素数が無数に存在する事の証明について質問です

最大の素数pが存在すると仮定する
N=2×3×5×･･･×p＋1
を考えるとNはp以下の素数で割り切れないので素数となり矛盾する
よって素数は無数に存在する


この証明は正しいのでしょうか？
私が気になるところは
｢Nが素数になる｣
と言っているところです
｢Nは素数になる、またはNを割り切る素数が未知の存在する｣
と言わなくてよいのかという事です

この事で科学ニュースのスレで揉めてるみたいなので質問してみました
よろしくお願いします