http://imgur.com/u2tefrp.jpg


exp(i*y) = f(y) + i*g(y)
=
lim_{m → ∞} Σ (-1)^k * y^(2*k) / (2*k)! from k = 0 to k = m
+
i * lim_{m → ∞} Σ (-1)^k * y^(2*k+1) / (2*k+1)! from k = 0 to k = m

↑これは、

lim_{m → ∞} Σ (i*y)^k/k! from k = 0 to m を入れ替えたものではないと思います。

Σ a_n の項を入れ替えた級数というのは、

ある全単射 φ : N → N により、

Σ a_φ(n) と表わされる級数のことですよね？


lim_{m → ∞} Σ (-1)^k * y^(2*k) / (2*k)! from k = 0 to k = m
+
i * lim_{m → ∞} Σ (-1)^k * y^(2*k+1) / (2*k+1)! from k = 0 to k = m

は明らかに二つの級数の和であって、一つの級数ではないですよね？

つまりポントリャーギンは、級数の項を入れ替えてもいないのに、
まるで入れ替えた気になっているのではないでしょうか？