lim[n→1-0]{n} ＜ 0.99999…(循環小数) [無断転載禁止]©2ch.net

合ってる？

limかけたら=1でしょ

…つけたら=1でしょ

lim[n→1-0]{n} =1　なの？

lim[n→1-0]{n}=1,
0.99999…(循環小数)=Σ[k=1→∞]{9(0.1)^k}=1.

マジか・・・
専門板は違うな

ちなみに、limは限りなく１に近づくだけで、
１にはならないと思ったんだが、それは違うの？

消失点みたいなもん

読んで字の如く，「限りなく近づく」という発想なのですが，例えば「ｘ」が０に近づくと，「３ｘ＋１」という式の値は何に近づきますか？　というものです。

もちろん，１に近づくというのが正解です。「ｘが０になる」のだから，３ｘ＋１にｘ＝０を「代入」すればすぐ答えは分かります。

ただ，ここの所に日本語としての極限の「微妙」なニュアンスが入っています。

「極限」とは，「限りなく近づ」いたときの値のことです。

「ギリギリまで近づくけれど決してその値にはならない」

という意味が含まれています。だから，「０に限りなく近づく」といった場合は，

１→0.1→0.01→0.001→0.0001→・・・→0.00000000000000001→・・・

といったように変化をしていき，しかし決して0にはならない，という意味合いになってしまいます。

http://naop.jp/topics/topics42.html

この説明は間違いなの？

極限の一意性
近づき方はどうあれ極限値は一価である

>>8
xを0に近づけたとき、yが何に「近づく」かが極限であり、yが何に「なる」か（代入）ではないってことを言いたいんだろうけど
説明が下手すぎて逆に混乱させてるな

スレタイの例だと、nを1に負の方向から近づけるとき、「nは何に近づくか？」が左辺の答えとなる。つまり（完全に）1。
これだと代入と同じじゃん！って思うかもしれないが、連続関数だとまさに代入と同じになる。
たとえばガウス記号[ ]を用いた関数y=[x]において、x=1のときy=1だが、lim[x→1-0][x]=0となる。

a_n そのものと a_n の「行き先」の区別が明確でない
クソみたいな説明が巷にあふれている現状には虫唾が走る。


a_n ＝ 1/n の場合を考える。n を大きくすれば、a_n は 0 に近づく。すなわち、

「 n を大きくすれば、a_n は □ に近づく 」

↑この文章の□に入る数字は 0 である。すなわち、□ ＝ 0 である。
決して □ ≒ 0 なのではなく、寸分違わずピッタリ □ ＝ 0 である。
これは数学ではなく国語の問題である。

n をいくら大きくしても、a_n そのものは決して 0 にはならない。
だから、a_n ≒ 0 と書きたくなるのなら、そのお気持ちはよく分かる。
しかし、□ の方は寸分違わず □ ＝ 0 なので、もし □ ≒ 0 と書きたいのなら、
それは何かを勘違いしていることになる。もう一度言うが、
「 n を大きくすれば、a_n は 0 に近づく」のであるから、「 0 」の部分を □ で隠蔽して

「 n を大きくすれば、a_n は □ に近づく 」

と書いたときには、□ にはまさしく 0 が入るしかないのであり、
よって □ ＝ 0 なのであり、□ ≒ 0 とは書かないのである。
これは数学ではなく国語の問題である。

そして、□ のことを、普通は □ とは表記せずに「 lim[n→∞] a_n 」という記号列で
表記するのである(これが lim の定義)。今の場合、□ ＝ 0 なのだったから、
lim[n→∞] a_n ＝ 0 である。これをもし lim[n→∞] a_n ≒ 0 と思ってしまうようならば、
□ ≒ 0 と言っていることになり、国語が分かってないことになる。

つまりnそのものは１にならないが、lim[n→1-0]{n}となると、１になるってこと？

lim[n→1-0]{n} ＝ 1である。
このときの n は n ＜ 1
ってことかな

「lim=1のときのn」なんてありません

>>13
>>12で書いた理屈が違うって意味？これなら納得したんだが
違うならもっと詳しく
ｎは１に近づいていくんだろ？

>>14
a_n ＝ 1/n のときの □ は □ ＝ 0 を満たすが、

「 □ ＝ 0 のときの n の値はいくつか？ 」

という問いには意味が無い。その一方で、

「 a_n ＝ 1 / 10 のときの n の値はいくつか？」

といった問いには意味がある。なぜ意味があるかというと、
a_n ＝ 1 / 10 の左辺は n を変数とする式であるから、
右辺と見比べて対応する n を求めることが可能であり、
この場合は n ＝ 10 が答えになる。しかし、もう一度言うが、

「 □ ＝ 0 のときの n の値はいくつか？ 」

という問いには意味が無い。なぜなら、□ ＝ 0 の左辺は定数項の式であり、
変数 n は出現しないからだ。

「 0 ＝ 0 のときの n の値はいくつか？」

と聞いているのと同じことであり、この問いは意味が通らないのである。
lim[n→1-0]{n} の場合も同じこと。

・ lim[n→1-0]{n} ＝ 1 である。
・ 「 lim[n→1-0]{n} ＝ 1 のときの n の値はいくつか？」という問いには意味がない。

>>14
lim[n→1-0]のときは、nが1未満の前提で議論しているからその考えでおｋ
>>13と>>15は揚げ足とりすぎ

lim f(x)
x→1-0

のことを、

lim f(x)
x→1
x<1

と書く流派もある。

>>16
「 lim[n→1-0]{n} ＝ 1」という表現の中のnは束縛変数であり、nを他の文字に置き換えても全く同じ意味の文となる
したがって「これを満たすnは何か」という問いは無意味

>>15
なら
lim[n→1-0]{n}
のｎの値は？

>>17
ｎは他の文字に置き換えてもＯＫだが
ｎという文字には拘っていない

>>18-19
その問いには意味が無い。>>17 にも俺と同じ趣旨のレスがある。
lim[n→1-0]{n} と書いても lim[x→1-0]{x} と書いても、
これらの記号列は定数を表しているのであり、変数が出現しない。
定数に対して特定の変数記号を持ち出して、「このときの変数の値は？」と
問うてみたところで、その問いには意味が無い。
具体的に言うと、

「 lim[n→1-0]{n} ＝ 1 のときの n の値は？」

という問いは

「 1 ＝ 1 のときの n の値は？」

と言っているのと同じことであり、この問いには意味が無い。また、

「 lim[n→1-0]{n} の n の値は？」

という問いは

「 1 の n の値は？」

と言っているのと同じことであり、この問いにも意味が無い。
n を他の変数記号に差し替えても同じことで、君が考えようとしている問いには意味が無い。

>>20
「意味が無い」の意味が分からん
意味が無いとしても、なにかしらの値があるなら教えてくれ
値はあるのか、あるとしたら、どんな値か
　n ＜ 1
　n ≦ 1
　n ≧ 1
　n ＞ 1
これらの式はそれぞれ成立するか否か、
それともそもそもｎの値が存在しないと言ってるのか

>>21

＞「 1 ＝ 1 のときの n の値は？」
＞「 1 の n の値は？」

これらの問いに本気で意味があると思っているのなら、病院に行った方がいい。
特に2行目の「 1 の n の値は？」は問題外で、日本語の文章としておかしい。
そして、君が考えようとしている問いはそのようなおかしな問いである。
そのような問いに意味は無い。

>>21
一応、君が何を勘違いしているのかは何となく察しがつくので、参考までに書いておく。

x ＜ 1 なる任意の実数xに対して f(x)＝x と定義すると、lim[x→1−0]f(x)＝1 である。
x ≦ 1 なる任意の実数xに対して g(x)＝x と定義すると、lim[x→1−0]g(x)＝1 である。
x ≦ 1 なる任意の実数xに対して、h(x) ＝ x (x＜1), 0 (x＝1) と定義すると、lim[x→1−0]h(x)＝1 である。
この状況下で、

「 lim[x→1−0]f(x)＝1 のときの x の値は？」
「 lim[x→1−0]g(x)＝1 のときの x の値は？」
「 lim[x→1−0]h(x)＝1 のときの x の値は？」
「 lim[x→1−0]f(x) の x の値は？」
「 lim[x→1−0]g(x) の x の値は？」
「 lim[x→1−0]h(x) の x の値は？」

といった問いにはどれも意味が無い。しかし、

「 f(x)＝1 のときの x の値は？」
「 g(x)＝1 のときの x の値は？」
「 h(x)＝1 のときの x の値は？」

といった問いには意味がある。
1行目の答えは「 f(x)＝1 を満たす x は存在しない」
2行目の答えは「 x ＝ 1 」
3行目の答えは「 h(x)＝1 を満たす x は存在しない」、
である。ちなみに、

「 f(x) の x の値は？」
「 g(x) の x の値は？」
「 h(x) の x の値は？」

といった問いには意味が無い(日本語の文章として意味を成してないので)。

>>22
ならそもそも、
lim[n→1-0]{n}

の中のｎは、ｎについて何を言ってるのよ
タダのごみなの？

>>23
f(x)とかの関数は聞いてないが

>>24
その n は束縛変数と呼ばれる。
別の変数記号に差し替えても問題ないので、
その意味においてはタダのごみと言っても差しさわりはないが、
ゴミだからと言って完全に削除すると lim[ →1-0]{ } という
意味不明の記号列になるので、完全なるゴミでもない。
束縛変数の他の具体例は、たとえば

∫[0, 1] x dx ＝ 1/2

という定積分の計算における「 x 」が、左辺において束縛変数になっている。
"∫[0, 1] x dx" という一連の記号列は定数であり、変数 x は出現しておらず、
「1/2」という定数の単なる別名表記であることに注意せよ。

>>25
君の問いは関数を前提としなければ意味を成さないのに、
「f(x)とかの関数は聞いてない」などと言い出すのなら、
君は何も理解してないということである。君の問いは

「〇〇のときの n の値は？」「××のときの x の値は？」

という形の問いである。
ならば、〇〇には n を変数とする式、すなわち n の関数が出現していなければならないし、
××には x を変数とする式、すなわち x の関数が出現していなければならない。
にも関わらず「f(x)とかの関数は聞いてない」などと言い出すのは問題外である。

>>26
なんだ、タダのごみか、すまんな

あたらめて問うが、
lim[→1-0]{}
はいくつになる？

>>28
lim[→1-0]{} という記号列は意味を成さないので、
その問いは意味を成さない。

「 ＋＋＝× はいくつになる？」

とか言っているのと同じこと。意味不明の記号列を持ち出して、
その記号列がいくつになるのかを聞いたところで意味が無い。

>>29
なんだ、じゃあそもそもゴミであって、数式でもなんでもなかったのか
すまんな

変数って言うからには、何かしらの数値が入るのかと思ってたよ
そもそもただのゴミのことを、俺らは１と言ってたんだね

>>30-31
そんな「すっぱいブドウ」の寓話みたいにダダをこねても、
君の理屈が通るようにはならないよ。数式でもなんでもないゴミは

lim[ →1-0]{ }

という記号列なのであって、lim[n→1-0]{n} はゴミではなく、
きちんと意味のある式であり、lim[n→1-0]{n} ＝ 1 なのだよ。

また、lim[n→1-0]{n} という記号列における n という記号は束縛変数であり、
"lim[n→1-0]{n}" という一連の記号列には変数 n は出現しておらず、
「1」という定数の単なる別名表記なのだよ。そして、変数 n が出現してないのに

「 lim[n→1-0]{n} ＝ 1 のときの n の値は？」
「 lim[n→1-0]{n} の n の値は？」

といった問いをしてみても意味が無いのだよ。

どうも君は、「束縛変数」という概念を生得的にすら把握してないようだから、
この話を理解するのは物凄く苦労するだろうね。また、理解したところで
君の日常生活には何の影響もないはずだから、「すっぱいブドウ」の態度で
すべてまとめてゴミだと思うことにして思考停止した方がかえって健全かもしれないね。

>>32
じゃあそもそもゴミに同意するなよ

とりあえず俺は>>16を参考にするから、
>>16の内容に誤りがあるなら、それについて説明してくれ

>>33
ゴミという表現はともかくとしても式の値に影響を与えないという事を理解してくれたのかな
と思ったから同意したんだと思うぞ、ゴミ――それによって式の値は左右されないって事＜束縛変数
(ほかに変数がなければ)式の値は一定

>>33
理解できないからってダダをこねた君が、
俺の発言を悪意を持って歪曲しただけの話。

＞その意味においてはタダのごみと言っても差しさわりはないが、
＞ゴミだからと言って完全に削除すると lim[ →1-0]{ } という
＞意味不明の記号列になるので、完全なるゴミでもない。

これのどこが同意なんだよ。

「別の記号に差し替えても問題ないという意味ではゴミのようなものと言える」
「だからと言って、完全に削除すると意味不明になるので、完全なるゴミでもない」

と明言しているだろうに。

>>35
lim[n→1-0]{n}　= 1　は不変であることは理解したが、
変数ｎの値はどうなるか聞いていたんだが

>>16を参考にすると、　nは１未満であり、n＜1 と解釈したのだが違うのか？

>>36
そうだぞ？

>>38
＞そうだぞ？

ですよね、俺の発言を悪意を持って歪曲しただけの話ですよね。
君は悪質な人間だな。

>>39
ゴミという発言を否定すると思ったが、お前は同意したからな

>>40
＞ゴミという発言を否定すると思ったが、お前は同意したからな

なんだねそのレスは。

「 同意が得られたので、彼の発言を悪意を持って歪曲しました 」

という話になっているぞ？意味不明だな。

「俺の発言を悪意を持って歪曲した」という悪質な行為自体を批判しているのに、
その行為に及んだ理由を説明されても言い逃れにはならないぞ。

>>41
だからそのとおりなんだが

>>42
別に言い逃れをしているわけではなくて、
淡々と自分の悪質な行為について説明しただけである、ということかね。

よく分からんやつだな。
いちいちご丁寧に返答してくるから、
言い訳を始めたのかと思ったぞ。

>>43
そうだって言ってるだろう

とりあえず>>34と>>37に対しては、レスが無いから、たぶんそうなんだろう
誰でもいいので違うなら言ってくれ
いちおう、誰でも見れる掲示板だから、俺以外も見る奴いるからな

>>37
だから、その意味ではゴミ
limの式で示すのは"近づく先"であって"どこかの段階のn"の値とかは考慮に無い

消失点に対するレールみたいなもんで、レールがあったとき消失点は決まるが
レールのどこにも消失点に対応するレール上の点を示すような、あるnの値なんてものは無い
でもレールが無いとなにも定まらない(>>28)、そのレールがn、その意味ではゴミでない

近づいて行く先とかもまあ曖昧ではあるから
この手の質問は最後にはイプシロンデルタやれ、わかんないなら黙れで終わる気もする

>>46
つまりｎは負方向から１へとは近づくが、完全に１にはならない、
という理解でＯＫなの？

>>44
はい、わかりました。この話は了解しました。

で、>>1 の話(今は >>16 の話なのか？)に戻りたいところだが、
お察しのとおり、君の舐めてかかった「すっぱいブドウ」みたいな
悪質な態度にあてられて、こちらは気分を害されているし呆れている。

他に書き込んでくれている人がいるようだから、
その人達に任せて、俺はもう書き込まないことにする。

>>37には
＞lim[n→1-0]{n}　= 1　は不変であることは理解したが、
とあるから、少しは理解が進んでいるようで何よりだ。
もう少し頑張れば >>1 は完全理解に到達するかもしれん。検討を祈る。

束縛変数がゴミかどうかは、ゴミであるとはどういうことか
定義してからでないと話にならないのが数学だ。(笑

束縛変数は、その束縛範囲の中でしか意味を持たない。
例えば、lim[n→1-0]{n} = 1 という式であれば、
lim[n→1-0] が作用する { } の中だけが n の束縛範囲で、
その中では、n は変数 n としての意味を持つ。
範囲の外、式の (なんか) = 1 の部分では n は意味を持たない。

だから、lim[n→1-0]{n} = n なんて式も正常で、
左辺の n と右辺の n は別の n である。
文字を変えて lim[x→1-0]{x} = n とかのほうが見やすいけど。

lim[n→1-0]{n} が lim[x→1-0]{x} と書き換えられるのも
束縛変数が束縛範囲の外では意味を持たないからで、
式の他の部分に変数 n が使われてないかどうかを気にせず
{ } 内だけを見て変数名を変えることができる。
{ } 内で一貫していれば、変数名は何を使っても自由だから。

一方、
束縛変数は、束縛範囲の中では変数名としての意味を持つので、
その中では変数名として一貫性を持つ使い方をしなければならない。

だから、lim[n→1-0]{n} = n を lim[x→1-0]{x} に書き換える
ことはできるが、lim[→1-0]{ } にしてしまうことはできない。
{ } 内の式 n を、なんらかの形で表さねばならないからだ。
変数名を変えることはできるが、変数無しでは式は書けない。

束縛変数の束縛範囲が、箱の中と外の世界を分けるのだ
と考えれば、雰囲気がつかめるのではないかと思うが、、、

>>47
lim[n→1-0]{f(n)} の { } 内の式 f(n) は、lim の都合によらず、
f の定義域に属するすべての n に対して意味を持つ。
n の束縛範囲内での話は、それだけのこと。

lim[n→1-0]{f(n)} の値が、n が 1 へ小さい側から近づくとき
f(n) が近づく先の値であるというのは、束縛範囲の外での話。
式の lim(なんか) = 1 という部分での話で、
そこには、n という変数は存在しない。

だから、lim[n→1-0]{n} が 1 になるとき n は何か
という問は、答え以前に、質問が意味をなしていない。

n という変数が存在する、箱の中の世界では、
ただ束縛範囲の式が n であるだけで、それは別段
どこへ近づくわけでもないし、
極限の値を扱う、箱の外の世界には、変数 n が無い。
lim が中と外を分けてしまっているためだ。

街で会った人に、いきなり「あれは何？」と聞けば、
「あれって何のこと？」と返される。
これは、そういう種類の話。

>>49
＞lim[n→1-0] が作用する { } の中だけが n の束縛範囲で、
＞その中では、n は変数 n としての意味を持つ。
もし意味があるなら、その意味を教えてくれって話なんだが

>>50
＞街で会った人に、いきなり「あれは何？」と聞けば、
＞「あれって何のこと？」と返される。

「lim[n→1-0]{n}」の式内のｎのこと

nは関数

>>51
その前半も後半も>>50に書いておいた。

>>53
そうなんだ、すごいね

「lim[n→1-0]{n} 」
とりあえずこの式は俺が考えた式だからな
これを俺が誤解してるとしたら、このスレは何も役に立ってない訳だ
どうでもいいだろうけど

>>34 >>37 >>47 に対して、合ってるか、合ってないかぐらい、言ってほしいんだが
それが書いてないとすると、やっぱり俺は合ってるとみなすしかない

そうなってくると、そもそも１になる事についても、疑問になる
つまりスレ立て前と変わらない状態だ

俺が分かるように説教しろだって

>>58
仮に説教だとしたら、説教を受けている本人が理解できなければ、
説教にならないだろう

のび太くん

何がどう解って、何が解らないんだか、
>>1 自身の説明が足らない気がするが、、、

lim[n→1-0]{n} ＜ 0.99999…(循環小数) が
合ってないことは了解したのだとして、

>>47
＞つまりｎは負方向から１へとは近づくが、完全に１にはならない、
＞という理解でＯＫなの？

は、okではない。
>>10-11 辺りがよく説明しているようだが、
lim[n→1-0]{f(n)} というのは、f(n)=n であろうと、他の関数であろうと、
n を 0 へと小さい側から近づけたときに f(n) が近づく先の値 であって、
n は lim を取る人が勝手に 1 に近づけてみた場合を考えるだけで、
眺めていると 1 に近づいていくわけではないし、
f(n) の値が 1 になるわけでもないから、1 になるときの n の値など存在しない。

>>61
＞1 になるときの n の値など存在しない。
なら、１にならないときの、ｎの値は存在するの？

limを飾りと捉えて、nを多価的に読んでるのだろうな
近似ならそれでいいけど、同値が言えない

>>63
「それ」とは何のこと？

なんか、ELIZAみたいな返しだな。>>62 >>64
天然無脳かな。

>>65
だからどうした

束縛変数の意味ぐらいググるだけでも分かるだろうに…
そして、そこが分かってないのに長々と書いてるんだもの
真面目に全部読んで返答してる人なんていないんじゃないの

>>67
俺に対してであれば、束縛変数については言及していないが

あれを読んで束縛変数が解ってないと思った奴は、
束縛変数がほんとになんも解ってないな。
解っていれば、あれも解る。

>>69
だからどうしたんだよって言ってるんだが

実無限と可能無限の話だな

それは違うと思う。
実無限を採用しても、極限は代入にはならない。
不連続関数もあるんだから。

脳内でlimが外れてるんだろう

脳のlimが外れてるなら、医者に行ったほうが。

>>74
何科に行って、何と言えばいいですか？
どんな傷病が考えられますか？

関数f(x)に対して「f(1)のときのnは？」と同レベルで意味不明な疑問だと思うよ

lim[n→1-0]に、f(n)=nをぶちこんで1が出力された
f(n)=1になる場合のnは1である
つまり、lim[n→1-0]f(n)が1になるときのnは1
みたいな感じの思考？

lim[x->a]というのは（数学的な）モノとしては、
関数（数列を含む）に作用してある値（極限値）を返すただの演算子で、
言い換えれば、極限をとる場所を示すaと、関数fを引数とする
lim( a , f )という(汎)関数にすぎない。

極限値がピッタリ決まるイメージとして開区間はどうだろうか。
開区間（a b)は最大、最小を持たないけれど「極限」(触点)としてa、bを持つ。
触点は（a b)内部からどこまででも近づける点で、
(a b)以外の点ではピッタリaでありbである。

《 lim[n→1-0]{n} が1より小さいのか? 》

nの開区間(0,1)における
nの最大値は1より小さい。
かつ、
1よりも小さい全ての実数よりも大きい。

その値こそ、
超本物の極限値 lim[n→1-0]{n} だ。
ちなみに、一意に定らん。ところが
定らん範囲も限りなくZeroに近い値だ。

つまり、
1より小さくてかつ、
1との差は限りなくZeroに近い値は、
そんなものだから、
lim[n→1-0]{n} = 1　だ。という論法。
説教だと感じだとしたら、
素晴らしい感性を有している。

limを一旦受け入れてしまえば
lim f(x)=lim g(x)からf(x)=g(x)が言えないことが分かる
limを外して中身を取り出す逆関数は存在しない

>>79
thx

超準解析をカジュアルに言い換えるのは有害だと思うがなあ

奇跡も、魔法も、無限小もあるんだよ

ソクバクヘンスウとか初めて聞いたわｗｗｗ
ただのトートロジーじゃん
さすがバカ２ちゃんねらｗ

ほら、有害じゃん」という返しが欲しかったなあ。

>>84 束縛変数の束縛範囲は聞いたことがなくても、
変数の有効範囲は聞いたことがあるでしょ？
そうでないと、f(x)+lim[x→a]g(x) とか
f(x)+∫[a,b]g(x)dx とか
f(k)+Σ[k=1...n]g(k) とかの式を扱えない。

意味の無いことを意味があるように言ってもしょうがない。

スタンダードな解析に無限小の数はないけど、無限小の関数は確かにあるからなあ

　
　0.99....=1じゃない
　lim[n → 1-0]は極限値は1、この値自体は1にならないが、何に限りなく近づくという意味での値は1
　分かる？
　

もうここに貼ってみるわ
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9743425.html

>>1-1000
クソ運営乙

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