>>37

∂/∂x f(0, 0) = lim [f(h, 0) - f(0, 0)] / h = lim f(h, 0) / h = lim 0 / h = 0
∂/∂y f(0, 0) = lim [f(0, k) - f(0, 0)] / k = lim f(0, k) / k = lim 0 / k = 0

f(x, y) が (0, 0) で微分可能であるならば、微分係数 Df(0, 0) は

Df(0, 0) = [∂/∂x f(0, 0) ∂/∂y f(0, 0)] = [0 0]

でなければならない。

f(h, k) - f(0, 0) - Df(0, 0)*(h, k)^T = f(h, k) - 0 - [0 0]*(h, k)^T = f(h, k) = (1)

(1) = k (h ≠ 0)
(1) = 0 (h = 0)

|f(h, k) - f(0, 0) - Df(0, 0)*(h, k)^T| / sqrt(h^2 + k^2)
=
|f(h, k)| / sqrt(h^2 + k^2)
=
(2)

h = 0 のとき、

(2) = 0

h ≠ 0 のとき、

(2) = |k| / sqrt(h^2 + k^2) → 0 (k → 0)

よって、

f(x, y) は (0, 0) で微分可能であり、微分係数は Df(0, 0) = [0 0] である。