>>147
赤線部分は、左ページの Alt の定義式で
Alt(T)(v_1,...,v_j,...,v_i,...,V_k)
を展開したものだから、自明としか。

Spivakのは、
Alt(T)(v) def= (1/k!)Σ[σ∈S_k](sgn　σ)T(σv)
より
Alt(T)(τv) = (1/k!)Σ[σ∈S_k](sgn　σ)T(στv)
= (1/k!)Σ[σ'∈S_k](sgn　σ'τ)T(σ'v)　　　　　　　　;σ'=στ
= (1/k!)Σ[σ'∈S_k]-(sgn　σ')T(σ'v)
= -Alt(T)(v).
で素直。

君のは、
Alt(T)(τv) = Alt(T)(w)　　　　　　　　;w=τv　　　　
= (1/k!)Σ[σ∈S_k](sgn　σ)T(σw)　　　　　　　　←[1]
= (1/k!)Σ[σ∈S_k](sgn　σ)T(τσv)　　　　　　　　←[2]
= (1/k!)Σ[σ∈S_k]-(sgn　τσ)T(τσv)
= -Alt(T)(v).　　　　　　　　　　　　　　　　;σ''=τσ
だから、むしろ
[1]から[2]への式変形で
総和変数 σ を置き換えたこと (στv≠τσv) を
説明したほうが親切。