http://imgur.com/RO0LjYG.jpg
http://imgur.com/G1Z13bB.jpg

z = f(x, y)
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
g(r, θ) = f(r * cos(θ), r * sin(θ))

とする。

(f_x)^2 + (f_y)^2 = (g_r)^2 + (1/r^2) * (g_θ)^2

が成り立つことを示せ。


解答に、

∂r/∂x
∂r/∂y
∂θ/∂x
∂θ/∂y

などが出てきます。

r, θ をそれぞれ、 x, y の2変数関数と見ているようですが、こういうことは
可能なのでしょうか？

説明をお願いします。

(r, θ) → (x, y) = (r * cos(θ), r * sin(θ))

という写像を考えます。

(1, π/4) → (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
(-1, 5*π/4) → (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)

です。

ですので、 x, y から、 r, θ は一意的には決まりません。