n＝1,2 のときは成り立つので、n≧3 として考えればよい。
(Σ(a_i))^2＝Σ_{i=1,,n}(a_i)^2＋2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j)
なので、
(n−1)Σ_{i=1,,n}(a_i)^2−2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j)≧0
を示せばよい。
A＝(n−1)Σ_{i=1,,n}(a_i)^2、B＝2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j)
とおく。Bにおいて各積 a_i・a_j 1≦i＜j≦n は、Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) に1つずつ含まれるから、
Bには2個ずつ含まれる。よって、Bから各積 a_i・a_j 1≦i＜j≦n を取り出す方法の個数bは ＝1/2・n(n−1) 通り。
Aの Σ_{i=1,,n}(a_i)^2 から異なる2つの実数 (a_i)^2, (a_j)^2 を取り出す方法の個数aも ＝1/2・n(n−1) 通りで、a＝b。
1≦i＜j≦n なる整数 i, j を任意に取る。Aの Σ_{i=1,,n}(a_i)^2 から (a_i)^2, (a_j)^2 を取り出す。Bから a_i・a_j を取り出す。
(a_i)^2＋(a_j)^2−a_i・a_j＝1/2・( (a_i)^2＋(a_j)^2 )＋1/2・(a_i−a_j)^2≧0 。
i, j は任意だから、i, j を 1≦i＜j≦n を満たすように走らせれば、n≧3 から A−B≧0 を得る。