不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net

三角不等式
AM-GM不等式
Cauchyの不等式
Chebyshevの不等式
Holderの不等式
Jensenの不等式
並べ替え不等式
Maclaurinの不等式
Newtonの不等式
Power Mean不等式
Minkovskiの不等式
Bernoulliの不等式
Muirheadの不等式
Karamataの不等式
ぬるぽビッチの不等式

>>7
不等式（大関・青柳）
復刊キボンヌ！

不等式への招待
は尼でオンデマンド版が買えるけど

>>9
( ﾟ∀ﾟ)つ [2]　不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）

>>12 こんの、ハゲーーーっ！！

1001 1001 Over 1000 Thread
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
life time: 1569日 3時間 9分 28秒

約4年かかってて草

全国521駅｢10年累計鉄道自殺数｣ランキング
2016年06月22日
西八王子駅（東京）……39件
桶川駅（埼玉）…………34件
川崎駅（神奈川）………31件
新小岩駅（東京）………30件
新宿駅（東京）…………30件
八王子駅（東京）………30件
http://toyokeizai.net/articles/-/123503


ＪＲ川崎駅前にマタハリー(ピア、サントロぺ)のパチンコ台が約１８００台、パチスロ台が約１０００台ほどある。

その台はすべて、遠隔操作されています。

大勝ちしてる人のほとんどが内子です(ピアは内子の人数が日本一多い、詐欺犯罪組織です)。

今は大手のパチンコ店の大当たりはすべて遠隔大当たりなんです。

大当たりはアホ幹部がパソコンを１、３回クリックして大当たりさせています。

借金が原因で自殺してる人が多いけど、その原因は遠隔大当たりしかないパチンコ、パチスロなんです。

新小岩と新宿にはマルハンとエスパスがあります(エスバスは新宿歌舞伎町で一番大きなパチンコ店)。

西八王子駅の隣駅の八王子駅にはピアがあります(八王子駅にはパチンコ店がたくさんあります)。

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Σ(a_i)^2≧(1/n)(Σ(a_i))^2

和は１からｎまで
a_iは実数です

これって成り立ちますかね？


a^2+b^2≧(1/2)(a+b)^2
a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2
みたいな感じです

成り立つならその証明を、成り立たないなら反例をおしえてほしいです

>>26
まずは、ageるな。
ageると、￥が荒らしに来るから。

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>>26
成り立つことの証明は
分からない問題はここに書いてね428
の>116に書いてあるよ。

>>26
B＝2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j)
から各積 a_i・a_j 1≦i＜j≦n を取り出すときは
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分から取るという話ね。

>>26
>>30の訂正：
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分 → B の Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分

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〔問題216〕
実数a〜dについて
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,

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わざわざほかのスレに貼るのやめろよ

うむ、他スレで見かけた不等式を収集するのは別だが。

>>42
左辺が ｐｐ+ｐｑ+ｑｑ の形になるのは、アイゼンシュタイン整数Ｚ[ω］のノルムみたいなもの？

ナゴヤ△と関係あるの賀茂鴨

>>47

ナゴヤ△　＝　ノルムが平方数であるアイゼンシュタイン整数

>>47-49
ナゴヤ△は、乗法について閉じている。

実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、
(x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。

>>51
右：
y は x、z の中間にある、とする。
y を x、z の中間で動かすとき、
|x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2,
∴y=(x+z)/2（等間隔）のとき最大で
(与式）≦（1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2,
等号成立は（x,y,z）=（±1/√2, 0, 干1/√2）

B.4599
Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2.
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201401&t=mat&l=en

この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ？ うまく見つけられなかった。
　-1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2

いい証明方法ない蟹？

>>53

sin(x) + cos(x) = y とおく。
1 - sin(x)^5 - cos(x)^5
　= (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
　= (1/4) (1-y)^2 F(y)
　≧0,

F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0,

1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
　= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
　= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
　≧ 0,

F(-y) = 4-3y+2yy-y^3 ≧ F(√2) = 8 - 5√2 > 0,

を使うとか。

>>54　

補足
F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2}
≧ F(-√2)
= 8 -5√2,

訂正
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
　= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(−sin(x)−cos(x))
　= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
　≧ 0,

>>47-50

　｜a - bω| = c,
　aa+ab+bb = cc,
とする。
ピタゴラス数との類推により
　a = mm-nn,
　b = (2m+n)n,
　c = mm+mn+nn,
と表わせる。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2570_b9.htm
http://akademeia.info/index.php?アイゼンシュタイン三角形
http://ameblo.jp/knife1968/entry-10319197699.html

〔Golden-Thompsonの不等式〕
A、Bがエルミート行列のとき、
　tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)｝

S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965)
数セミ増刊「数学の問題　第(2)集」日本評論社（1978）No.96

No.96

>>956 (3)

｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）≒ ｅ^(1/e + 4/x + …)

Lim[x→∞］｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）= ｅ^(1/e）= 1.444667861

Ono Inequality
http://mathworld.wolfram.com/OnoInequality.html

>>60
http://ja.wikipedia.org/wiki/ピコーンの等式

>>61
http://ja.wikipedia.org/wiki/オノの不等式

>>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。

T.オノって何者だ？

Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2

不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
（つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…）

実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2

さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？

>>66 上

a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
　= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
　≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）

* Ravi変換とかいうらしい。

>>69の訂正

(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2

(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24

B.3989
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en

a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.

A.422、B3987 にも不等式があるね。

>>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。

x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,

x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,

>>72

B.3987
　中の b+c に注目する。
　（a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad
　≧（b+c){(a+b)＋(c+d)}
　≧ 2｛√(a+b)｝（b+c）｛√(c+d)},
　循環的に掛ける。

B.3989
　a=2cos(A)，b=2cos(B)，c=2cos(C) とおく。A+B+C=π
　cos(x）は下に凸だから
　a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)｝≦ 6cos((A+B+C)/3）= 6cos(π/3) = 3,

ご参考
　http://ameblo.jp/ineqfebot-sol/

>>73 訂正

B.3989
　cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。

(別解)
　a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様

>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…

以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3

(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
と書いている者もいる。証明は未確認。


民明書房刊 「不等式ヲタの異常な蒐集癖、または私は如何にして心配するのを止めて不等式を愛するようになったか」より
(1) 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
(2) USAMO 2001 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2001_USAMO_Problems/Problem_3
(3) >>72 B.3989 https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en
(4) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128
(5) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequalities_sm

>>77

(3)　はイランMO-2002、A16 かな？

Solution 見ても出典が無い。ほんとに　KoMaL


「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005）

>>76

〔B.3987.改〕
k≦L　のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1}

>>69

[第5章.667]
a+b+c+d = s，ab+ac+ad+bc+bd+cd = t，abc+abd+acd+bcd = u とおく。
　2tt - (9/2)su =（ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
　2st - 12u =（a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴　2t^3 ≧ 27uu,

〔B.3987.改〕の略証を

>>76
　a_2 + a_3 + … + a_k = s とおく。
　(a_1+a_2+…+a_k)(a2+a3+…+a(k+1)) = (a_1 + s)(s + a_(k+1)) > s{a_1 + s + a_(k+1)}
　巡回的に掛ける。

>>79
　k=L のときは >>76
　k<L のときも
　{Ｐ_k Ｐ_L}/{Ｐ_(k-1) Ｐ_(L+1)｝=｛(Ｐ_k)^2/Ｐ_(k-1)Ｐ_(k+1)}×{(Ｐ_(k+1))^2/Ｐ_k Ｐ_(k+2)}×
…… ×{(Ｐ_L)^2/Ｐ_(L-1)Ｐ_(L+1)} > 1,

>>69

[第2章.144]
0 ≦ a ≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3 - 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧0,
等号成立は (a,b,c) = (0,2/3,1/3) とその rotation

カナダMO-1995 A.5
安藤哲哉：「不等式」数学書房（2012) 例題2.2.12(7)

>>69

[第6章.908]
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
st = (aaa+bbb+ccc)＋(abb+bcc+caa)＋(aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
pq = T+uS+3uu ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
∴ S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3) ≧ 3√(3Su),
ここに、S=aaa+bbb+ccc、T=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3、U=(abc)^3.

Casphy!-不等式2-177

そういえば、数蝉2017.08のエレガント第２問が、関数の最大最小値問題だったね。締切まで答えは書けないけど。

学コンの答えを締切前に発表したら刑事事件に発展するの？
業務妨害？

■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■

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学コン厨がage荒らしをして、￥が荒らす。
面白スレや数セミスレでもよく見かける数学板の風物詩。

■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■

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>>84 の訂正...

(a+b+c)(aa+bb+cc) = (aaa+bbb+ccc) + (abb+bcc+caa) + (aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),

◆◆◆馬鹿板をスルと脳が馬鹿汁漬けになってアホになります。そやし止めるべき。◆◆◆

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>>70 (2)

s = st/9 + 2s/3 ≧ u + 2√(t/3) = u + 2,

◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇

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>>114
ごめん、>>71と同じ問題だった。

◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇

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>>70 (2)
解答 >>112
参考 https://math.stackexchange.com/questions/181121/inequality-abc-geqslant-abc-2?rq=1

>>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(6) (a+b)^(1/2) + (b+c)^(1/3) + (c+a)^(1/4) < 4
(7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

(6) https://math.stackexchange.com/questions/1805719/prove-sqrt2xy-sqrt3yz-sqrt4zx-4?rq=1
(7) https://math.stackexchange.com/questions/1444454/inequality-with-x2y2z2xyz-4-condition?noredirect=1&;lq=1

(A) a,b,c>0 の AM,GM,HMをA,G,Hで表すとき、A+H ≧5*(G/6)^(1/3)
(B) a,b,c>0、a+b+c=3 のとき、a^(ab)b + b^(bc)c + c^(ca)a ≧ 5^(1/6)

(A) https://math.stackexchange.com/questions/1806146/prove-fracxyz3-frac3-frac1x-frac1y-frac1z-geq5-sqrt3-fracxyz?noredirect=1&;lq=1
(B) https://math.stackexchange.com/questions/1774767/prove-aabbbbccccaa-geqslant-sqrt65?rq=1

条件不等式のデータベースを作りたいね。
たとえば、上のような a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 かつ a,b,c>0 のときに成り立つ不等式がいろいろあるけど、
条件を代入して検索したら、それをみたす不等式がずらーっと出てくるような。

>>118
(誤) (7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
(正) (7) 4(ab+bc+ca-abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

>>70
結局、a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=3 のとき、a+b+c≧3 と 1≧abc が成立し、それをコッソリ使っていたのか…。
　a+b+c ≧ 3 ≧ 2+abc

種明かしされると何でもないけど、a+b+c≧2+abc をパッと見たとき、次数を合わせるために、
左辺と右辺の第１項に ab+bc+ca、右辺第2項に 3 を掛けてみて…、ずっと悩んでいた。

>>70 の別解。

c = (3-ab)/(a+b) より、
(左辺)-(右辺) = [(ab-1)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2}/(a+b) ≧ 0.

>>123
対称性を崩したくないのと、計算が面倒そうで、一文字消去は考えもしなかった。

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[2009 大阪教育大]
(1) 実数 a,b が、a>0、ab≧4 をみたすとき、a+b≧4 を示せ。
(2) 実数 x,y が、x>0、(x^8)(y-x^2)≧4 をみたすとき、x(x+y)≧4 を示せ。

(1)のヒントがなかったら、(2)はどうするんだろう。(1)があってもムズいが…。

>>136
(2)の結論の式は、等号は成り立たんよなあ。

▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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>>77
> a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。
> (1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
>
> 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…

過去スレを漁ってみたら、たぶん、以下の問題と混同してしまったっぽい。
条件式が ab+bc+ca+abc=4 で違う。申し訳ないでござる。
反例をうまく見つけられんけど、 a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときには成り立つのかな？


[不等式スレ第４章 701]
> 701 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/08/29(日) 23:19:11
> a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき、a+b+c≧ab+bc+caを示せ
> 「大学への数学 2010-7 宿題」
>
> （解1） b+c=s、bc=t とおくと、a=(4-s)/(1+t)で、
> 0 < t ≦ (s^2)/4 で f(t) = -t^2+(s-1)t+s^2-4s+4 ≧ 0 を示す
>
> （解2 >>143） a≦b≦c とおくと a≦1≦c で、
> a+b+c-(ab+bc+ca) = {ac(1-a)(c-1)+(a+c-2)^2}/(1+ac) ≧ 0
>
> 解説には、「今のところ対称性を崩さない綺麗なジャイアンは見つかっていない」とある

▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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>>77(4)
2+a = 1+1+a ≧ 3*a^(1/3)
2+b = 1+1+b ≧ 3*b^(1/3)
2+c = 1+1+c ≧ 3*c^(1/3)
∴(2+a)(2+b)(2+c) ≧ 27*(abc)^(1/3)

ところで、a,b,c>0 かつ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときに、
「Easy to get that abc≦1」 とあるけど、どのようにして分かるんでせうか？
http://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128

▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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>>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(8) bc/a + ca/b + ab/c + a + b + c ≧6
(9) sqrt(bc/a) + sqrt(ca/b) + sqrt(ab/c) ≧ sqrt(8+abc)
(10) sqrt(a/(bc)) + sqrt(b/(ca)) + sqrt(c/(ab)) ≧ 1 + 2/sqrt(abc)

https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequalities_sm

どうやるんだろう…

>>153
各辺が周期πをもつばあいは、（最寄りの mπ から π/2 以内にあるとして）mπずらすことが可能でござる。
（オリジナルの周期は2πゆえ）たとえば絶対値を付けて
　cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧ ｜sin(cos(x))｜,

>>153 （続き）

-π/2 ≦ x ≦π/2 に対して
　cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧｜sin(cos(x))｜
ゆえ、任意の実数に対して成り立つ。
　左の等号　x=mπ
　右の等号　x=mπ±π/2


〔類題〕
　0.107126944873 ≦ cos(sin(x)）-｜sin(cos(x))｜≦ cos(1）〜 0.54030230
　左の等号　x=mπ±0.692728570
　右の等号　x=mπ±π/2

>>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)

基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。

>>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。

[不等式 第7章]
> 241 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ

これも証明できていない…

ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html

>>137

x(x+y) ≧ 4.283918322582003
（x=1.1960916895833343　y=2.3855052397246037)
　3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根

>>167
さんくす。今夜読んでみます。

Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok?

>>170
>>2 [3] 「不等式への招待」(1987）p.28-30 を読むと

　B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2

コーシーより
　Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / ｛Σ[j=1,n] x_j B_j｝,

ゆえ
　(Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。

n=3,5 の場合は
　{1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,

n=4 のとき
　(x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,

n=6 のとき
　(1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
　ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど…

>>170

n=3（Nesbitt）の方はそれで おk ですね。ほかにも
　
a/(b+c）=（1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。

a/(b+c）=（a+b+c)/(b+c） - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。

など種々ありますね。
http://mathtrain.jp/nesbitt

ピコーン太郎が歌う…

I have a function u(x) which satisfies｛p1(x) u '(x)｝' + q1(x)u(x) = 0.

I have a function v(x) which satisfies｛p2(x) v '(x)｝' + q2(x)v(x) = 0.

mmmmmmmmmmmmmm

Picone identity

{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2,

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>>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1235638p6275527

さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)

>>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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ageるとコピペ荒らしが来るから、sage進行で行きましょう。
まぁ Jane Style を使っているから、荒らし自体は あぼーんされて見えないけど、
無駄にレスが消費されて、すぐに次スレを立てないといけなくなるから。

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>>184

(a+c)(a+b+c) = (aa+ac+cc) + (ab+bc+ca）だから

{(a+c)(a+b+c)}^2 ≧ 4(aa+ac+cc)(ab+bc+ca).

bが a,c の中間になくてもいいんぢゃね？

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>>184 >>202

3a=A、b-a=y、c-a=z とおく。（x=y+z)

　a+b+c = A+x,
　ab+bc+ca =（AA +2Ax +3yz)/3,
　abc = (AAA +3AAx +9Ayz)/27,
　aab+bbc+cca = (AAA +3AAx +3Axx +9yyz)/9,

(a+b+c)^5 = (A+x)^5 = A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,

27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa) = A^5 + 5A^4･x + AAA(9xx+3yz) + AA(6xxx+9xyz+9yyz) + A(9x+18y)xyz + 27yyyzz,

81(ab+bc+ca)abc = A^5 + 5A^4･x + AAA(6xx+12yz) + 27AAxyz + 27Ayyzz + 0,

A^i の係数の差（A^0 の項が 27yyyzz ≦ (2916/3125) x^5 であること等）を考慮して適当な重みを定める。

>>71 (4)
AM-GMを2回。ユルユルでござった。改造の余地ありまくリング。

>>225
>>201のようなカラクリはないのかな？

>>166
> 14. Prove that for any positive numbers a1, a2, ... , an we have:
> a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + ... + an-1/(an+a1) + an/(a1+a2) > n/4
http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov69.html

Shapiroよりユルユルだから、エレガントな証明方法があるんかなあ？

>>227 （続き）

14. Shapiro
[初代スレ.497-502]
[第2章.284-285]
[第3章.172-173, 218-220]
[第4章.463-470]

n≦6の解法
[第2章.889-890]
[第8章.170-172]

作ってみたけど、簡単な証明あるかな？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

a,b,c>0 に対して、{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ 3(a+b+c)/2

>>229
さんくす。過去スレは宝箱ですなあ。

さて、本題に戻って…

(a+b+c)^5 ≧（ab+bc+ca）｛27(K+1)(aab+bbc+cca) -81K･abc｝

とおいて、A^i の係数を求めます。　>>225

A^3 の係数から
　K ≦ 1/3,

A^2 の係数から
　K ≦ 0.182688493788
　（等号成立は y/z = 1.52984518）

A^1 の係数から
　K ≦ 0.07648328329
　（等号成立は y/z = 1.5765615）

A^0 の係数から
　27yyyzz = (2916/3125)(5y/3)^3 (5z/2)^2 ≦ (2916/3125)(y+z)^5 = (2916/3125）x^5,
　K ≦（3125/2916）- 1 =（209/2916）= 0.0716735…
　（等号成立は y/z = 3/2）

なんか上限がだんだん下がって来て窮屈ですが･･･
　K =（209/2916）とすれば OKです。

------------------------------------------------
（訂正）
27（ab+bc+ca) (aab+bbc+cca）= A^5 + 5A^4･x + …

>>232
さすがなり。 >>230の元になった問題は以下。
https://math.stackexchange.com/questions/1483425/olympiad-inequality-problem-with-abcabc-4?rq=1

　a,b,c>0、a+b+c+abc=4 に対して、
　(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(4-abc)^3

条件 a+b+c+abc=4 は、右辺を難しそうに見せるだけのノイズと見て削除して、

　a,b,c>0 に対して、
　(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3

これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、他に易しい証明ないかな？
この右辺を弄って >>230 を得る。

>>234
> 　a,b,c>0 に対して、
> 　(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
>
> これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、

について、蛇足。

{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}^(1/3)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^(2/3) ≧ a+b+c

>>225 >>233
　参考のため残しておきまつ。

(a+b+c)^5 -（ab+bc+ca){27(1+K)(aab+bbc+cca）- 81K･abc｝における

A^3 の係数：
　(1-3K)(yy-yz+zz),

A^2 の係数：
　(4-6K)yyy -（6+9K)yyz + 3yzz +（4-6K),

A^1 の係数：
　5y^4 -（7+27K)y^3･z -（6+9K)yyzz + (11-9K)yz^3 + 5z^4,

A^0 の係数：
　(y+z)^5 - 27(1+K)yyyzz,

y≧0、z≧0 において上記がすべて非負となるような K≧0
を取れば十分でござる。
（x=y+z を使った）

>>234-235
　コーシーで一発でしたか... 参ったでござる。

>>184 >>201 >>214 を改造...

a+b+c = s、ab+bc+ca = t とおく。

{(a+c)s}^2 - 4(aa+ac+cc)t = (aa+ac+cc - t)^2 = δ

ss - 3t =｛(a-c)^2･t + δ}/(a+c)^2 ≧ t|(a-c)/(a+c)|^2,

>>232
> *）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z

｛2√(yz）-x}/2√x +｛2√(zx）-y}/2√y +｛2√(xy）-z}/2√z を計算しないといけないのでは？

0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)

>>240 をプチ改造。
> 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2*sqrt{(sin x)*(cos x)} ≦ 2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)

>>238
（大意）
ss/t の値は、a,b,c が似たり寄ったりのときは3よりチョト大きいだけだが、
a,b,c が極端に違うときは（2変数値の）4に近いよ。


>>239
略しすぎた…
{2√(yz) -x}/(2√x） = ｛√(yz)}/(2√x） + ｛√(yz) - x}/(2√x),
のように分けたのでござる。
後ろの項は 巡回和すれば ≧0 でござる。(*)

ついでながら（**）の方も 1/2 が抜けてますな。トホホ

>>240-241

t = 2sin(x)cos(x）とおくと、0≦t≦1

一方、f(t）= 2^t は下に凸で f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 を通る。

0≦t≦1 では
（t=1、t=2 の割線）より上で、（t=0、t=1 の割線）より下。
∴ 　2t ≦ f(t) ≦ 1 + t ≦ 2,
4sin(x)cos(x）≦ 2^{2sin(x)cos(x)｝≦ 1 + 2sin(x)cos(x）≦ 2,
各辺≧0 ゆえ平方根をとる。

>>243
実にエレガント！

元ネタは [数蝉NOTE (2005.08締切分)]
x, y≧0 かつ x^2 + y^2=1 のとき、2^(xy) ≦ x+y ≦ sqrt(2).

まず、0 ≦ (x-y)^2 = 1-2xy より、0 ≦ xy ≦ 1/2 だから、

右 ： (x+y)^2 = 1+2xy ≦ 2.
左 ： (x+y)^{1/(xy)} = (1+2xy)^{1/(2xy)} ≧ 1 + 2xy*{1/(2xy)} = 2.

ベルヌーイの不等式を用いて、鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん…。

まぁ、いろんな証明方法が身につくから褒め言葉なんですがね → 牛刀。

夏休みだから賑わってるのかな？

>>246
君も混ざれ！

おめでとう
君は質問スレと面白スレの次くらいに人がいるスレを見つけた！！

>>248
上げるなよ。コピペ荒らしの被害を受けるだろうが！ 迷惑な奴め！

どうしてそういう嫌がらせをするのかな？ やる気なくすわ…。

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〔問題1.96改〕
x, y, z ≧ 0 のとき
　x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,

ルーマニアMO-2007（改）
［9］ 佐藤、演習問題1.96（改） >>2

-------------------------------
（略証）
yはxとzの中間にあるとする。
（x-y)(y-z）≧0,
　xx+yy+zz-xy-yz-zx =（x-y)^2 +（x-y)(y-z）+（y-z)^2,
　x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝,
辺々掛けて
　x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3
　= |x-z|^3
　≧4|(x-y)(y-z)(z-x)|,

〔楠瀬の不等式〕
x, y, z≧0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ k｜(x-y)(y-z)(z-x)｜,
　但し k = √(9+6√3）= 4.403669475･････

数セミ創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
　出題： 1992年4月, p.79
　解説： 1992年7月, p.59-60
　[初代スレ.836-869]

なんで k の値が、上では 4 なのに、下では4より大きくなってるん？ 上では等号は成立しないの？

>>263

　>>261 は少しユルいのですが、簡単・便利な式です。
　x=y=z のときは等号が成立します。

　>>262 のkの値は「限界」で、もうこれ以上改良できません。

今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています

>>265
ageるなよ！

＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃

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>>265
馬鹿がageるから、コピペに荒らされる・・・

＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃

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中身のある書き込みがあると 中身のないレスでageる奴が現れるような気がする。

今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています

今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています

今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています

上げるなボケ！

質問スレに逝けよ

>>284
すまんこ

>>285
許してクレメンス

>>262
以前>>261を改良して得たけど既にやられてたんだね
エレガントな解放が知りたい

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>>261
まずココが分かりません。
> 　x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝

次にココ。辺々掛けたら |x-y|^3 + |y-z|^3 + C にならないかな？
> 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3

最後にココ。AM-GMでもないし何だろう？
> 　|x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|

＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃

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>>299
それでは｜x-y｜= a，｜y-z｜= b とおきましょう。

まず
0≦x≦y≦z のとき
　x+y+z = 3x + 2(y-x）+（z-y）≧ 2(y-x）+（z-y) = 2a + b,
x≧y≧z≧0 のとき
　x+y+z =（x-y）+ 2(y-z）+ 3z ≧（x-y）+ 2(y-z）= a + 2b,

次に、辺々掛けると
　(2a+b)(aa+ab+bb）= a^3 +（a+b)^3 ≧（a+b)^3,
　(a+2b)(aa+ab+bb）=（a+b)^3 + b^3 ≧（a+b)^3,

最後は、
　(a+b)^2 = 4ab +（a-b)^2 ≧ 4ab,

sage厨が湧いてくるぞ

＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃

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>>312
荒らしが逆切れすんなよ

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ageる奴ってほんま糞だな
ケツに「＞」をぶち込んで拡張してやりたい

＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃

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>>349

φ =（1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、

φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,

上限は
　（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＜ φ/(φ-1）= φ+1 = （3+√5)/2,


なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,

下限は
　（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＞（φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2,