f(x)=sin(x),g(x)=cos(x)としたときのf,gの合成関数に関する不等式 [無断転載禁止]©2ch.net

1１３２人目の素数さん

2017/02/06(月) 22:48:31.70ID:6zsmoEqG

全ての実数xについて
f∘g∘f∘…∘g>g∘f∘g∘…∘f

さっき思いついたけどどう証明するん

2１３２人目の素数さん

2017/02/07(火) 10:24:50.83ID:aCP2n1Du

>>1
（x使ってない...）

cos(sin(x)) > |sin(cos(x))|,

(略証)
左辺も右辺も周期πの偶関数なので、｜x|≦π/2 で考える。
｜sin(x)｜≦｜x｜≦π/2 より、
cos(sin(x)）≧ cos(x）≧｜sin(cos(x))|

・東大入試作問者スレ１５-148
・不等式スレ３-343、４-627～629

3１３２人目の素数さん

2017/02/07(火) 10:25:47.17ID:NqGOmEA3

…ってなに？

4１３２人目の素数さん

2017/02/07(火) 23:17:09.16ID:n9f7OGqJ

>>3
どんな実数xに対しても
sin(cos(sin(cos(sin(...(cosx))))))よりも
cos(sin(cos(sin(cos(...(sinx))))))の方が絶対大きいって話

...は無限級数とかに使う同じ動作を繰り返すみたいな記号だと補完してくれ
（Σ(k,n=1,∞)=1+2+3+4+... みたいなやつ）

5１３２人目の素数さん

2017/02/07(火) 23:18:09.90ID:n9f7OGqJ

>>2
何回合成しても成り立つ？

6１３２人目の素数さん

2017/02/07(火) 23:18:25.32ID:n9f7OGqJ

あ、俺は>>1です

7１３２人目の素数さん

2017/02/07(火) 23:20:58.84ID:n9f7OGqJ

>>4
逆でした
訂正：
どんな実数xに対しても
sin(cos(sin(cos(sin(...(cosx))))))よりも
cos(sin(cos(sin(cos(...(sinx))))))の方が絶対小さいって話

8１３２人目の素数さん

2017/02/08(水) 02:05:22.41ID:nc6vwE89

無限を雑に扱いすぎ…

ある実数p，qを用いて
数列{a_n},{b_n}を
a_1=p，a_{n+1}=sin(cos(a_n))
b_1=q，b_{n+1}=cos(sin(a_n))
という漸化式で定義すると，
lim{n→∞]a_n=α，lim{n→∞]b_n=βは常に存在し，その値はp,qによらない。
ちなみに、αはsin(cos x)=xの解，βはcos(sin x)=xの解
ざっくり計算すると、α=0.6948…，β=0.7681…

9１３２人目の素数さん

2017/02/08(水) 02:07:46.51ID:nc6vwE89

訂正 >>8
誤：b_1=q，b_{n+1}=cos(sin(a_n))
正：b_1=q，b_{n+1}=cos(sin(b_n))

10１３２人目の素数さん

2017/02/08(水) 22:37:11.06ID:rGLhtxcW

>>8-9
ありがとうございます！
まだ読んでませんが

11１３２人目の素数さん

2017/02/09(木) 23:09:37.26ID:qZ1XtkvU

>>4
動作を繰り返すみたいなってなんやねん
有限回の操作なら合ってるんちゃう？>>2がいうように

12１３２人目の素数さん

2017/02/17(金) 03:22:51.46ID:wzrn+Bbj

>>1
その記号辞めてよ