>>608
検索したら出てきた。面白スレ20問目912

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912 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 05:43:03.75 ID:2Ji3jztR
f : R→R
∀x, ∀y ∈R , f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y))-x)

914 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 14:24:47.79 ID:thUnZu1m
解の１つがf(x)=xなのはわかった

915 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 18:33:22.73 ID:2Ji3jztR
こういう関数方程式の問題のお決まりの解法ってなんだろうな

916 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 16:02:40.40 ID:CIiswLGB
>>912
2003 春合宿なら
f(f(x)+y) = 2x + f(f(y)-x)
だけど、それとは別の問題？

917 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 16:31:57.91 ID:3rqDb3p4
>>916
別。

918 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 18:48:38.37 ID:CIiswLGB
>>912
与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x)))-x)
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
∀c∈R, 与式においてx=-c, y=0として
f(f(-c))=-2c+f(c)・・・①
また,　与式においてx=0, y=-cとして
f(-c)=f(f(f(-c)))
fは単射なので-c=f(f(-c))・・・②
①, ②より-2c+f(c)=-c
よってf(c)=c
逆にf(x)=xは与式を満たす.　□
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918の下から7行目が間違っているような…。
正しくは f(f(-c))=-2c+f(f(-c))・・・① だから、それ以降が使えんな。