*b_1 + … + β_(n-r)*b_(n-r) = 0
⇒
α_1*a_1 + … + α_r*a_r = β_1*b_1 + … + β_(n-r)*b_(n-r) ∈ N(A) ∩ C(A^T) = {0}
⇒
a_i, b_j はそれぞれ一次独立だから、 α_i = β_i = 0
⇒
a_i, b_j は全体として一次独立

dim N(A) + dim C(A^T) = n だから、
a_i, b_j は R^n の基底

ですが、超初心者向けの本ですので、きちんと書くべきです。

普通の線形代数の本のほうが結局丁寧に書かれています。

↑に書いたような不親切さが本全体にちりばめられているのがストラングの本の特徴です。

はいはいよかったね

http://imgur.com/VSlbPik.jpg
http://imgur.com/jAr43AD.jpg

↑は例の京都大学名誉教授の本（代数編）です。

この証明を見てください。こんなひどい誤りは空前絶後です。
出来の悪い数学科の学生でもこんな誤りはしないはずです。

誤り（１）：
F(X) の次数がなぜか n であるということになってしまっています。
n 以下ということしか言えません。

誤り（２）：
百歩譲って、仮に F(X) の次数が n であったとしましょう。

F(X) = H(X) * G(α, k; X)

は確かに成り立ちます。

これから言えるのは、 G(α, k; X) の次数が F(X) の次数以下であるということだけです。

この式から、なぜか G(α, k; X) の次数 は F(X) の次数の約数であると結論しています。

誤り（１）のほうは、確かに無理をすれば、次数が n となるような F(X) を取れますが、
ひどいですね。

>>246
問題の（１）のほうは、問題の（２）の結果を使って証明されるはずのものです。

ちみちみ、ずっとこういうことやってるつもり
そろそろ俺の書いた本に来るかと戦々恐々だわ
てなことないか、俺の本あんまり売れてないからな

この京都大学名誉教授の本を読み終われば、そうそうひどい誤りに出くわすことは
ないかと想像します。

数学書は、杉浦光夫の『解析入門』のような本ばかりかと思っていましたが、全然
そうではないということを知りました。

こいつまだやってたのか
とりあえずこれを貼っとくわ

369 １３２人目の素数さん 2016/08/15(月) 04:48:07.69 ID:nsWW7UjZ
http://imgur.com/UFufuoc.jpg
http://imgur.com/zVRSJsQ.jpg

↑は、 sin(x), cos(x) の有理式を積分する方法について書かれたものです。

●「さらに、 0 ≦ x ≦ Pi/2 のときには cos(x) ≧ 0、 0 ≦ t ≦ 1 だから」

●「x が他の範囲にあるときには、対応する t の範囲と sin(x)、 cos(x) の符号に気をつけて計算する必要がある。」

などと書かれていますが、間違っています。

平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。

貶すしか存在意義がない奴はほっとけ