P(2a-1,-2a+3,a), Q(b,2b,-b+4)とおくと
|PQ|^2
=(2a-1-b)^2+(-2a+3-2b)^2+(a+b-4)^2
=9a^2+6b^2+6ab-24a-18b+26
=9a^2+(6b-24)a+6b^2-18b+26
=9(a+(b-4)/3)^2-(b^2-8b+16)+6b^2-18b+26
=9(a+(b-4)/3)^2+5b^2-10b+10
=9(a+(b-4)/3)^2+5(b-1)^2-5+10
=9(a+(b-4)/3)^2+5(b-1)^2+5
よってPQ^2はb=1, a=-(b-4)/3=1のとき最小値5をとる
したがって|PQ|の最小値はP(1,1,1), Q(1,2,3)のときの√5

ちなみにPQ↑=[0,1,2]、
l: (3,-1,2)+s(2,-2,1), m: (0,0,4)+t(1,2,-1)であるが
[0,1,2]・[2,-2,1]=0, [0,1,2]・[1,2,-1]=0（かつ各ベクトルの絶対値が0でない）より、
PQはl,m両方に垂直