数学基礎論・数理論理学　その18 [無断転載禁止]©2ch.net

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その17
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1472553838/

このような数学の基礎に関する問題を扱う研究分野を「数学基礎論」という．
数学基礎論，特に証明論は考察の対象が通常の数学とは質的に異なる．
通常の数学が扱うのは数・函数・方程式・図形などであるが， 証明論はその
ようなものを扱う数学の理論自体の論理構造を考察の対象とする．
そのために，数学の理論を公理系と推論規則からなる形式的体系として
定式化し， 「外から」客観的に考察する，という考え方をとるわけである．
証明論はこのように対象とする数学を一段高い所から見ていることになるので
「超（メタ）数学」とも呼ばれる． その意味で，不完全性定理は超数学の
定理である．

とすると、この三つのセンス以前の段階で間違えてることになるのか…？

> 数理論理学を学ぶために最低限必要なセンスが三つある。
> シンタックスとセマンティクスが区別できること
> オブジェクトレベルとメタレベルが区別できること
> シンタックスとセマンティクスの区別と、オブジェクトレベルとメタレベルの区別が、区別できること
> このセンスがないと、数理論理学がそもそも何を対象としているかすら理解できなくなる。

どうやら最低限必要なセンスは四つあるみたいだな
筆者も想定してなかった症状かｗ

読者も気づかれることと思うが、かく短縮された言語の導入は、
われわれが超数学と称しているものに属す特殊な型の≪推論≫
を伴うことになる。そこでは、形式化された数学の文章における
語や句の本来もっているすべての意味を完全に捨象し、その
文章を特に単純な対象、すわなち、あらかじめ与えられた対象
からなる列とのみ考え、ここで列というのは、そこに指定された
順序だけが重要視されるものなのである。

数理論理学の研究対象は形式的体系と呼ばれる数学の模型である
論理式や公理系は模型として用意された文字列や文字列操作規則にすぎないのだと理解しておかなければ、
オブジェクトレベルとメタレベルを区別するどころの話ではなくなってしまう
形式的体系は飽くまでも模型
形式的体系は数学そのものを表すものではない
論理式は命題の模型として用意された文字列であり、命題そのものの表現ではないので「定義域」など持たない

￥

波動方程式の研究と波動の研究は別物だもんな

>>233
ありがと、まさかこんなに丁寧に答えて頂けると思わなんだ。
松坂先生と内田先生の集合の本は有名だよね。大学受験レベルのおさらいしたらじっくり取り組んでみるよ。

>>236
そんなものは数学には存在しない
オカルト板行けよガイジ

>>238
だから世界中でパソコンの大先生以外に誰1人として言ってない妄想は要らないから

>>245
文字列は結局のところ自然数であり、メタ定理の構文論的証明は数学的帰納法の適用にすぎないんだよ
数学の中でも最も基本的な部分
色々と合点がいったよ
ユークリッド幾何の公理系に関するあなたの主張は、形式的体系という概念の無理解によるものだとすれば、まあ分からなくもない

>>247
はい低学歴確定
大学くらい行けよ高卒

>>247
この低知能低学歴は対角線論法すら知らないのに基礎論とか口にしてるのか？
やば過ぎだろwwwwww

>>247
形式的体系wwwww
全く意味通じねーよガイジwwww

>>249
不完全性定理の証明のことを言ってるのなら、対角線論法といっても集合論は使ってないよ
集合論まで使うことにして、そこで適切な写像を構成すれば見慣れた対角線論法そのものになるので、そう呼ばれているだけ
不完全性定理のための対角線論法では集合論は必要ない

>>239
そいつそもそも数学者じゃねーから
数学専攻してないし日本数学会にも所属してない
なにより数学基礎論の研究自体を全くしてない

>>251
ひいいいいwwwwww
こいつ全単射すら理解してないのかよwwwwwwww
低学歴って怖すぎるwwwwwwwwwwww

>>251
集合論を用いない対角線論法なんて絶対に不可能なんだよ中卒wwwww

>>253
全単射は集合論における概念
不完全性定理の実際の証明は、そのような写像を構成することなく文字列の有限的操作だけで完結している

いや濃度無しで対角線論法とか不可能だからwwwwww

>>255
書けば書くほどバカがバレていくwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
可算濃度すら理解してないから恥晒しまくりwwwwwwww

>>255
ゆうげんてきそうさwwwwwww

ひいいいいwwwwww

腹いてえwwwwwwwwwwww

>>258
墓穴を掘ってるぞ
ここで言う有限的操作の正体は数学的帰納法でしかない
数学の最も基本的な部分

>>255
ゆうげんてきそうさって何wwwwwwwwww
笑い過ぎてマジで腹いてえwwwwwwwwww
w
www

>>259
>>255
ゆうげんてきそうさって何wwwwwwwwww
笑い過ぎてマジで腹いてえwwwwwwwwww
w
www

>>259
低知能低学歴だから数学的帰納法なんてものが公理以前に成立する「真理」か何かだと思ってるわけかwwwwww
つーかこのガイジ数学的帰納法の証明問題すら解いたことねーだろwwwww

ゲーデルの方法は極度に巧妙なものだが、その基礎になる考えは、
超数学的陳述と、形式化された数論の或る命題との間に、一対
一対応を（もちろん≪有限的手続き≫によって）作ることにある。

そもそも数学的帰納法に似た手法が使える系なのかという事自体が問われているのに
「数学的帰納法に過ぎない」だもんなwwwwwwwwwwwmww

こんな低学歴発言はなかなか出来るもんじゃないwwwww

>>263
しかし「有限的手続き」などという数学概念は存在しない
式で書いてみろよアホwwwwww

唯一可能な表記は濃度が定義された集合との全単射だ

>>262
だからそれがオブジェクトレベルとメタレベルを区別できてないってことなんだよ
今俺が話しているのはメタレベルの普通の数学的帰納法のことであり、
あなたはいつも形式的体系の中の「数学的帰納法の模型」と混同している
というか、おそらく区別できた試しがない

>>263
有限的手続きなんてものはねーんだよwwww
結局無限だからwwwwww

無限同士を集合論で比較しようって話をしてるのに
「有限的手続き」で止まってんだもんなあwwwwwww

>>266
そんなレベルは存在しない
論破されたらメタレベルとか言っとけば誤魔化せると思ったか？

>>266
論破されたら「これはメタレベル！「形式的」という低レベルな話をするな！」

これが数学力0のバカ哲

証明は有限的手続き

＞無限同士を集合論で比較しようって話をしてるのに
いや、誰もしていないぞ
反論するなら、誰にでも伝わるように、あなたが今何について話しているのかはっきりと書いてみて

>>270
有限的手続きなどという数学概念は存在しない

>>271
不完全性定理の証明は無限同士の比較だよ低知能低学歴wwwwwwwwww
数学基礎論の知識0やんけこのガイジwwwww

>>268
まだ分からないのかな
オブジェクトレベルというのは数学の模型のことだよ
この数学の模型について数学的帰納法等を使って考察するのを象徴的にメタレベルの議論と呼んでいるだけ

>>274
全く意味不明
未定義造語を使ってもお前のバカさは誤魔化せない

>>274
すうがくのwwwww
もけいwwwwwwwww


ひいいいいwwwwwww
腹いてえwwwww
www

>>274
さっさと「有限的手続き」とやらの数式を書けよ
書けないからって逃げてるからお前らは低学歴のままなの

項の構成手続き
論理式の構成手続き
証明の記述

まあ、とにかく数理論理学の教科書を何でもいいから読みなよ
あなたが先程オススメしてたような本ではなく、ちゃんとしたやつな

>>279
お前が読めよ低学歴

>>278
未定義造語
数学とは無関係

>>279
お前さ、高校数学レベルの命題と論理すら理解してないだろ？

>>280
そんなことしてても一歩も進歩しないよ
バカペディアの拾い読みで済まそうとするから、あの筆者も想定できないような超初歩で躓いて、あらぬ方向に突っ走っちゃうんだ

>>283
だから数学素人の門外漢のメモなんか意味ねーから
パソコンの大先生がどうかしたのか？

￥

バカペディアソースを論破されたら次はパソコンの大先生だもんなwwwwww
低学歴は何やらせてもダメだなwwwww

パソコンの大先生のサイトを貼ろうとする時点で「私は低学歴だし基礎論の本を持ってないし論文も知りません」と宣伝してるのと同じだからなwwwww

数理論理学の教科書を読めって何度も言われてるのに、そこだけは無視するんだもの
処置なしだね

>>288
お前は何の教科書なのかすら言えない
だって、そんなものは持ってないし読んだ事すらないからなwwww

さっさと論文貼れと言われてるのに何度も逃げてるよな？

>>288
けっきょく最後はそんなレスでお茶を濁すのかｗ
マジメに勉強する気のある奴がこんな言動するわけないだろ
テメーがこのキチガイにゼロから講義してやるくらいのレベルじゃないと
このキチガイは黙らないだろ

もしくは>>150みたいにハッキリ注意書きしてある「権威のあるソース」を
持ってくることだな
基礎論はいい加減だからそういうソースが無いみたいだけど

>>289
で？
そんな部分だけでは全く意味が無い事すら理解してない事を宣伝したのか？
無限集合との全単射が存在しない限りそのような記述が成り立つかどうかすら言えないというのが基礎論の問題意識なのだが
そこをカットできてしまうところが低学歴特有だよなあwwwww

>>291
だからそいつはパソコンの大先生であって数学者じゃねーから
パソコンの大先生wに過ぎないのに数学者のフリしちゃダメだろ
http://www.tomo.gr.jp/root/9505.html

日本数学会に所属してないし数学基礎論の研究自体を全くしてない

>>291
いや、本当にどの入門書にも書いてあることで躓いてるんだもの
形式的体系の概念なんて初歩どころかスタート時点だし
ソースなんて数理論理学の入門書なら本当に何でもいい

博士号すらない数学とは無関係の学生が新設学部の助手として潜り込んだだけ
パソコンの大先生として採用されたのに数学者のフリをするのは許されないよ
http://www.tomo.gr.jp/root/9505.html
Ｙ：短歌か俳句が詠めそうな眺めですね。:-)　ところで今日は、
情報科学科に新校舎が完成したということで、どのような環境になっ
ているのだろうと期待に胸をふくらませてやってきました。情報科
学科は、比較的新しくできた学科でしたね。

Ｋ：はい。情報科学科は、理学部の学科の１つとして91年に設立さ
れました。現在、情報科学科の学生は、１学年40名で計160名いま
す。学科の設立時には、主に、加古富志雄先生と山下靖先生がコン
ピュータ環境の整備を担当されました。92年の５月に私がここへ着
任したときには、環境はかなり整っていましたね。でも、当時は
UUCP [注１] で外部と接続されていましたから、ちょっと悲しい環
境でした。

>>294
どんな本にも書いてない

>>293
お前が間違っていることは確定してるんだよキチガイ

基礎論側に権威のあるソースが無いという、基礎論側の怠慢だけが問題なの

>>294
1冊も無い
だから書けない

>>297
博士号すらない数学とは無関係の学生が新設学部の助手として潜り込んだだけ
パソコンの大先生として採用されたのに数学者のフリをするのは許されないよ
http://www.tomo.gr.jp/root/9505.html
Ｙ：短歌か俳句が詠めそうな眺めですね。:-)　ところで今日は、
情報科学科に新校舎が完成したということで、どのような環境になっ
ているのだろうと期待に胸をふくらませてやってきました。情報科
学科は、比較的新しくできた学科でしたね。

Ｋ：はい。情報科学科は、理学部の学科の１つとして91年に設立さ
れました。現在、情報科学科の学生は、１学年40名で計160名いま
す。学科の設立時には、主に、加古富志雄先生と山下靖先生がコン
ピュータ環境の整備を担当されました。92年の５月に私がここへ着
任したときには、環境はかなり整っていましたね。でも、当時は
UUCP [注１] で外部と接続されていましたから、ちょっと悲しい環
境でした。

>>297
お前が完全に論破されて泣いてるだけ

だから論文貼れよ論文をよ

>>292
逃げるなヴォケ
テメーが未定義造語っていうから出したんじぇねーか

結局ブルバキ冒頭の誰でも知ってる定義も知らないんじゃねーか
クルクルパーだなｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

論文ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

論文だってよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

＞無限集合との全単射が存在しない限りそのような記述が成り立つかどうかすら言えないというのが基礎論の問題意識

だってよｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
だれか意味わかるか？？？

ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>301
さっさと論文貼れよ低学歴ガイジ

>>301
全く無意味な一部をカットしてコピペしても意味ねーからwwwww
そのサイトでは集合論を否定してないし濃度も否定してないぞ？ん？

既に前のページで触れてるからお前が斜め読みしたページ内には書いてないだけの話であってwwwww

それを「集合論とは無関係な『メタレベルな議論』が有るというソース」だと思えてしまうのが低学歴の恥ずかしい特徴wwww

>>303
その人は、ひとえに「対角線論法」という名前に騙されてるだけだと思う
「対角線論法」という名前がついているのだから、カントールがやったように「全単射が存在しない」というトリックを用いているはずだ、という思い込み

>>303
全単射も濃度も知らないのに基礎論とか口にしてるのかwwwwwwwwww

＞無限集合との全単射が存在しない限りそのような記述が成り立つかどうかすら言えないというのが基礎論の問題意識

文字列も項も論理式も導入してねえで、まず無限集合を持って来いだ？　？？？

キチガイもほどほどにしろよ？

ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>306
トリックwwwwwwwwwwww
ガチで低学歴すげえwwwwwwwwwwwwwww

>>308
当然の話だよ低学歴
お前の貼ったソースでもそうしてる

自分の見た範囲に集合って文字が無かったから喜んじゃったのかwwwww
低学歴って哀れな猿だなwwww

>>294
何言ってるんだお前
それじゃ何も言ってないのと同じだろ
なんなんだよそのどっちつかずな姿勢は。
バカじゃねーの

「どの入門書にも書いてある」じゃなくてさあ、
具体的に1冊タイトルを挙げて中身を引用して
ここにコピペしてキレイに論破してやれよ
このキチガイが自分から読みに行くわけないだろ

>>308
キチガイはお前だよwwww
http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic2.html

>>312
>>308
キチガイはお前だよwwww
http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic2.html

既に集合論を導入する説明をしてるんだからその後のページで同じ話をもう一度するわけがないwwwwwwww

>>310
はあああ〜〜〜〜ん　ばか〜〜〜〜〜ん？
おれの貼ったそーすう〜〜〜〜〜？？？

はか〜〜〜〜んんん？？？

＞既に集合論を導入する説明をしてるんだからその後のページで同じ話をもう一度するわけがないwwwwwwww
これは本気で言ってるのか？
数学的準備の章というものの意味が理解できないのか？

>>313
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ


お前ｗｗｗｗ他人には論文貼れとか言ってるくせにｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
冒頭ページのこれ目に入ってねーのかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

　↓

?京都大学での全学共通科目講義に基づく?

>>316

http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic1.html >>237

http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic2.html
II. 数学的準備

集合は数学の基本的な言葉である．記号論理学で論理式自体を 扱っているときには集合の言葉はあまり使わないが，論理式に 意味を与えるときにはさまざまな集合，集合間の写像，集合の 要素間の関係，などを考えなければならない．以下では集合に まつわる基本的な概念を説明し，最後に，記号論理学と深い関係 をもつ「ブール代数」の概念を紹介する．
目次

1. 集合
2. 写像
3. 関係
4. ブール代数

どうやら本気みたいだな
数学書を読んだことないんじゃないかという疑惑まで湧いてきたぞ



308 １３２人目の素数さん [sage] 2016/09/23(金) 22:51:28.14 ID:r45c0pXz [10/11]
＞無限集合との全単射が存在しない限りそのような記述が成り立つかどうかすら言えないというのが基礎論の問題意識

文字列も項も論理式も導入してねえで、まず無限集合を持って来いだ？　？？？

キチガイもほどほどにしろよ？

ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ


310 １３２人目の素数さん [] 2016/09/23(金) 22:52:51.67 ID:ZGT+lCeg [23/27]
>>308
当然の話だよ低学歴
お前の貼ったソースでもそうしてる

>>317
>>308
キチガイはお前だよwwww
http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic2.html

既に集合論を導入する説明をしてるんだからその後のページで同じ話をもう一度するわけがないwwwwwwww

お前が斜め読みした箇所に集合の濃度が書かれていなくても既に全単射を説明済みであり「有限的手続き」とは可算無限集合との全単射の存在以外の意味を持ち得ないwwww

>>320
>>316

http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic1.html >>237

http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic2.html
II. 数学的準備

集合は数学の基本的な言葉である．記号論理学で論理式自体を 扱っているときには集合の言葉はあまり使わないが，論理式に 意味を与えるときにはさまざまな集合，集合間の写像，集合の 要素間の関係，などを考えなければならない．以下では集合に まつわる基本的な概念を説明し，最後に，記号論理学と深い関係 をもつ「ブール代数」の概念を紹介する．
目次

1. 集合
2. 写像
3. 関係
4. ブール代数

>>241
> 数理論理学の研究対象は形式的体系と呼ばれる数学の模型である

言いたいことはわかるが上の一文での「模型」という言葉を選んで使っているのは無神経だ
特に数理論理学についての議論においてはこの言葉遣いは余りにも無神経過ぎる

なにしろ数理論理学の一分野としての"model theory"の訳語は「模型論」だし
その"model theory"の意味での"model"の訳語は「模型」が定着しているわけで
模型論の立場で言えば集合という数学的実体で肉付けされた現実の数学は
それを公理化することで得られる形式的体系の模型(model)だからだ

つまり君の上の一文での「模型」という言葉の使用は数理論理学（の一分野としての模型論）における
「模型」の正しい使い方とは全く逆向きなのだ

>>322
「論理式に意味を与えるときには」とはっきり書いてあるだろう
意味を与えないままで考察もするんだよ

> シンタックスとセマンティクスが区別できること

あなたはこれが区別できていない
おそらく、俺が付け加えたものも含めて、四つのセンス全てが欠けている
見事にトンデモ街道突っ走ってる

「論理式に 意味を与えるときには」って書いてあるだろうがよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

＿人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人＿
＞　やっぱ意味レベルと形式レベルのが区別がついてねえ 　＜
￣Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y￣

>>324
意味を与えない場合は考察では無い
はい完全論破完了

対象を集合としない論理式はラッセルのパラドックスを回避出来ずに常に矛盾するからその記述には全く意味がないし何の真偽も決定不可能

>>323
ああ、確かにそうだね
「模型」という訳語が使われるのはほとんど見かけないから気付けなかった

>>324
すごいかぶりようですね

>>325
>>324
意味を与えない場合は考察では無い
はい完全論破完了

対象を集合としない論理式はラッセルのパラドックスを回避出来ずに常に矛盾するからその記述には全く意味がないし何の真偽も決定不可能

「形式レベル」などというものは存在しない
どのような瞬間でも集合を対象としない論理式は常に矛盾する

>>328
>>325
>>324
意味を与えない場合は考察では無い
はい完全論破完了

対象を集合としない論理式はラッセルのパラドックスを回避出来ずに常に矛盾するからその記述には全く意味がないし何の真偽も決定不可能

「形式レベル」などというものは存在しない
どのような瞬間でも集合を対象としない論理式は常に矛盾する

ラッセル集合を排除しない体系はいかなる真偽も決定不可能
つまり学問では無い

>>326
＞意味を与えない場合は考察では無い　・・・　キリッ

中二かｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>332
ラッセル集合を排除しない体系はいかなる真偽も決定不可能
つまり学問では無い

ラッセル集合を明示的に排除しない全ての命題関数の真理値は決定不可能である

>>326
証明可能性と真偽も区別できるようになろうね
これもシンタックスとセマンティクスの区別だ
不完全性定理は証明可能性に関する定理であって、真偽についての言及は不完全性定理の系

>>330

おまえが引用したページでは
「結局 V が集合であるという仮定がおかしい」であっさり解決しているわけだが？