内接球？
どのレベルで使われる証明なのかわからないけど、内接球の中心を求めよとかって問題でなければ
そこまで証明しなくていいんじゃないの？

「球の中心はＯと三角形ＡＢＣの重心を結んだ線分上にあるので」くらいでいいんじゃないのかな