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111…111が続く数の中で2017で割りきれる数が存在することを示せ

誰か頼む

ぺぺって薄めた方が気持ち良いよな

1/2017は循環小数で表される。
その循環小数が、小数点以下m桁までを除きn桁で循環するものとし、
最初のm桁を整数とみなした値をa，次のn桁を整数とみなした値をbとすると
1/2017 = a/(10^m)+Σ[k=1〜∞]b/(10^(m+kn))
= (a(10^n-1)+b)/(10^m(10^n -1))
よって、2017は10^m(10^n -1)の約数。
ここで、1がn桁並ぶ数をR(n)とすると、
10^n -1 = 9R(n)なので、2017は9*10^m*R(n)の約数であり、
2017と9*10^mは互いに素なので、2017はR(n)の約数。

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483196556/l50
の>>9

うまく貼れなかったので、>>4の再録

1111....111という数字の並びで
1がn個並ぶものを[n]と書くことにする。
n=1〜2017の範囲の[n]について
[n]を2017で割った余りを考える。
余りの中に0があれば、その[n]が2017で割り切れる。
0がなければ、余りの値は1〜2016の2016種類だけ
だから、2017個の余りの中には値が同じものがある。
(鳩の巣原理)
そこで、[i]と[j]を2017で割った余り(ただしi＞j)が
同じだと置くと、[i]-[j]は2017で割り切れる。
[i]-[j]=[i-j]・10^(i-j)が成り立つが、
2017は2とも5とも互いに素だから
[i-j]が2017で割り切れなければならない。
これは、n=1〜2017の[n]を2017で割った余りの中に
0がなかったと仮定したことに矛盾する。

フェルマーの小定理から
10^2016≡1(mod2017)
9が2016個数連続したものは2017で割りきれる
よって1が2016個連続したものは2017で割りきれる

>>5
すげえ
多分これだよな、サンクス

９が2016個連続した 10^2016−１は 3*3*3*3*7*7*11*13*17*19*29*37*43*73*97*101*2017 で割りきれる

よって１が2016個連続した (10^2016−1)/9 は 3*3*7*7*11*13*17*19*29*37*43*73*97*101*2017 で割りきれる

>>8
一番の証明だな

2017部分が素数であれば成り立つわけだから2011でも2027でも良いよな？

特に2017年にちなんだ問題というほどでもなくない？

>>8
１が2016個連続した (10^2016−1)/9 は
(p-1)｜2016、p≠5 を満たす奇素数　すなわち
p=3, 7, 13, 17, 19, 29, 37, 43, 73, 97, 113, 127, 337, 673, 1009, 2017
でも割りきれる。

結局この問題、他スレで速攻で解かれたから
問題自体の独創性は無いよね？
平凡な問題だ。

高木貞二の初等整数論の初めの方に乗ってる問題だよな

パクリ問題ゆえに価値なし
終了。

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