点の長さは0である。しかし点の集まりである線には長さが存在する。 [無断転載禁止]©2ch.net

全体集合を実数Rとして、
半開区間[a,b)の測度がμ([a,b})=|a-b|となるように外測度をうまく定義するとする。
そうすれば、μ({x∈Q:x∈[a,b)})=0になるだろう。
これに対して、全体集合を有理数Qとして、
半開区間[a,b)⊂Qの測度がμ([a,b})=|a-b|となるように外測度をうまく定義するとする。
そうすれば、μ({x∈Q:x∈[a,b)})=|a-b|になるだろう。
半開区間の測度が半開区間の長さになるのは、
その半開区間が実数か有理数かの違いで決まるのはなくて、
自分が測度をどう定義したいかを考えて、自分の要求に合うように決めるのだろう。