C^k級の定義について質問です。

関数fのk階までの偏導関数がすべて存在して連続であるとき、fはC^k級であるという。

これがC^k級の定義ですが、

関数fのk階の偏導関数がすべて存在してそれらのk階の偏導関数がすべて連続であるとき、fはC^k級であるという。

ではダメなんでしょうか？