>>73
整数の集合Zは加法に関して可換群をなします
すなわち
•Zは+という演算に対して閉じている
•I.任意のaに対してa+0=aを満たす零元と呼ばれる元0、がただ１つ存在する
•II.任意のaに対して、a+b=0を満たす逆元と呼ばれる元bが存在する
•III.a+b=b+a
•VI.a+(b+c)=(a+b)+c

また、aの逆元のことを-aとかき、x+(-a)のことを単にx-aと書くこともあります...V


以上を公理として、0-0=0を示します

補題1.それぞれの元に対して逆元は一意的である
aの逆元がb1とb2があったと仮定します
すなわち
a+b1=0…①、a+b2=0…②
(b1+a)+b2を考えます

①より(b1+a)+b2
=0+b2 ↓III
=b2+0↓I
=b2
また、②より
(b1+a)+b2↓VI
=b1+(a+b2)
=b1+0↓I
=b1

以上よりb1=b2が示せました

補題2.0の逆元は0である
Iより0+0=0が成立
また、IIより0+b=0を満たすbが存在して、補題1よりこのようなbはただ１つ決まる
よって0の逆元は0

以上より
0-0↓V
=0+(-0)↓補題2
=0+0↓I
=0