>>360
まず、99x+77y+63z=mの整数の範囲での一般解を求めると（途中略）

x=7(s+t)-6m
y=-9s+2m
z=-11t+7m
（ただし、s,tは任意の整数）

となる。ここで、
2mを9で割った商をS、あまりをYとし
7mを11で割った商をT、あまりをZとすると、
Y，Zは整数の範囲での一般解のうちyとzの0以上の範囲での最小値をとる。
y=Y，z=ZのときのxをXとすると、
X=7(S+T)-6mであり、
Xが0以上　⇔　(x,y,z)は0以上の整数解を持つ

以上より、与えられたmが条件を満たすかどうかの判定法は
7([2m/9]+[7m/11])-6m≧0
である。

（もちろん、一般解の作り方により、判定法の式の形も様々に作れるはず）

ちなみに、ここからmが1246以上であれば必ず条件を満たすことは容易に確認できるが
条件の書き方によっては条件を満たさない整数mの上界はもう少し絞れるかも。