面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/

積み残し

937 １３２人目の素数さん 2017/08/04(金) 14:40:03.29 ID:S6Ck6bY/
地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側（高緯度側）を通るためのA,Bの位置関係を答えよ。
例えば東京とロンドンはこの位置関係にある（飛行機はロシア上空を通過する）。



地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で（大圏航路で）移動する。
また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円（大円）の弧になることが知られている。

重複してもうた
本スレは↓

面白い問題教えて〜な 24問目 [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/

☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

複素係数の一般の多項式が1度でも因数分解できるかどうかを判定するアルゴリズムって存在する？
(一般の多項式の解を加減乗除や開根で求めるアルゴリズムは存在しないけど、因数分解であって因数定理じゃないからね。そこは注意)

>>9
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

>>9-10
複素数体上で因数分解できる（可約）ことは、代数学の基本定理（ガウスの学位論文）なりけり。

（大意）
　しかし位相的な概念が未開拓の時代に、多項式の軌跡がある点のまわりを何周するか表示するのさえ一苦労だった。
それを現代的な表現形式に整合しないと言って批判するのは 2x2=4 と同じぐらい簡単なことだなあ。

今では解析的に「整関数」とか持ってきてリュービルの定理を使うのが早いかも。

>>51
君は黙ってた方がいい

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

>>9-10
話が逸れてしまった。ｽﾏｿ

根を求めずに（2次以上の）因数を直接求めるアルゴリズムがあるかどうか、ですね。

例えばx^2-y^3∈C[x,y]という多項式をどうやって因数分解するんですかね……
代数学の基本定理使っていいよ(どう使うのか知らんけど)

(x+y^(3/2))(x-y^(3/2))

多項式環の中での分解じゃないんかーい

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

>>55 >>57
xの多項式の積に因数分解しますた。

それなら2次以上の全ての多項式は(適当に変数を固定した上で)代数閉包の中で因数分解出来出来るから、そもそもの「因数分解可能性判定のアルゴリズム」を考える意味がないな

↑
阿呆の典型

多変数多項式環でそんなこと…

代数閉包じゃなくて整閉整域の間違いだろ

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

惨めな奴

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

1から9までの数を1つずつ成分に持つ3×3行列の行列式の最大値を求めよ

さっぱりわからないな
どこがどう面白いのか

>>63
君は黙ってた方がいい

>>67
まず1^2〜9^2の和285を求めて
3等分すると95
3つの2乗和が95に近い組み合わせは
(9,3,2)と(8,5,1)と(7,6,4)
なるべく垂直に近くなるように組み合わせて
|9,3,2|
|1,5,8|=98
|6,4,7|

148
726
593
=412.

どーやって出したの−？

しらみ潰しにやっても9!=362880通りでしょ

A_N={a^2+b^2 | a,b∈N}={1,2,5,8,10,13,…}
と
A_Z={a^2+b^2 | a,b∈Z}={0,1,2,4,5,8,9,10,13,16,…}が、それぞれ乗法に関して閉じていることを示せ。
すなわち、2平方数の和で表せる数どうしの積も2平方数の和で表せることを示せ。

反例
(1^2+1^2)*(1^2+1^2)=4

A_Nの方は無視して下さい。

(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2

(1)tan(π/n)が有理数となるような自然数nは1,4のみであることを証明せよ

(2)格子点を結んで出来る正多角形は正方形のみであることを示せ

>>77正解

【解説】

Brahmagupta–Fibonacci の恒等式（Brahmagupta の2平方恒等式、Diophantus の恒等式）
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2　…★

x,yをn次元列ベクトルとすると
Lagrange の恒等式
|x・y|^2+|x×y|^2=|x|^2|y|^2
が成り立つ。
★はこの特別な場合（n=2でx=[±a,±b]T, y=[±c,±d]T（複号任意、Tは転置））である。

★は
Euler の4平方恒等式
Degen の8平方恒等式
Pfister の16平方恒等式
の特別な場合でもある。

★は
Brahmagupta の恒等式
(a^2+nb^2)(c^2+nd^2)=(ac+nbd)^2+n(ad-bc)^2=(ac-nbd)^2+n(ad+bc)^2
の特別な場合（n=1）でもある。
この恒等式は、あるnについてB_n={a^2+nb^2 | a,b∈Z}が乗法に関して閉じていることを示している（B_1=A_Z）。

このせっかく書いた解説を貼りつけたかっただけなんだよね

ここが次スレになったの？

誰も建てないから！

部屋に４Ｘ４のマスの盤があります。
悪魔はＡ、Ｂを部屋の外に待機させ、この盤に碁石（黒石）をランダムに置いていきます
尚、各マスに置ける黒石は一つです
黒石を配置したあとＡを部屋の中に入れ１以上１６以下の整数のどれか一つを告げます
Ａは４Ｘ４のマスの盤の上に
�@黒石が置いていないマスに一つだけ黒石を置く
�A黒石が置いてあるマスから一つだけ黒石を取り除く
のいずれかの操作を一回だけ行います
その後Ｂを部屋の中に入れ、Ｂは盤の様子を見てＡに告げられた整数を当てます

Ａ，Ｂはどのような戦略を取ればよいでしょうか？
尚Ａ、Ｂは初めの配置を知りません
ルールを知った上で開始前に戦略を打ち合わせることができます

確率の問題です。
2個並列の電池があります。
1個の電池が100時間で切れる確率は1%。
ただし1個が切れると、もう片方により負荷がかかるので、残った2個目の電池が100時間で切れる確率は2%に上がります。
さて、2個並列の電池が100時間のうちに�@0個切れる�A1個切れる�B2個切れる確率をそれぞれ求めよ。

マルチだらけだな

>>83
マルチだから、こっちも見ているのだろうから書いておくと

悪魔の告げる数字が何を意味しているのかが書かれていなければA、Bに代わって戦略を立てる手だてがない。
マルチ先の追加の書き込みをみると、４×４のマスには１から１６の数字を当てているようだが、そんなことは最初の問題には書かれていない。
Aの操作と告げられた数の間との関係が不明なのでそこから先、何も言えない。

総じて、問題記述とは何か、についての教養が足りない、というところか。

>>86
悪魔の告げる数字は１から１６までの整数でランダムです
Ａに告げた数字をＢに当ててもらうという意味です
１から１６の数字は便宜上割り振りました
Ａは数字を聞いた後一回だけ操作します

Ｂは悪魔が黒石を置いた盤面とＡに告げた数字、Ａがどこを操作したかわかりません

Ａ、Ｂは悪魔からルールをきいたあと２人で相談して、後にゲームをします

これでよろしいでしょうか

全然

>>88
というだけでは不親切なので書き足しておくと

悪魔がAに告げた数とAの操作との関係（ルールのことだ）が示されていなければ、
>>87の、Bに関することは全く無意味な設定であり設問。

パズルにもなっていない。

数字はなんでもよくて、Aの操作からそれを当てろって問題でしょ

Ａ
○○１　●○。
○○２　○●。
○●１　○○。
○●２　●●。
●○１　○○。
●○２　●●。
●●１　●○。
●●２　○●。

Ｂ
○○　１。
○●　２。
●○　１。
●●　２。

>>89

Ａ、Ｂは悪魔からルールの説明を聞いた後２人で相談し、Ａは悪魔が黒石を置いた
盤から一回だけ黒石を置く又は黒石を消去の操作で悪魔から告げられた整数
の数がＢにわかるようにする

尚一つのマスには黒石は一つしか置けません

インチキやとんちとかではなく数学的手法による理詰めもの問題です

Ａは一回の操作でＢに１から１６までの数字が読みとれるように操作します

盤には数字など書いてませんが二人の相談であらかじめ数字を割り振るのは問題
ないです

Ａは４回操作できるなら簡単だち思いますが

>>89
>ID:PmCavwN2
問題の意図が理解できてないね
2^16のパターンを16通りに分類してどのパターンからも16通りの変更パターンが別々の分類になるようにせよって問題よ

>>94
の表を元に
１、３、５，７、９、１１、１３、１５→１桁の１に対応

２、３、６、７、１０、１１、１４、１５→２桁の１に対応

４、５、６、７、１２、１３、１４、１５→３桁の１に対応

８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５→４桁の１に対応

>>97
より
悪魔の設定した盤面から１桁に対応する数字に置いてある石の合計が偶数なら０
奇数なら１とします
以下同様に４桁まで計算し１０進法に換算した数字が初期設定の数字になります

>>98
分からん

マスを００００〜１１１１に対応させる。
数を００００〜１１１１に対応させる。
Ａは石のあるマスと数の排他的論理和のマスを変える。
Ｂは石のあるマスの排他的論理和に対応する数を答える。

>>83
前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える。
盤面のマスに0から16までの通し番号をつけておく。
悪魔が告げた数が16の時は0とみなす。

Aの行動：悪魔が黒石を置いたマスのすべての番号および悪魔が告げた数を
２進法4桁で表し、それらすべての数について桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当するマスに黒石があれば取り除き、なければそこに黒石を置く。

Bの行動：黒石の置いてあるマスのすべての番号を２進法4桁で表し、
それらすべてについて桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当する数が悪魔が告げた数。（0のときは16とみなす）

かぶったorz

>>101
>前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える
そうですね、ご指摘ありがとうございました

>>101
誤：0から16
正：0から15

2べきならok?

>>83
悪魔が配置した黒石の総数が、操作前に偶数なら、操作後の黒石の数は奇数。
操作前に奇数なら、操作後の黒石の数は偶数。
この偶奇は悪魔依存でプレイヤーは変更できない。

操作後の石の総数が偶数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と偶数」か「奇数と奇数」になる。
操作後の石の総数が奇数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と奇数」か「奇数と偶数」になる。
これらに注意し、盤面に次のように点数を与え、操作後の盤面値が、通告された
整数になるように、いずれか一カ所マスに操作を行う
１列目と２列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら８
１列目と３列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら４
１行目と２行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら２
１行目と３行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら１
（操作前の盤面値と、目標の盤面値から、操作すべき一マスが定まる）

悪魔の問題は２進数から１０進数に１０進数から２進数に変換できる方を対象にしています

排他的論理和については知っていれば演算に便利です

０、　１、　２　、３
４、　５、　６、　７
８　、９、　１０　１１
１２、１３、１４、１５

>>97
より
１、３、５，７、９、１１、１３、１５→１桁の１に対応

２、３、６、７、１０、１１、１４、１５→２桁の１に対応

４、５、６、７、１２、１３、１４、１５→３桁の１に対応

８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５→４桁の１に対応

０から始まる盤面にそれぞれの桁の１に対応する数字を当てはめます

１桁の数字は１の縦列と３の縦列です
２桁の数字は２の縦列と３の縦列です
３桁の数字は４の行と１２の行です
４桁の数字は８の行と１２の行です

それぞれの縦列と横行を組み合わせることによって１６通り数に一回の操作で

変換することができます

１１１１を一回の操作で００００にするためには４桁の縦列、横行が重なる数字です

つまり１５のマスということになります

初期の２進数で得られた数字をそのまま変換したくないときは

１から４桁のそれぞれの縦、横が重ならない数字

つまり０のマスです

１１２のレスの４桁は１から４桁に変更します

悪魔が設定した盤面が２進数で１１０１（計算は９７、９８参照）、告げられた整数が

１１だとしたら、悪魔の告げた１１は１０進数（１〜１６）なので２進数（０〜１５）で計算

する場合ー１して１０、１０は２進数で１０１０です

排他的論理和の演算では

１１０１（＋を丸で囲う記号）１０１０＝０１１１、０１１１は７ですので７のマスを操作します

ＢはＡが操作した後の盤面から９７，９８の要領で計算すると１０１０が求められます

１０進数にすると１０ですが２進数（０〜１５）に基づいて計算した値なので１０進数（１〜１６）

では１加えて１１になります

操作する０１１１（７）は１桁、２桁、３桁を同時に切り替えすることになります

１０９のレスにある桁に対応する数字を見ていただくと７は１桁、２桁、３桁にありますが

４桁にはありません

つまり１、２，３桁は変更して４桁は変更しないということです

１０９のレスから初期設定で求められた２進数の各桁（各ビット）から

１と４のビットを変更したい場合には１と４のビットのみにある９のマスを操作することになります

尚、石が置いてあるマス、置いてないマスはー１又は＋１ですのでどちらも

偶数から奇数、奇数から偶数に変更できますので石が置いてあるマス、置いてないマス

に関わらず計算には影響を及ぼしません

計算する場合には１１０レスを４Ｘ４の盤面に投影して１ビットの縦列（２）、２ビットの縦列（２）

３ビットの横行（２）、４ビットの横行（２）をイメージして計算し、操作するマスは変更するビット

のみの重複する部分を探すようにすれば脳内計算が楽になるかも

とりあえず悪魔の問題の説明は終わらせていただきます

不明な点があれば遠慮なくどうぞ（次の問題が出せないし

誰も相手にしてくれませんでしたね

>>121
数学版は数学やパズルが嫌いな奴の集まりなのか？

パズル版は過疎ってるしな、囲碁や将棋版のほうがいいかもな

特にプロ棋士は考えるのが好きだしな、藤井４段に出してみるか

>>100,110
が出ているのに、何をゴチャゴチャ

間違えた。
>>100,101

>>106
2マスで1〜2もできたけど
2ベキなら同じようにできるの？
それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？

>>122
一般化して見てよ

>>89みたいなアホに絡まれてるときは気の毒だと思ったが、
いざ解答が書き込まれても無視してゴチャゴチャと
自分の見解を書くだけの人間だと分かったので
同情の余地なしだわな

>>125
106の回答者です。出題者ではありません。問題を見て考え、一定の方法に至り、
回答を作成しアップしましたが、実質的に同じ内容の回答がアップされていて、一番でなかった
のは少々残念でした。排他的論理和という言葉を使えば、すっきりですね。
ただ「４×４の盤」や「碁石」という設定にに即した回答を作り、あのようにしました。

>>それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？
出題者と勘違いされてのご指定だったのかもしれませんが、せっかくなので、私の考えをば。

マスの数は16。このマスのどれかを変更するので、加えられる情報は4ビット。
16マスを8マス−8マスに二分するという二分探索を4回できることに対応します。
この二分探索を適切に行うことを前提にすれば、2のべきのマスなら、可能といえるでしょう。

では、2のべきでない場合、どうでしょうか？
nマスからなる盤面(？)あり、悪魔からは、0〜n-1の整数が指定されるとします。
任意の盤面状態から、一マスの状態を変更することで、「盤面値」を0〜n-1のどれかに変更
できなければなりません。盤面の状態数は2^n通りあります。盤面値はn通りあるので、
ある盤面値に対し盤面の数は、2^n/nとなります。これは、nが2のべきでないと割り切れません。
つまり、盤面値によって、それに対応する盤面数が異なることがあることを意味します。
対称的でないと成立しなさそうな問題なので、無理なのでは？　というのが私の考えです。

出題者です、８Ｘ８マスで告げられる整数が１から６４の場合は１１１１１１は６３ですので

解答可能ですね

意味不明、パズルとして成立しない、不備だらけなどは嫌がらせとして無視します

サイコロがあります、一般に売られている普通のサイコロです

ＡとＢにサイコロを使ったゲームをしてもらいます

まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を

表示します、サイコロの一番上の目ですね

次に後手は４つある横の面のどれかに傾けます

例えば先手が１の目を出したら次に後手が出せる目は２、３、４、５のどれかになります

このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです

先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は？

先手が最初にだす目はランダムですけど、目を表示した瞬間に先手必勝か後手必勝か

が決定します

二人零和有限確定完全情報ゲームになりますので必勝法が存在します

>>131
サイコロの合計→サイコロの目の合計

コマ大かな？

母線1の円錐の体積の最大値は？

最小値=最大値=0 とかいう引っ掛け問題？

普通の問題

>>131
合計数が、
3+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
1,2,5,6+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,4,8+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
7+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝

従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、3または4を出したとき。
その他の場合は後手必勝

>>135
高さをhとすると半径は√(1-h^2)
体積をVとすると、
(V/π)^2=(h(1-h^2)/3)^2=(1/9) h^2 (1-h^2)^2=(4/9) h^2 ((1-h^2)/2)^2
≦(4/9) [(h^2 + (1-h^2)/2 + (1-h^2)/2)/3]^3 = (4/9) (1/27)
従って体積の最大値は2π/(9√3)　この値は、h^2=(1-h^2)/2　つまり　高さが1/√3　のとき
普通にやると、微分して極値を求める問題になるけど、
V^2で考えると、平易な相加相乗平均の問題にすることができるのが、このスレで出された理由かな

>>138
補足
ゴールに近い場合は、特殊処理が必要で、あの一般式は当てはまりらないことがあります。

コマ大、、、、コマネチ大ですね

>>138
最初の目が３の場合には後手は１の目が出せるので合計４になり後手は先手で

４の目を出したことと同じになりますが

合計が４で同じでも、出目の状態が４なのか、１なのかが異なるので、同じ状態ではありません。

先手が３を出し、後手が１を出してきた場合は、先手は４を出し、
「合計８、出目４」の状態で手を渡します
これに対し、後手版は、１２で渡せれば必勝パターンに持ち込めるのですが、現在の出目が４なので、
１２にすることはできません。

あれ！、あなた、出題者さんですよね。

先手３後手１先手４後手５。

先手３後手５。

>>142
とある理由で勘違いしてました、どうもすいません

先手が３を出し、後手が１を出し、先手が４を出してきた場合には

後手は５の目をだします

合計１３でのこり３１ー１３＝１８になります

>>先手３後手１先手４後手５。
「合計13、出目5」ですね。この状態を　[13(5)]　と表すことにします。この状態に対する手は４です
[13(5)]→4[17(4)]

>>先手３後手５。
[8(5)]→4[12(4)]

>>130
何で正方形にこだわるの？

>>143
>先手３後手１先手４後手５。

先手３の次後手は６の目をだします

あ、ちょっと待ってください。
>>このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
合計31はセーフなのですか？
31以上がアウトとして解きました。32以上がアウトなら、一つづつずれます。

>>145
先手３後手１先手４後手５先手４ですか

この場合後手は５を出します

５の目で次先手、合計２２、３１ー２２＝残り９になります

３１超がアウトなので３２になったら負けです

31以上が負けとして>>138は回答を作りました。
32以上が負けなら、一つずつずれます。勘違いしました。改めてアップします。

合計数が、
4+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,1,5+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
8+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝

従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、4または5を出したとき。
その他の場合は後手必勝。
ただし、ゴール近くでは、上の一般式が当てはまらないことがあります。

先手3は必敗手順になります。

>>151
９Ｋというのは９の倍数という意味でしょうか

先手が５を出した場合には後手は４を出します

悪魔の問題で正方形じゃない場合はということだったんですね

正方形でない場合は考えてませんでした

>>151
先手必勝状態は、一つずらしただけでは通用しませんでした。
修正します。３２以上になったら負けという条件では先手必勝は４の時のみです。

>>152
kを整数として、4+9k　という形で表せる整数の時という意味です。
つまり、4+9kというのは、4,13,22,31,40,...の値の時という意味です。
>>2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、
こちらは、2+9k、または、3+9k、または、6+9k、または、7+9k　という意味で書いています。

>>154
先手４で後手１の場合、先手は

>>156
4[4(4)]→1[5(1)]→4[9(4)] 以後分岐
→1[10(1)]→3[13(3)]または4[14(4)]
→2[11(2)]→2[13(2)]または3[14(3)]
→5[14(5)]→4[18(4)]
→6[15(6)]→2[17(2)]または3[18(3)]または4[19(4)]

>>157
に補足します。>>151を読めば、どのような手を取るか判るはずです。
必勝パターンに入っている場合ですが、次の手を指します。（複数実現できる場合はどれでも可）
・合計を4+9kにする
・3または4を出して、合計を0,1,5+9kにする
・2または5を出して、合計を8+9kにする

>>157
先手４、後手１、先手４、後手１、先手３又は４、、、

先手４、後手１、先手４、後手２、先手２又は３、、、、（後手２、先手２？

>>160
ここで言う、「先手」、「後手」というのは、ゲームスタート時どちらが先に手を打ったかという
意味だと思いますが、この観点は、あの説明には、関係ありません。
先手必勝パターンでスタートし、ずっと必勝パターンを保っていれば先手側への「虎の巻」だし、
先手必勝パターンでスタートしたものの、ミスをして、後手側に勝ち筋がやってきたら、後手側への
「虎の巻」になります。
後手必勝パターンからスタートし、ミスがなければ、後手側への「虎の巻」だし、
ミスをして、先手側に勝ち筋を渡してしまうと、先手側への「虎の巻」になります。

手番が自分に回ってきて、その直後の状態（＝操作を行うまえの状態）か、操作を行った後の状態かに注目します。
・操作を行う前の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである／必敗パターンである
・操作を行った直後の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである／必敗パターンである
等といろいろな言及の仕方がありますが、>>158で私が行った説明は、
操作直後の状態をこれこれにすれば（自分が）必勝パターンにある、あるいは、これこれにすることが出来るようならば、
必勝パターンにあり、出来ないならば、必敗パターンにあるというような形式での言及です。

自分の手番になって、操作を行い、相手に手番を渡す。
手番を渡す時のサイコロの目の合計を、4+9kにするか、0,1,5+9kにするか（出目は3か4限定）、
8+9kにする(出目は2or5限定)　この状態で手番を渡すことが出来れば、（自分の）勝ちパターンだし、
逆に、そのような操作がいずれも出来ないのならば、手番を受け取ったときにすでに負けパターンに陥っていたと言うことです。

さらに補足
　>>158は、操作「後」の状態を、これこれに「すれ」ば勝ちパターンという　という形で、
勝ちパターンの場合についてのみ説明を与えています。

　>>151は、操作「前」の状態を「見て」、これこれの場合は勝ちパターン、これこれの場合は負けパターンと
分類しています。
勝ちパターンを維持するためには、具体的にどのようにすればよいかを、直接的には書かれていませんが、
きちんと読み取れば判ります。
つまり、操作後の状態をここで分類している必敗パターンにすれば、いいのです。
そうすれば、相手は、必敗パターンで手番を受け取ることになるからです。

>>131
> まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を
> 表示します、サイコロの一番上の目ですね
この表示って何？
「先手になった人間がサイコロを振る」という意味でいいの？
で、「一番上の目」というのは「普通にサイコロを振って出た目」のこと？

> 次に後手は４つある横の面のどれかに傾けます
「サイコロを傾ける」って何？
『その「ある横の面のどれか」が上になるように転がす』ということ？

> 例えば先手が１の目を出したら次に後手が出せる目は２、３、４、５のどれかになります
>
> このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
で「合計」の対象は、「上になった面の目」の合計で
「次々に足し込んでいく」という計算でいいのかい？

> 先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は？
「最初に出す目」って『最初に「振って出てほしい目」』のことでいいんだろ？

なんか意味の取りずらい表現の連続だなあ

置くんじゃねえの？
問題の内容からして振る場面は一度もないんじゃないかと理解した
しかし「置く」と書くだけではっきりするのにとも思った
サイコロの通常の使用方法とは違うということをはっきりさせないとわかりにくい

単に置くということだと、先手は勝つという意図をもって置くことになるのだろうから
>>132　にある「先手が最初にだす目はランダム」とはどういう意味なんだろ

>>138
((2√3)/27)π正解

サイコロ３１の出題者です
分かりづらい点があるということですね

サイコロは最初に目を指定して置くと考えてください

数える目はサイコロの一番上の目です、一番上の目の合計ですね

>>161
相手に手番を渡す場合に

出目に関わらず　４＋９Ｋ

出目が３又は４で０、１、５＋９Ｋ

出目が２又は５で８＋９Ｋ

で相手に手番を渡せば必勝という意味ですね

出目に関わらず　４＋９Ｋ の場合には相手は４の目を出します

出目が３又は４で１＋９Ｋの場合には相手は１の目を出します

出目が３又は４で５＋９Ｋの場合には相手は５の目を出します

出目が２又は５で８＋９Ｋの場合には相手は４の目をだします

>>168
はい、その通りです。

>>169
下図左側は>>151の内容を見やすく表示し直したものです。
手番が来たときの合計数と、出目の状態から、必勝パターンか、必敗パターンかを判断できるものです。
そして、その右側には、それぞれの場合の対応手を添えました。
合計:＿出目状態＿:対応手
----:１２３４５６:
8+9k:○×○○×○:5
7+9k:○○○○○○:3,6
6+9k:○○○○○○:2,3,4
5+9k:○○××○○:4
4+9k:××××××:無し
3+9k:○○○○○○:1,5
2+9k:○○○○○○:2,3
1+9k:○○××○○:3,4
0+9k:○○××○○:4
>>169への対応手は、上から順に、8+9kなので5を出し4+9k型へ、2+9kなので2を出し4+9k型か3を出して5+9kの出目3型へ、
1+9kなので3を出して4+9k型か4を出して5+9kの出目4型へ、3+9kなので1を出して4+9k型か5を出して8+9kの出目5型へ

自然数nを選び、2nを元に3倍して2を足す操作を繰り返すと
nに関わらず、いつかは2の累乗になる？

　>>170に補足します。
これまでにも何度か書きましたが、一般式での判定はゴール近くでは少々変化します。
それに伴い、また、ゴールを越える手は負けになってしまうため、必勝手も変化します。
ゴール近辺での判定表と、対応手をアップします。

＿＿：----:１２３４５６:
３１：4+9k:××××××:無し
３０：3+9k:×○○○○×:1
２９：2+9k:○○○○○○:1,2
２８：1+9k:○○××○○:3
２７：0+9k:○○××○○:4
２６：8+9k:○×○○×○:5
２５：7+9k:○○○○○○:3,6
２４：6+9k:○○○○○○:2,3,4,6
２３：5+9k:○○××○○:4

>>172

残り０〜８までの対応手ですね

見たところ間違いはありませんでした

>.170
意味がよくわかりません

３１を分解すると４＋９Ｋ（９の倍数）・・・・・・になると思いますが

１＋９Ｋで１を出したら、出目１、０＋９Ｋになりますが

５＋９Ｋで５を出したら、出目５、０＋９Ｋになりますが

８＋９Ｋで４を出したら、出目４、４＋９Ｋになりますが

>>174
>>３１を分解すると４＋９Ｋ（９の倍数）・・・・・・になると思いますが
分解という言葉はよく分かりませんが、31は4+9k(型)に分類されます。

>>１＋９Ｋで１を出したら、出目１、０＋９Ｋになりますが
なりません。(1+9k)+1=2+9k　です

>>５＋９Ｋで５を出したら、出目５、０＋９Ｋになりますが
なりません。(5+9k)+5=10+9k=1+9(k+1)=1+9k’　です

>>８＋９Ｋで４を出したら、出目４、４＋９Ｋになりますが
なりません。(8+9k)+4=12+9k=3+9(k+1)=3+9k'　です

4+9kなどは、残りの数を表す値では無く、合計値です。

インスタント虎の巻を作るとしたら、
・残りのサイの目の合計が９の倍数になるようにして手番を渡す。
・それが出来ないときは４を出して手番を渡す。
これだけでいけますね。
そして、これだけを知っていて、出題したのなら、私の回答には困惑するでしょう。
今そんな状態なんじゃ無いですか？　>>出題者さん

先手４後手１先手４後手２。

先手４後手２先手４後手６。

>>177
なるほど、>>176は終盤状態で使える>>172だけをみていけそうと思ったけど、
ダメなようですね。>>176は撤回します。
やはり、>>170、および、>>172　に書かれている対応手を虎の巻とします。

>>171

a_{k+1｝= 3 a_k + 2,

a_{k+1｝+ 1 = 3(a_k + 1）= … =（3^k)(a_1 + 1) =（3^k)(2n+1),

いつかは2ベキになる？

全ての内角が等しく、辺の長さが{1,2^2,3^2,...,12^2}の並び替えであるような凸12角形は存在するか 

存在しない

>>181
じゃあ証明して

どっかで、もっと大きい場合の類題見たな

西暦-gonで{1^2,2^2,3^2,…,西暦^2}

>>180
辺長を順に、a[0],a[1],a[2],...,a[11]とすると、
Σ[i=0,11]a[i]*sin(i*π/6)=Σ[i=0,11]a[i]*cos(i*π/6)=0
が必要。√3の無理性を使って整理すると、i=0,1,2,3,...に対し
a[i]^2+a[i+2]^2=a[i+6]^2+a[i+8]^2
これを満たす、{1,2^2,3^2,...,12^2}は、特定のiについて成立するものでさえ5組。
異なるiについて同時に成立するものもせいぜい二組しかなく
{1,2^2,3^2,...,12^2}と{a[0],a[1],...,a[11]}が一致するものは見つからない。

>>185

i=0,1,2,…,5 に対して
a[i］ + a[i+2］= a[i+6]］ + a[i+8],

特定のiについて成立するもの：
｛1,4,7,8｝
｛1,8,9,12｝
｛2,5,10,11｝
｛2,6,7,9｝
｛3,7,9,11｝
の5組
｛1,5,5,7｝は省いた。

A、B、Cを、同じ文字は連続しないように一列にｎ個並べるとき、Aがｋ個含まれる並べ方の個数A(n、k)を求めよ。

>>187

A(n，k）のうち、末尾がAのものを f(n，k)，末尾がA以外のものを g(n,k）とする。

A(n，k) = f(n，k) + g(n，k)

漸化式
f(n+1，k）= g(n，k-1),
g(n+1，k）= 2f(n，k）+ g(n，k),

初期値
f(n，0）= 0，
f(n，1）= g(n，0) = 2，
f(n，2）= g(n-1，1）= 4n-10,

Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n =｛(1+z)/2z}{2zz/(1-z)}^k,

Σ[k=1，∞］Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n t^k =（1+z)zt/(1-z-2tzz),

Σ[n=2k，∞］g(n,k）z^n =｛(1+z)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,

Σ[k=0，∞］Σ[n=2k，∞］g(n,k) z^n t^k =（1+z)/(1-z-2tzz),

Σ[n=2k-1，∞］A(n,k）z^n =｛(1+z)(1+tz)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,

Σ[k=0，∞］Σ[n=2k-1，∞］A(n,k) z^n t^k =（1+z)(1+tz)/(1-z-2tzz),

むむむ、解けぬ。。。

>>187
A(n,k)の文字列において、B,CをXに置き換えた文字列をA~(n,k)とし、これを考える
これは、先頭がAかXか、最後がAかXかにより、四つに分類できる

AA型(n≧3,k≧2)
k個のAとk-1個のXが交互に並ぶ文字列　AXAX...XA　のXのあるところに、n-(2k-1)個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k-1,n-2k+1]=C[n-k-1,k-2]　通りあり、k-1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^(k-1)*C[n-k-1,k-2]

XA型およびAX型(n≧2,k≧1)
k個のAとk個のXが交互に並ぶ文字列　のXのあるところに、n-2k個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k,n-2k]=C[n-k-1,k-1]　通りあり、kカ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^k*C[n-k-1,k-1]

XX型(n≧1,k≧0)
k個のAとk+1個のXが交互に並ぶ文字列　のXのあるところに、n-2k-1個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k+1,n-2k-1]=C[n-k-1,k]　通りあり、k+1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^(k+1)*C[n-k-1,k]

これら四つの合計がA(n,k)で、2^(k-1) {1+ 4(n-k)(n-2k+1)/(k(k-1))} C[n-k-1,k-2]　通り？

>>180
数学オリンピックの過去問に似た問題あったな

>>189
正解ナリ。考え方も同じでおじゃる。
並べることができるのは n≧2k-1 のときで、
　(1) A〜A
　(2) A〜X or X〜A
　(3) X〜X
の場合を考える際に、(1)しかない場合とか、(1)(2)しかない場合があるので、
　k=0 (n≧1)
　k=1 (n=1, n=2, n≧3)
　k=2 (n=3, n=4, n≧5)
　k≧3 (n=2k-1, n=2k, n≧2k+1)
に分けて計算して、最終的に、
　A(1,1) = 1、
　(n, k)≠(1,1)のとき、{4n^2 - 3(3k-1)n + 9k^2 - 5k}*2^(k-1)*(n-k-1)!/{(k!)(n-2k+1)!}
とまとめられるでおじゃる。

何かの確率の本に載っていた問題。

n 頭の動物の群れから m 頭を捕らえ、目印をつけて逃がす。
(1) 目印のついた r 頭を得るために k 頭捕らえる必要がある確率 Q(k, r) を求めよ。
(2) 目印のついた r 頭を得るために捕らえた動物の期待数 E(r) を求めよ。

>>171 >>179

参考スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1350178359/

とりあえず答えだけ（以下、nＣr=C(n,r)と表す）
(1) Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m)
(2) E(r) = r(n+1)/(m+1)

>>194 >>192
n頭の動物のうちどのm頭に目印をつけるかということと、
n頭の動物をどういう順番で捕まえるかということは
独立にランダムであると考えると、
目印をつけてから捕まえる順序を決めても、捕まえる順番を決めてから目印をつけても
確率や期待値には影響しないので、後者で考える。

(1) 捕らえる順番のうち、k-1頭目までのうちr-1頭に目印がつき、
　ちょうどk頭目にも目印がつき、
　残るn-k頭のうちm-r頭にも目印がつく状況を考えるので、
　目印をつけるm頭の選び方C(n,m)のうち、
　上記条件をみたすm頭の選び方がC(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)で、
　確率は Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m)
(2) 捕らえる順番に並べたn頭の動物を、目印をつけるm頭を間仕切りとみなして
　目印をつけないn-m頭をm+1のブロックに分割したものとみなすと、目印をつける
　m頭の選び方は、和がn-mとなるm+1個の非負整数の列
　(a(1),a(2),…,a(m+1)), a(1)+a(2)+a(3)+…+a(m+1)=n-m
　と1対1に対応する。
　a(i)の期待値はいずれも(n-m)/(m+1)
　r頭目の目印のついた動物より前に捕まえる目印のついていない動物の数は
　a(1)+a(2)+…+a(r)なので、その期待値はr(n-m)/(m+1)
　よって、r頭目の目印のついた動物が捕まえる順番の何番目であるかの期待値は
　E(r) = r+r(n-m)/(m+1) = r(n+1)/(m+1)

>>192
問題文は相当に変な文章だからやる気起きない

>>195
正解です！

フィボナッチ時計
http://www.itmedia.co.jp/news/spv/1505/12/news088.html

問：フィボナッチ時計において、どの時刻でもどこかに赤が現れるようにできるか？

そのネタは数スレ前に出た

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1442617810/136-138
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/522-524

別の板から転載

137 （　･∀･）つ〃∩ﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰ sage 2017/10/15(日) 01:45:06.10
打ち切りラノベにあったクイズが面白かったので

あなたはお祭りの屋台で行われている一回三千円のゲームに参加しています。
正解すれば九千円が貰え、失敗すれば何も貰えません。
ゲームの内容は、三つの箱の中から、中身のある一つの箱を見つけるというものです。
あなたは、三つの箱の中から一つの箱を選びました。すると、店主はある提案をしてきました。
「残りの二つのうち、ハズレのものを一つだけ取り除く。その上で、あなたはもう一度選び直すことができる」
さて、あなたは選ぶ箱を変えるべきでしょうか？　それとも、そのままにすべきでしょうか？

モンティホールのように一連の処理として書かれてないから意味ない
つまり、今オレは散財したい気分なので変えるのが正解

てかこれ普通にこなしても期待値高すぎひん

>>202
かならず選び直しができるという前提があったなら変えたほうが期待値は６０００円
になるだろ

サイコロ３１？ですが
３１を４＋９＋９＋９に分解します
先手必勝で４の目です、９の倍数は後手必勝になります

３、４出目で・・・（３，４、７，８）＋９の倍数叉は３、４、７，８
２、５出目で・・・・５＋９の倍数叉は５

>>206
同じ色の数字のみ連番で消せます、一度に違う色をまたがっては消せません

3、4、5が連番じゃないの？

訳が不適切？

>>208
どうもすいませんでした。

�B、�C、�Dは連番で消せます

先手が赤の�Bを消したら後手は赤の�@、�A、�Cとは消せません

�@、�Aは消せますが

>>198
f(z)=x/(x-x^3/3!+x^5/5!+…)=1/(1-x^2/3!+x^4/5!+…)=1+x^2/3!+((1/3!)^2-1/5!)x^4+…
sinz=(e^iz-e^-iz)/2i=0
e^2iz=1
z=nπ
f(z+nπ)=(z+nπ)/sin(z+nπ)=(z+nπ)/(-1)^nsinz=(-1)^n(1+nπ/z)f(z)
Res(nπ,f(z))=(-1)^nnπ

>>203
モンティホールよ
期待値は3000円

>>206
先手必勝
先手は初手、例えば黄色の５６を消す
赤と青への着手に対しては、相手と同じように消し、赤と青で同じ形を保つようにして消す。
黄色は四つの塊が二つある状態に手をつけることになるが（これを(4,4)と表す）、これは必敗形。
この状態から手をつけると、最初に手をつけた方が最後の一つを消すことになり、負ける。
他にも、(1,2,3)、(2,2)、(1,1,1)も必敗形なので、これらの形にして手番を渡せばよい。

>>202
この文面のままでは、店主の提案が、
１．当たりを引いていた時に限定して行われているもの
２．常に行われるもの
３．気まぐれに行われるもの
のどれなのか不明。

>>215
提案をしてきたんだから確定

>>216
ああそうか
店主がこの時点で解を知っているかどうかか

ドヤ顔でモンティーホール問題を持ち出した奴は間違い
選ぶ箱を変えないのが正解

自分が選んでから店主が提案してきたのは、
店主が当たりの箱を知っていて、コッチが当たりの箱を選んでしまったので変えさせようと思っているから
中途半端にモンティーホール問題を知っていると、まんまと罠に嵌まる

当たりを選んでいようがそうでなかろうが提案してくるんじゃないのかこれ

店主が当たり外れの箱を事前に知っていて残りの箱から必ず外れを見せるという
前提でなければ確率の問題にならないよな

だからモンティの亜種にさえなってないというか、設問になってないし意味がないっての
引用にあるように"クイズ"なんだろうし、少なくともこの板このスレではいいだろもう

おっ、負け惜しみか？

おっぱい

ちんこじゃよ！
ふぉふぉ！

1〜6を一度だけ入れる

左上-右上の場合は解なし
|左上-右上|の場合は
1,6,4 -> 5,2 -> 3
2,6,5 -> 4,1 -> 3
4,1,6 -> 3,5 -> 2
4,6,1 -> 2,5 -> 3
5,2,6 -> 3,4 -> 1
5,6,2 -> 1,4 -> 3
6,1,4 -> 5,3 -> 2
6,2,5 -> 4,3 -> 1
の8通り

1辺の長さ1の正方形の頂点からの距離が全て有理数となる平面上の点は存在するか？

有名な未解決問題ですね

四角錐の体積が2次元方程式の自然解であれば成立する

〔問題１〕
1辺の長さが１の正三角形ABCがある。
AP=a，BP=b，CP=c がすべて有理数である点Pを全有理距離点とよぶ。

（初級問題）　正三角形の辺上および外接円の周上に
全有理距離点が無限個あることを証明してください。

（上級問題）　正三角形の内部にある全有理距離点
（3個の距離）を挙げてください。

（数セミ，2009年5月/8月）

［エレ解スレVol6.440-442］
［エレ解２スレ（2016.11).636］

>>232
リマソン（2a-b=1）上に無限個ある。

(M先生のメモ）
　a =（n^4 +10n^2 +9)/L,
　b =（n^4 -4n^3 +10n^2 +12n+9)/L,
　c =（8n^3 +24n)/L
　L = n^4 +4n^3 +10n^2 -12n+9,
　ただし，nは自然数で n≧5 とする。

[エレ解スレVol6．449-450]
[エレ解２スレ（2016.11).637］
http://www.geocities.jp/elegantnakama/mizutani.html

Q.異なるn個の点を通る次数が(n-1)以下の多項式は存在するのだろうか？もし存在するならばどんな形で書けるか？
という問いについて問題を作ってみました！
以下α_1,…,α_nを相違なる実数とし、β_1,…,β_nは任意の実数とします。
⑴g(x)=(x-α_1)(x-α_2)…(x-α_n) とする。g'(α_k)≠0(k=1,…,n)で成り立つ事を示せ。

⑵f(x)を(n-1)次以下の多項式とする。
f(x)/g(x)= A_1/(x-α_1)+…+ A_n/(x-α_n) と書ける事を示せ。

⑶⑵の両辺に(x-α_k)をかけ、極限をとる事により A_k=f(α_k)/g'(α_k) (k=1,…,n)を示せ。

⑷f(α_k)=β_k (k=1,…,n) を満たす(n-1)次以下の多項式が存在する事を示し、g(x),β_1,…,β_n などを用いて表せ。

ラングジュの補完公式...物足りないな笑
これを拡張した問題なんか作れませんかね笑

ポエムはポエムスレでどうぞ

２２８の答えです
�G　�I　�B　�H

A町からB町まで車で平均時速６０キロでしたが帰りの平均時速は４０キロでした

では往復の平均時速は何キロでしょうか？

ラングジュって誰やねん

(2x)/((x/60)+(x/40))=48 km/h

>>236
これだけ？

あなた…怠惰ですね？

あら、間違えてたorz
ラングジュって誰なんでしょうね笑

面白い問題スレなので幾何の自作問題出しときますね♪

(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.
条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.


(2)三角形ABCに於いて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qが在って,AP=CD,AQ=BDを満たしている.

また,三角形PBDと三角形QCD其々の外接円は2点で交わるとする.
この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上に在ることを示せ.

>>239
横から失礼。独立なのは４種類(左右反転をいれると８種類)あったよ。

>>228の拡張

三角形を五段にして、使う数字を1から15までにしたものは何通り可能か？

さらに拡張
三角形を６段にして、使う数字を1から21までにしたものは不可能だが、
使う数字を1から22までにするると一通り可能となる。使わない数字は何か？

J国とC国が海を隔てて存在している。
海上に国境を引いて、国境上のどの地点から見ても
両国の領土までの距離が等しくなるようにしたい。
そのように国境を引くことは可能か？

>>243
J　国とC国は形、面積が同じなんだろ（丸とか

>>243
まあ、可能でしょうなあ。
d=(J国からの距離)-(C国からの距離)というのを、海上の座標を定義域とする
関数とすると、明らかに連続で、C国の海岸線ではプラス、J国の海岸線ではマイナスに
なっているので、その値が0になるところを辿ればいいのだから。

入り江がある場合も？

>>247
たぶん大丈夫

>>241
此の幾何問題むずくね？
特に後者...

61415313.
6202232113.

問題を6問出しておこう
�@a,bを実数とする.方程式ax^2-2ax-b=0が0≦x≦3に実数解をもつような点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ.

�A袋の中に1の数字が書かれたカードが1枚,2の数字が書かれたカードが2枚,3の数字が書かれたカードが3枚ある.
袋の中から1枚のカードを取り出し,カードに書かれた数字を確認し袋に戻すという操作を繰り返す.
n回操作を繰り返した後,取り出したカードに書かれた数字の総和が3の倍数となる確率を求めよ.

�B点Oを中心とする半径rの球面Sがある.平面Fは球面Sと共有点をもち,その共有点全体は円Cをなす.Fが動くとき,円Cを底面,点Oを頂点とする塩水の体積の最大値を求めよ.

�Cpを素数,sをpの倍数でない整数とする.
(1)st-1がpの倍数となる整数tが存在することを示せ.
(2)s^2-1がpの倍数となるための必要十分条件は,sをpで割った余りが1またはp-1となることを示せ.
(3)(p-1)!+1はpの倍数であることを示せ.

�Dxy平面上に2点O(0,0),A(2,1)がある.点Pが曲線y=e^2上を動くとき,線分の長さの和OP+PAの最小値を求めよ.


�E数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める.
(1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ.
(2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ.

学校の宿題レベルが面白いとは、呆れるのを通り越して哀れみを感じる

>>241
(1)
或る5点を選ぶと、その4点は円周C上に存在する。（題意）
1点を別の点で置き換えても、その4点は円周D上に存在する。（題意）
∴ C，Dは異なる3個以上の点を共有する。
∴ C=D、「同一円周」はじつは同一の円周である。
5点をどう選んでも、そのうちの4点はC上に存在する。
∴ C上に存在しない点は高々１個しかない。

>>253
ＡＢＣＤＥ，ＡＢＣＤＦ，ＡＢＣＤＧ，ＡＢＣＤＨ，ＡＢＣＤＩのそれぞれの５点のうち４点が同一円周上にあってもＡＢＣＤが同一円周上にあればいいのでＥＦＧＨＩがその円周上にあるとは言えない。

>>253
三つの円の二円ずつの交点の六点をとると
六点のうちどの五点をとってもそのうち四点が同一円周上にあるけど
六点のうち五点が同一円周上にあるとはいえないので
証明には九点というのを使う必要がある。

>>254
(1)
a＝0のとき
-b＝0よりb＝0
したがってa＝0のとき、b＝0となり、このときは任意のxが解であるためこの点(原点)は条件を満たす

a≠0のとき
ax^2-2ax-b＝0
これは二次方程式であるためこれが0≦x≦3を満たす解を持つことを考える。

関数f(x)＝(左辺)を考えると
f(x)＝a(x-1)^2-a-b
これが0≦x≦3にx軸と交点を持つための条件は
(i)a＞0のとき
-a-b≦0かつf(3)≧0
(ii)a＜0のとき
-a-b≧0かつf(3)≦0

では？
偶数番は難しくてとっつけないな...

>>251

�A

f(x)＝ ( (x^1＋2x^2＋3x^3) / 6 )^n

と置く。f(x)＝Σ[k＝0〜∞] a_k x^k と展開するとき、r＝0,1,2 に対して

f_r(x)＝Σ[0≦k, k≡r (mod 3)] a_k x^k

と置けば、f(x)＝f_0(x)＋f_1(x)＋f_2(x) となる。また、求める確率は f_0(1) である。
ω＝e^{2πi/3} と置けば、l＝0,1,2 に対して f(ω^l)＝f_0(ω^l)＋f_1(ω^l)＋f_2(ω^l) となる。
簡単な考察により、r＝1,2 に対して Σ[l＝0〜2] f_r(ω^l) ＝ 0 となることが分かる。
また、f_0(ω^l)＝f_0(1) (l＝0,1,2) である。よって、Σ[l＝0〜2] f(ω^l)＝3f_0(1) となるので、

f_0(1)＝(1/3)Σ[l＝0〜2] f(ω^l)＝(途中計算省略)＝ ( 1＋((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3

となる。よって、( 1＋((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 が求める確率である。

>>241 (1)
>>255

X,Y等は｛E,F,G,H,I｝のどれかを表わすとする。

5点｛A,B,C,X,Y｝に於いて、XもYもABCの外接円上に存在しない。
・4点｛A,B,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛B,C,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛C,A,X,Y｝が同一円周上に存在する．
のいずれか１つだけが成り立つ。（２つ以上 成り立てば矛盾）

5点｛A,B,D,X,Y｝
5点｛A,C,D,X,Y}
5点｛B,C,D,X,Y｝
に於いても同様だから、
・4点｛A,B,X,Y｝｛C,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛B,C,X,Y｝｛A,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛C,A,X,Y｝｛B,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
の１つだけが成り立つ。（2つ以上 成り立てば矛盾）

｛X,Y｝の組は Ｃ[5,2］= 10 とおりある。
それらは上記の３種のいずれかに属するから、いずれか１種に4組以上が属する。（鳩ノ巣原理）
その4組の｛X,Y｝の中に、文字の重複が3回以上ある。
第１種の場合については
（1）4文字循環の場合
　｛A,B,X,Y,Z,W｝｛C,D,X,Y,Z,W｝が同一円周上に存在する。
∴　8点｛A,B,C,D,X,Y,Z,W｝が同一円周上に存在する。
（2）それ以外の場合
　9点が同一円周上に存在する。

>>259
4と6いけます？

私には解けないのでここで1問(謎)

asinθ+bcosθが最大値をとる時のtanθの値を求めよ。ただし、a,b,sinθ,cosθは実数とし、b≠0である。

b≠0である。

>>261
asin+bcos≦√(a^2+b^2)√(sin^2+cos^2)=√(a^2+b^2)
等号はacos=bsinのとき
よってtan=a/b

半径1の円周を直径を折り目として、直角に折ったものをMとする

このとき、Mを境界に持つ曲面の面積の最小値を求めよ

>>259 訂正

最後の辺り
（1）文字循環がある場合(3文字 or 4文字）
（2）文字循環がない場合

>>264
プラトー問題ですな。

数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社（1984/Sep)
　p.188-189

>>241
(2)
簡単に概略、特殊な場合を除いた解答
直線CI_AとQCDの外接円の交点でC以外の方をC'、直線BI_AとPCDの外接円の交点でB以外の交点をB'とする
一致した場合は別で解ける
角の二等分線からC'D=C'Qで∠DC'Q=∠BCA、B'D=B'Pで∠PB'D=∠ABC
△C'QA≡△C'DB、△B'PA≡△B'DCから∠AC'B=∠ACB、∠AB'C=∠ABC
よってAB'BCC'の5点は同一円周上
よってBI_A×B'I_A=CI_A×C'I_A
直線DI_AとQCDの外接円の交点、PCDの外接円の交点でDと異なる方をそれぞれE'、E"とすれば
E'I_A×DI_A=C'I_A×CI_A=B'I_A×BI_A=E"I_A×DI_A
なのでE'I_A=E"I_Aから、E'とE"は一致
点の取り方から、E'(=E")は二つの外接円の交点でDと異なる方であり、これはEと一致する
したがって、E, D, I_Aは同一直線上にある

a,bを自然数として、
k=(aab+a+b)/(abb+b+7)とする。
kが自然数になるときを考える。
(1)　b=1のとき、aを求めよ。
(2)　b=2のとき、aを求めよ。
(3)　b≧3のときを考える。
(i)　k<(a/b+1/b)を示せ。
(ii)　b≧3のとき(b-7/b)>0になることを利用して、(a/b-1/b)<kを示せ。
(iii)　aをkとbで表せ。
(iv)　bをkで表せ。

必ず4点のみだと5点が同一円上にあるケースが必ずあって条件満たさないんじゃ(￣▽￣;)

https://i.imgur.com/4YFzx0B.jpg

こう解きましたが、省かれる1点が確実に5点に含まれるならそうなんだけど、「どの5点も」だからEを抜いた場合も成立しなきゃ十分とはならないんだよね...

>>270
汚くて読みづらい字だが、味わい深くもある

Eを抜いた場合を考えると問題が成立しなくなるので、止むを得ずEを含めた場合のみで考えたのですが...
上半分で、
ある一点だけが円周上にない⇔条件が成り立つ ことを言いたかったのですが不十分ですかね？

>>270
特定した

>>273
??
問題って成立します？

5の内4が何々とは5の内4だけが何々ではない
数学の言い回し

高校レベルで平面ベクトルの奇問難問面白問出してください

高校レベルのベクトルなんてぶっちゃけ初等幾何と大差ないよ
受験生なら初等幾何の問題や公式をあえてベクトルを使って解いてみたら
いい力試しになるんじゃないか

>>241
>>(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.

という問題、および、この出題者と思われる　>>256　には

>>証明には九点というのを使う必要がある。

という書き込みがありましたが、この問題、実は、9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは？

「ある6点」は、三つの円の交点とすれば、「条件」が可能なことは、>>256に書かれている通りですが、
「ある7点」は、七つの「特殊な閉曲線」を用いれば可能なことは確認しましたが、「円」で作図可能かどうかは
非常に疑わしく思います。
「ある8点」で「条件」を満たす非自明な配置は、「特殊な閉曲線」でも無理のようです。

この問題文に「或る9つの異なる点」とあるのは、用意している証明方法では、9点が必要だったということに
由来しているのではありませんか？

なお、「特殊な閉曲線」とは、「特殊な閉曲線同士の交点は最大二個」という性質を持つ閉曲線を指し、
この性質さえ持てば、形状を問わないものを表します。

>>280
256は出題者(私)では無いです.

既に私の想定解は前スレで出ているのですが,貴方の主張の通り或る9点でしか想定しておりません。

然し,或る7或いは8点に置換しても示せる旨の記述について,詳しく示してください.
興味があります.

私の想定解はこちら

点12345より条件を満たす円Oを作る。
このとき円に乗っている点を1234とする。

この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。
∴背理法より円O外には1点以下しか外れない。

以上から、円Oには少なくとも(n-1)個の点が乗る。

>>281
　>>256　は出題者さんのコメントでは無かったのですね。失礼しました。

7点の場合ですが、次の7文字からなる、七つの数字列を見てください。
(0001111),(0110011),(0111100),(1010101),(1011010),(1100110),(1101001)
各数字列はそれぞれ「円」に対応し、第一の数字から第７の数字は、第一の点から第７の点に対応し、
円が、その点をを通る場合は1、通らない場合は0が書かれています。第1の円は、(0001111)と書かれているので、
第一、第二、第三の点は無く、第４から第７の四つの点が乗っていることを示しています。

この七つの数字列が示すように七つの円と点が取れば、条件
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.
を満たしていても、「7つの点の内、六つが同一円周上にはない」ようなものが存在できるというものです。
実際、上の数字列でチェックしてみてください。どの５点を選んでも、1を四つ含む円が必ずあることが確かめられます。
しかし、組み合わせ上可能でも、実際にこのような「円を描く」事が可能なのか？
に疑問がわいて、「9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは？」と書きました。
7点の場合は、このように「円」という形状に起因し、不可能では？と考えました。
そこで、「特殊な閉曲線」を持ち出し、そのようなものなら可能としました。
一方、8点の場合は、上のような数字列を見つけ出すことが出来ませんでした。
（プログラムを組んで探したので、プログラムミスで見逃した可能性は否定できません）

>>282
>>この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
>>12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。

1256か1356か2356が、別の円の上に乗っていればいいだけなのでは？
何か勘違いしてる？

>>284
ああ、たしかに別の円に乗せられば行けるので不充分っぽい

△ABCがある。BC=10, sinB=3/5, sinC=4/5となるとき、△ABCの面積を求めよ。(かなり汚い数字になりますがご勘弁を)

似た問題を某所に応募してみたけど採用されなかったので、ここで供養

10個の変数 x_ij (1≦i<j≦5) についての0でない多項式fであって、次を満たすものを１つ求めよ：
５つの平面ベクトル v_i (i=1,2,3,4,5) をどう定めても、f に x_ij=v_i･v_j を代入した値は必ず0になる。

>>287の誘導問題（群論知ってたらわりとすぐだけど一応）
コルクボードに５つの画ビョウa,b,c,d,eが、この順に正五角形の頂点をなすように刺さっている。
ab,bc,cd,de,eaの５つの組を、それぞれ紐で結ぶ。（つまり、紐は正五角形の辺をなす）
この状態から、『２つの画ビョウの位置を紐をつけたまま入れ替える』という操作を奇数回行うことで、再び紐が正五角形の辺をなすようにすることは可能か。

>>287
ボツ問題より、どこで募集しているかを知りたい。

>>286
　
（cosC)^2 =（sinB)^2,
（cosB)^2 =（sinC)^2,
より
±cosC = sinB = 3/5,
cosB = sinC = 4/5,

(1）　A = B+C= 90°（直角�凵jのとき
　sin(A）= 1,
正弦定理より
　BC：CA：AB = sin(A）：sin(B）：sin(C）= 5：3：4
　面積：24　

(2） C - B = 90°（鈍角�凵jのとき
　sin(A）= 7/25，
正弦定理より
　BC：CA：AB = sin(A）：sin(B）：sin(C）= 7：15：20
　面積： 1200/7

>>289
Mathpowerっていう数学のイベントが去年から毎年数日間にわたって開催されてるんだけど、
今年はその中の小イベント『数学の決闘』で出題するための問題を公募してたんだよ
もうイベントも公募も終了してるけどね

鈍角の時は600/7になると思う
計算式は(1/2)(BC)(sinB)(sinC)/(sin(B+C))
これで計算すれば、
B鈍角時は解無し(負の数で解が出る)
C鈍角時は600/7
B,C鋭角時は24
ってなった

Mathpowerって５ちゃんねると同じく公安のスパイであるニコ生の催しか

気を取り直して

3つドアがあって、景品1つとハズレが2つドアの向こうにります。
あなたはドアを1つ選びます。
このあと、ハズレのドアが1つ開きます。
その後あなたはドアを変えることも出来るし、そのまま選択することもできます。
あなたはドアを変えるべきでしょうか？

答えと理由もお願いします。

次の不等式の表す領域を図示せよ。
・y≧-x^2+6|x|-8
・4y≧-5x^2+10|x|+21
・0≧x^2+y^2-6y-16
・0≧x^2-(8√2)|x|+y^2-2(3+4√2)y+64+24√2

ちなみに上はミッキーマウス描けまーす...
反応ない...

ちょっとした頭の体操？というか意地悪な問題です笑

「有理数全体の集合をQとする。
この時、Qの２つの要素a/b,c/d に対して
和a/b+c/d をa/b+c/d=(ad+bc)/bd と定義する。」

この時、この定義はまだ数学的に不充分です。どこが不充分でしょうか？？

あ、当然b≠0かつd≠0です！笑

キモ・・・

計算してまとめただけなら定義じゃないねorz

私達は有理数の足し算は上の定義式のような計算で与えられることを知っています。では、その足し算というものを改めて定義しようとした時上の定義ではそもそも定義として危うい点が残っています。それは何でしょう？って事です( ﾉД`)ｼｸｼｸ…

どうせwell-definedかどうかなんだろうけど、ちょっと代数習いたて感が半端ないっす

ですね笑
最近やっと代数を楽しいと思えてきました

これって定理に入らないか？

いえいえ！
和や積などに代表される二項演算とは、一種の写像として定義されます。具体的には集合S上の二項演算とはf:S×S→S という写像fの事です。
なのでQの要素２つ定めれば、それに対する演算の結果は必ず一意に定まらないとダメです。

なので今回の場合は⑴そもそもの演算の結果が有理数になる。
⑵その計算結果は有理数の表示の仕方に依らず、一意に定まる。
という2点が確かめられて初めて定義可能と言えます。

>>294
幾度となく出てる

>>287の答え（の例）
Σ sgn(σ)x_σ(1)σ(2)x_σ(2)σ(3)x_σ(3)σ(4)x_σ(4)σ(5)x_σ(5)σ(1)
σ∈S_5(=5次対称群)
（ただし、x_ijとx_jiは同じ文字と見なす）

(証明)上で定めたfは 10x_12x_23x_34x_45x_ 51 の項を持つので0でない。
x_ij=v_i･v_j をfの式に代入した時の値をg(v_1,…,v_5)とおくと、gはv_i,v_j(i≠j)の入れ替えにより符号が反転することが確かめられるので、v_iのうち一次従属な二つ組が存在すればg=0とならなければならない。
v_iのうちどの二つ組も一次独立であると仮定する。各i=3,4,5に対して、v_1+t_iv_2とv_iが一次従属になるような実数t_iが存在するので、
tについての二次以下の式 h(t)=g(v_1+tv_2, v_2, v_3, v_4, v_5) は零点を３つ以上持つ。したがって、hは恒等的に0。ゆえに、g(v_1,…,v_5)も0。

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

面白くないかもしれんが、lim[x→+0] {e - (1+x)^(1/x)}/x を求めよ。

>>315
0 < x << 1 のとき
（1+x)^(1/x + 1/2) 〜 e,
∴（1+x)^(1/x）〜 e/√(1+x）〜 e/(1+x/2）〜 e(1-x/2),
∴（与式）= lim［x→+0］(ex/2)/x = e/2,

〜は差がO(xx）であることを表わす。

面白くないかもしれんが、lim［x→+0］｛e -（1+x)^(1/x + 1/2)｝/xx を求めよ。

>>317

0 < x << 1 のとき
（1+x)^(1/x + 1/2 - x/12 + xx/24 - …）= e

>>318

1/(1+x）= 1 -x +xx -x^3 + …,

log(1+x）= x -xx/2 +（x^3)/3 -（x^4)/4 + …,

(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…)log(1+x）= 1,

(1+x)^(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…）= e,

https://i.imgur.com/b8KxwvA.png

>>320
対角線方向の和は等しい（全体の1/2）
32+16= 28+x,
x=20.

>>321
> 対角線方向の和は等しい（全体の1/2）

なぜ？

>>322
正方形の頂点からも補助線を引けば
底辺は皆同じ長さだし
高さが同じ三角形が確変状に2つずつできるからだよ

ありがとう

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

>>325

では、本題に入ります。
PK，PL，PM，PN で4片に切り分け K，L，Mを鳩目で留めて、各片を動かします。
ABCDを1点Qに集めると、新しい凸４角形 K'L'M'N' が出来ます。
（鳩目がえし）

〔問題〕
点P が KM と LN の交点にあったとき、◇K'L'M'N' は平行4辺形になることを示せ。

>>323 >>325
ほう、そっちに補助線が多数派か

おれは少数派

なんかそんな感じの図で変な名前の定理があったなと思った
british flag's theorem だった

なにが「本題に入ります」だコラ
てめえは画像貼ってねえだろ

前スレ
面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/

187 １３２人目の素数さん 2017/06/25(日) 01:21:36.25 ID:8SgueX3P
Microsoftが就職面接で出したとかいう問題
長方形ABCDに対して点PがAP=11,BP=13,CP=7を満たすとき、DPは？

216 １３２人目の素数さん 2017/06/25(日) 22:50:39.89 ID:LvX/aL4D
>>189,204
正解
AP^2+CP^2=BP^2+DP^2はBritish flag theoremというらしい
https://youtu.be/bhMyvC7o97Y

マイクロソフトはこの問題を口頭で解かせた…？

ああsつかないんだ

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

>>352
ずれすぎ。絵を書いて貼ったほうがいい

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

>>352
等幅フォントならずれてないという罠

　┌　Ａ━━━Ｂ━━━Ｃ‥Ｄ
　│　┃ 3�p^2┃5�p^2 ┃　：
　 4　Ｅ━━━Ｆ━━━Ｇ━Ｈ
　�p　┃ ?�p^2┃　7�p^2　 ┃
　└　Ｉ━━━Ｊ━━━Ｋ━Ｌ

　 .　└─── 5�p────┘

解けないけどとりあえず点に命名

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥