>>62 >>70
ax+by+cz=0 じゃなく ax-by=cz と置きましたか。

「一次不定方程式」または「ベズーの等式」で
検索すると出てくると思いますが、
この方程式が整数解 x,y を持つ必要十分条件は、
a,b の最大公約数を d として
cz が d で割り切れることです。
3.より、任意の自然数 z について解があるので、
c が d で割り切れることになります。
方程式の両辺を d で割れば、
Ax-By=Cz, A,Bは互いに素 と変形できます。
この形の方程式の一般解は、
Ax-By=C の特殊解の一組を x=p, y=q として
x=pz+Bk, y=qz+Ak, kは整数 と書けます。

この整数解が自然数となる条件は、
pz+Bk>0, qz+Ak>0 です。これを満たす k が
有限個である条件は A,B が異符号であること。
A<0<B, -pz/B<k<-qz/A または
B<0<A, -qz/A<k<-pz/B の範囲の k が解を与えます。
その k の個数が a[z] です。

正確な個数を求めるには区間両端の処理が必要ですが、
概ね a[z]≒|q/A-p/B|z くらいの勢いで増加します。
3.は a[n] が n の二次式であることを要請して
いますが、解はそんなに急激には増加しません。