ベクトル値関数φの基本性質：
任意の連続線型汎関数f に対し
f(∫φ(x)dx) = ∫f(φ(x))dx が成り立つ
また、
φが正則　⇔　fφが正則


φが正則ならば任意の連続線型汎関数f に対し
閉曲線上の積分 f(∫φ(x)dx) = ∫f(φ(x))dx = 0
したがってベクトル値関数でもコーシーの積分定理∫φ(x)dx = 0 が成り立つ
後の理論展開は通常の複素関数論と同じ