補足
そもそも関数を拡張する動機は微分やフーリエ変換できる関数の範囲を広げることなので、
微分やフーリエ変換（どちらも線型写像）を施したときに元の関数と双対の間の関係が単純なものでなければいけない
ベクトル空間は次元さえ等しければ互いに同型となるが、単に同型という情報だけでは不足であり、微分やフーリエ変換と上手く両立する同型対応が必要